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Complementos 26
1.4. Complementos
1.4.1. Números y medida de magnitudes. Segmentos inconmensurables.
Estamos tan acostumbrados acontar que cuesta trabajo imaginar un mundo sin números.
Pero así fue, no creo que nadie lo dude, durante muchísimo tiempo. Incluso en nuestros días se
tienen noticias de tribus aisladas que no saben contar más allá de cuatro o cinco objetos; cuando
tienen que referirse a una cantidad mayor emplean una expresión que quiere decir “muchos”.
Es frecuente también que en los lenguajes primitivos se utilicen palabras distintas para designar
números iguales cuando éstos se refieren a diferentes clasesde objetos. Poco a poco, conforme
los primitivos grupos tribales fueron organizándose en sociedades cada vez más complejas,
los hombres fueron capaces de abstraer el proceso de contar colecciones concretas de objetos
elaborando así el concepto de “número abstracto”. . . !Que a nosotros nos parece tannatural!
Una vez que los hombres aprendieron a contar objetos, el pasosiguiente fue usar los nú-
meros paramedir magnitudestales como longitudes, superficies, volúmenes o tiempos. Este
proceso requiere bastante ingenio. Consideremos, para fijar ideas, que queremosexpresar nu-
méricamentela longitud de un segmento de rectaAB . Lo primero que hay que hacer es elegir
unaunidad de medidaque será otro segmentoOU y comparar ambos. Puede ocurrir queAB
contenga un número exacto,m, de veces aOU . En tal caso podemos escribir simbólicamente
ABDm OU . El númerom representa entonces lamedidade AB respecto deOU . Lo más
frecuente, no obstante, es queOU no esté contenido un número exacto de veces enAB. En
tal caso podemos dividirOU en un cierto número,n, de partes iguales con la esperanza de
que, al tomar como nueva unidad de medida una de estas partes,OU 0, resulte queAB conten-
ga un número exacto,m, de veces aOU 0. Cuando esto es así se dice que los segmentosAB
y OU sonconmensurables. Esto quiere decir que admiten una unidad de medida común: el
segmentoOU 0. Podemos escribirABDm OU 0. Por otra parteOU Dn OU 0. Podemos ahora
usar los númerosm;n para hacernos una idea de cómo esAB comparado conOU ; esto es
lo que se expresa diciendo quela razón deAB respecto deOU es m W n (léasem sobren).
Con el paso del tiempo el símbolom W n que, en sus orígenes, como acabamos de explicar,
representaba la razón de (las longitudes) de dos segmentos quedó desprovisto de su significado
original y pasó a ser considerado simplemente como unnúmeronaciendo de esta forma los nú-
merosracionales(cuyo nombre alude, precisamente, a que tales números representanrazones
de segmentos conmensurables).
Volviendo a la situación antes descrita, parece intuitivo que, cualquiera sea el segmento
AB, dividiendo OU en un número,n, suficientemente grandede partes iguales, podemos con-
seguir que la nueva unidad de medida,OU 0, esté efectivamente contenida un número exacto de
veces enAB. En otras palabras, parece que dos segmentos cualesquiera deben ser conmensu-
rables. Pues bien, la intuición aquí nos engaña, y ese fue el extraordinario descubrimiento que
realizaron los pitagóricos, probando que la diagonal de un cuadrado no es conmensurable con
el lado. En efecto, siOU es el lado yAB la diagonal, y suponemos que ambos admiten una
unidad de medida comúnOU 0, tendremos queOU D n OU 0, y AB D m OU 0 para conve-
nientes números naturalesm;n. Pero, en virtud del teorema de Pitágoras,2.OU /2 D .AB/2,
y deducimos que2n2.OU 0/2 Dm2.OU 0/2, por lo que debe ser2n2 Dm2. Veamos que esto
lleva a una contradicción. Podemos suponer quem y n no tienen factores comunes (si los
tuvieran se los quitamos) y, en particular,m y n no son ambos pares. La igualdad2n2 Dm2
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
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Números y medida de magnitudes. Segmentos inconmensurables. 27
nos dice quem2 es par lo cual implica que también tiene que serlom. Así podemos escribir
m D 2p . Sustituyendo en la igualdad anterior y simplificando tenemos quen2 D 2p2, y de
aquí se sigue, al igual que antes, quen tiene que ser par y ésta es la contradicción anunciada.
Podemos dar la siguiente interpretación a lo antes visto. Siconsideramos los números ra-
cionales puestos sobre una recta, en la cual se han fijado el 0 yel 1, y con un compás centrado
en el origen trazamos un círculo de radio igual a la longitud de la diagonal de un cuadrado de
lado unidad, dicho círculo corta a la recta en un punto de la misma que no es racional. En otras
palabras “en la recta racional hay huecos”.
