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Ejercicios propuestos 23
B) Supongamos queP .n/ es cierta, es decir que para todo conjunto formado porn niñas
se verifica que todas las niñas del conjunto tienen el mismo color de ojos.
Consideremos ahora un conjunto formado pornC 1 niñas. Quitamos una niña del con-
junto y nos queda un conjunto formado porn niñas, las cuales, por la hipótesis de induc-
ción, tienen el mismo color de ojos. Ahora devolvemos al conjunto la niña que habíamos
sacado y sacamos otra. Volvemos a razonar como antes y deducimos que la niña que ha-
bíamos sacado también tiene el mismo color de ojos que las demásn niñas del conjunto.
Por tanto lasnC 1 niñas tienen todas ellas igual color de ojos. Como hay una niña con
ojos azules, deducimos que todas las niñas tienen ojos azules.
¿Dónde está el error en este razonamiento?
27. En un circuito circular hayn coches iguales. Entre todos ellos tienen justamente la gaso-
lina que necesita un coche para recorrer una vez el circuito completo. Prueba que alguno
de losn coches puede recorrer el circuito completo.
Sugerencia. Razona por inducción. Observa que no sabemos enqué lugar del circuito
están situados los coches.
28. Prueba que para todo número naturaln > 1 se verifican las desigualdades siguientes.
1 � 3 � 5 � � � .2n� 1/ < nnI n! <
�
nC 1
2
�n
Sugerencia: Usa la desigualdad de las medias.
29. Dadosn números positivosa1; a2; : : : ; an prueba las siguientes desigualdades.
i)
a1
a2
C a2
a3
C � � � C an�1
an
C an
a1
> n;
ii)
n
1=a1 C 1=a2 C � � � C 1=an
6
n
p
a1a2 � � � an;
iii) .a1 C a2 C � � � C an/
�
1
a1
C 1
a2
C � � � C 1
an
�
> n2.
¿Cuándo las desigualdades anteriores son igualdades?
Sugerencia: Usa la desigualdad de las medias.
30. Seana, b números positivos distintos yn2N. Utiliza la desigualdad de las medias para
probar que:
abn <
�
aC nb
nC 1
�nC1
:
Deduce que para todo número naturaln se verifica que:
�
1C 1
n
�n
<
�
1C 1
nC 1
�nC1
; y
�
1C 1
nC 1
�nC2
<
�
1C 1
n
�nC1
Los siguientes ejercicios pueden hacerse usando la desigualdad de las medias o bien el
corolario (1.13).
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 24
31. Prueba que el cuadrado es el rectángulo de máxima área para unperímetro dado y de
mínimo perímetro para un área dada.
32. Prueba que el cubo es el ortoedro de máximo volumen para una superficie lateral dada y
de mínima superficie lateral para un volumen dado.
33. Prueba que el triángulo equilátero es el triángulo que tienemáxima área para un períme-
tro dado y de mínimo perímetro para un área dada.
Sugerencia. Sia; b; c son las longitudes de los lados ypD .aC bC c/=2 es el semipe-
rímetro, entonces, según la fórmula de Heron de Alejandría,el área,A, viene dada por
AD
p
p.p � a/.p � b/.p � c/.
34. Calcula el rectángulo de mayor área inscrito en la elipse de ecuación
x2
a2
C y
2
b2
D1, donde
a > 0; b > 0.
35. Calcula el ortoedro de mayor volumen inscrito en el elipsoide de ecuación
x2
a2
C y
2
b2
C z
2
c2
D 1
dondea > 0; b > 0; c > 0.
36. Calcula la distancia mínima del origen a la superficie enR3 de ecuaciónxyz D 27. En
otras palabras, siE D f.x;y; z/ 2 R3 W xyz D 27g, lo que se pide es calcular el mínimo
del conjunto de números realesC D f
p
x2 C y2 C z2 W .x;y; z/ 2 Eg.
1.3.2. Ejercicios resueltos
¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!
