Probabilidad condicional

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Probabilidad condicional
La probabilidad de que un evento ocurra dado que ya ocurrió un evento B está dado por:
Ejemplo: La siguiente tabla de contingencia muestra los resultados de 25 estudiantes de grado 11 en un examen de matemáticas, según si aprobaron o reprobaron y el género del estudiante.
Si se elige un estudiante al azar y se sabe que es hombre, encuentre la probabilidad que apruebe el examén.
	
	Hombre 
	Mujeres
	Total
	Aprobados
	9
	8
	17
	Reprobados
	6
	2
	8
	
	15
	10
	25
Solución
Sea 
La probabilidad de que el estudiante elegido apruebe el examen, sabiendo que es hombre es del 60%.
Ejemplo 2
El 80% de las empresas pequeñas del sector de alimentos no están preparadas para un tratado de libre comercio con USA, al igual que el 63% de las empresas medianas y 30% de las grandes. El 80% de las empresas del sector son pequeñas, el 15% son medianas y el resto grandes.
a. Si Se elige una empresa que no está preparada para el TLC, ¿cuál es la probabilidad de que sea pequeña? 
Solución
	
	
	Tamaño
	
	
	
	Pequeña
	Mediana
	Grande
	Total
	Nivel de preparación 
	No
	64
	9,45
	1,5
	74,95
	
	Si
	16
	5,55
	3,5
	25,05
	
	Total
	80
	15
	5
	100
a. Si una empresa no está preparada para el TLC, ¿cuál es la probabilidad de que sea pequeña? 
Sea La empresa elegida no está preparada para el TLC
Sea 
La probabilidad de que una empresa elegida sea pequeña, sabiendo que no está preparada para el TLC es del 85%
Sucesos dependientes e independientes.
Dos sucesos y son independientes si 
Dos sucesos y son dependientes si 
Es decir si A y B son sucesos independientes entonces se tiene que 
Ejemplo: 
Se tiene una balotera con 20 bolas negras y 15 bolas blancas, se realizan dos extracciones sucesivas de una bola.
Hallar la probabilidad de que las dos bolas extraídas de una urnas sean blancas cuando hay o no devolución.
Sea “Obtener una bola blanca en la primera extracción”
Sea “Obtener una bola blanca en la segunda extracción”
Si la bola se devuelve a la urna después de la primera extracción, la composición de la urna antes de la segunda extracción es igual que al empezar el experimento por tanto, por tanto la probabilidad de sacar una bola blanca será la misma, tanto en la primera como en la segunda extracción 
En este caso los sucesos son independientes 
Si la bola no se devuelve a la urna después de la primera extracción, la composición de la urna antes de la segunda extracción está compuestas por 20 bolas negras y 14 bolas blancas, por tanto la probabilidad de sacar una bola blanca en la segunda extracción depende de lo que sacaste en la primera extracción. 
En este caso los sucesos son dependientes 
Probabilidad total 
Supóngase que los sucesos forman una partición sobre el espacio muestral, es decir que los sucesos son mutuamente excluyentes dos a dos y su unión forma el espacio muestral.
Además para entonces para cualquier suceso B se tiene.
 
Ejemplo:
Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?
Solución
Denotemos los siguientes eventos:
 : Sacar bombilla de caja 1
: Sacar bombilla de caja 2
: Sacar bombilla de caja 3
 Bombilla defectuosa.
 
La probabilidad de que se tomar una bombilla al azar, y está resulte defectuosa es del 31.38%
Otro caso
Ahora sí se sabe que la bombilla es defectuosa encuentre la probabilidad de que se halla extraído de la segunda caja 
.
Actividad en clases
1. En una urna 1 que contiene 5 bolas negras y 4 bolas blancas se extrae una balota y sin mirar su color se deposita en una urna 2 que contiene 5 bolas blancas y 4 bolas negras. Calcula la probabilidad de extraer una bola negra de la segunda bolsa
2. El 70% de los tornillos producidos por una fábrica proceden de la máquina A y el 30% de la máquina B, la proporción de defectuosos de A es de 0,04 y en B de 0,03. ¿Cuál es la probabilidad de que un tornillo de dicha fábrica sea defectuoso? ¿Cuál es la probabilidad de que sabiendo que un tornillo que es defectuoso, proceda de la máquina B?
3. En una encuesta entre los estudiantes de administración de una universidad se obtuvieron los datos siguientes acerca del principal motivo del estudiante para solicitar su ingreso:
a. Si un alumno es de horario mixto, ¿cuál es la probabilidad de que la calidad sea el motivo principal para haber elegido la universidad?
b. Si un estudiante de administración eligió la universidad por costo, ¿cuál es la probabilidad de que sea de horario diurno?
4. Una compañía de seguros clasifica a sus clientes como de alto, mediano y bajo riesgo; ellos reclaman el pago de un seguro con probabilidades 0,02, 0,01 y 0,0025, respectivamente. El 10% de los clientes es de alto riesgo, el 20% de mediano y el 70% de bajo riesgo. Si uno de los clientes reclama el pago de un seguro, ¿cuál es la probabilidad de que sea de bajo riesgo?
5. Una caja1 contiene 2 billetes de $20.000, 3 de $50.000 y 4 de $10.000, y una caja2 contiene 5 billetes de $20.000, 2 de $50.000 y 3 de $10.000. De la caja1 se toma un billete al azar y sin mirar su denominación se introduce en la caja2. Luego se extrae un billete al azar de la caja2. ¿Cuál es la probabilidad de que el billete sea de $10.000?