Ejercicio resuelto 11 Seana, b números positivos distintos yn2N. Utiliza la desigualdad
de las medias para probar que:
abn <
�
aC nb
nC 1
�nC1
(1.11)
Deduce que para todo número naturaln se verifica que:
�
1C 1
n
�n
<
�
1C 1
nC 1
�nC1
; y
�
1C 1
nC 1
�nC2
<
�
1C 1
n
�nC1
(1.12)
Solución.La desigualdad (1.11) se deduce de la desigualdad de las medias
nC1pa1a2 � � � ananC1 6
a1 C a2 C � � � C an C anC1
nC 1
haciendoa1 D a2 D � � � D an D b, anC1 D a y elevando a la potencianC 1.
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Ejercicios resueltos 25
Haciendo ahoraaD1 y bD1C 1
n
en (1.11) se obtiene la primera desigualdad de (1.12).
Finalmente, susstituyendo en (1.11) n pornC1 aD1 y bD1� 1
n
, se obtiene la segunda
desigualdad de (1.12). ©
Ejercicio resuelto 12 Prueba que el cubo es el ortoedro de máximo volumen para una super-
ficie lateral dada y de mínima superficie lateral para un volumen dado.
Solución.El volumen de un ortoedro cuyas aristas tienen longitudesa; b; c viene dado
por V D abc y su superficie lateral porS D 2.ab C bc C ca/. Puesto que
3
p
.ab/.bc/.ca/6
ab C bc C ca
3
.1/
o, lo que es igual,
3
p
V 2 6 S=6, deducimos que para un volumen dado,V , la superficie
lateral S es mínima cuando tengamos queS=6 D 3
p
V 2, es decir que en.1/ se de la
igualdad lo que ocurre si, y sólo si,aD b D c (el ortoedro es un cubo).
Análogamente, para un valor dado de la superficie lateral,S , tendremos queV es máxi-
mo cuando
3
p
V 2D S=6, lo que, según acabamos de ver, sólo ocurre cuando el ortoedro
es un cubo. ©
Ejercicio resuelto 13 Calcula el rectángulo de mayor área inscrito en la elipse de ecuación
x2
a2
C y
2
b2
D 1, dondea > 0; b > 0.
Solución.Sean.˛; ˇ/ las coordenadas del vértice del rectángulo situado en el cuadrante
positivo del plano (̨ > 0; ˇ > 0). El área del rectángulo es igual a4˛ˇ. El problema,
pues, consiste en hallar el máximo del producto˛ˇ cuandǫ y ˇ verifican que
˛2
a2
C ˇ
2
b2
D 1 .1/
Supuesto quę y ˇ satisfacen.1/, en virtud de la desigualdad de las medias, tenemos
que
˛ ˇ D
q
˛2ˇ2 D ab
s
˛2
a2
ˇ2
b2
6
ab
2
.2/
La igualdad en.2/ se da si, y sólo si,
˛2
a2
D ˇ
2
b2
, lo que junto con.1/ equivale a que
˛2
a2
D ˇ
2
b2
D 1
2
, es decir,˛ D ap
2
; ˇ D bp
2
. Por tanto el máximo valor del área de un
rectángulo inscrito en la elipse es2ab. ©
Ejercicio resuelto 14 Calcula la distancia mínima del origen a la superficie enR3 de ecua-
ción xyzD 27. En otras palabras, siED f.x;y; z/ 2 R3 W xyzD 27g, lo que se pide es
calcular el mínimo del conjunto de números realesCD
˚p
x2 C y2 C z2W.x;y; z/ 2 E
	
.
Solución.Para todo.x;y; z/2E se verifica que
x2 C y2 C z2 > 3 3
q
.xyz/2 D 3 3
q
.27/2 D 27
Puesto que.3; 3; 3/2E y
p
32 C 32 C 32 D
p
27, deducimos que mKın.C /D
p
27. ©
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	Axiomas de R. Principio de inducción
	Principio de inducción matemática
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