A la vista de este sorprendente resultado y puesto que,claramente debe haber algún nú-
meroque represente la medida de la diagonal con respecto al lado de un cuadrado, podemos
decir que dicho “número” no puede ser racional y, en consecuencia, los números racionales
no son suficientes para medir magnitudes. Aparece así la necesidad de ampliar el concepto
de número. Pues bien, ¡se necesitaron casi 2.500 años para llevar a cabo esa tarea de forma
satisfactoria! Los nuevos números se llamaronirracionalesporque no representanrazonesde
segmentos conmensurables, y una teoría satisfactoria de ellos fue desarrollada por los mate-
máticosGeorg Cantor(1845-1918) yRichard Dedekind(1831-1916). Los números racionales
junto con los irracionales se llaman, indistintamente,números reales.
1.4.1.1. La razón áurea y el pentagrama
ABCD
Figura 1.1. El pentagrama pitagórico
Aunque suele usarse el teorema de Pitágoras
para probar la existencia de magnitudes incon-
mensurables, parece ser que fue un pitagórico,
Hipaso de Metaponto, quien en el siglo V a.C.,
al estudiar las propiedades geométricas del pen-
tagrama (ver fig.1.1), descubrió la existencia de
los números irracionales. Para los pitagóricos
el pentagrama era un símbolo de la “perfección
matemática” del Universo y, paradójicamente,
en el pentagrama se escondía la prueba de que
los números racionales no eran suficientes, co-
mo los pitagóricos creían, para describirlo. Las
razones de los segmentosAD, BD, CD y BC son todas ellas iguales a larazón áurea.
AD
BD
D BD
CD
D CD
BC
D 1C
p
5
2
Como dicho número es irracional, los segmentos considerados son inconmensurables. El nú-
mero
1C
p
5
2
es uno de los más famosos de las Matemáticas. Si enGooglebuscas “razón
áurea” te saldrán más de cien mil páginas. Eso en español, porque si buscas en inglés “golden
section” obtendrás casi cuatro millones de páginas. El poeta Rafael Alberti dedicó un hermoso
soneto a la “razón áurea”.
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http://es.wikipedia.org/wiki/Cantor
http://es.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind
http://es.wikipedia.org/wiki/Hipaso_de_Metaponto
Números y medida de magnitudes. Segmentos inconmensurables. 28
A la divina proporción
A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura,
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera trasparente.
A ti, divina proporción de oro.
R. Alberti
Volviendo a los pitagóricos, ellos pensaban que el número era el fundamento último de toda
realidad. Hoy vivimos en un mundo digitalizado: la música que escuchas, las películas que ves,
la televisión digital y tantas más cosas de uso cotidiano son, en su esencia, números. Parece
que los pitagóricos no estaban del todo equivocados.
Pitágoras, junto con su maestroTales de Mileto, y tambiénAnaximandroy Anáximenes,
sin olvidar aDemócritoy algunos más de los que queda memoria y que tú mismo puedes con-
sultar enWikipedia, todos ellos eran matemáticos y filósofos. ¿Casualidad? Ni mucho menos.
Lo que hoy llamamosCultura Occidentalnace de una gran blasfemia, a saber, la afirmación
de que la realidad puede ser comprendida y explicada racionalmente.Frente a los relatos mito-
lógicos y a los caprichosos dioses imprevisibles, la afirmación insolente de que la inteligencia
humana puede desentrañar por sus propios medios el funcionamiento del Universo. Y ¿qué
produce la inteligencia humana cuando empieza a indagar sobre la Naturaleza? Matemáticas
y Filosofía. Las Matemáticas, por su propia naturaleza, tienen un campo mucho más restringi-
do que el de la Filosofía pero, en cambio, son extraordinariamente eficaces. La palabra griega
�˛���˛, que se leemathema, significaconocimiento.
El Libro del Universo está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracte-
res son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible
entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente enun oscuro laberin-
to. Galileo Galilei
1.4.1.2. Medimos con números racionales
Acabamos de ver que hay segmentos inconmensurables; es decir, elegida una unidad para
medir, hay medidas que no pueden expresarse con números racionales. Pero la intuición nos
dice que a cada medida debe corresponder un único número. En consecuencia, tenemos que
admitir la necesidad de otros números, además de los racionales, para lograr que a cada medida
le corresponda un número. Estos son los números irracionales (sobre los que falta por decir
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http://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras
http://es.wikipedia.org/wiki/Tales_de_Mileto
http://es.wikipedia.org/wiki/Anaximandro
http://es.wikipedia.org/wiki/Anax%C3%ADmenes_de_Mileto
http://es.wikipedia.org/wiki/Dem%C3%B3crito
	Axiomas de R. Principio de inducción
	Complementos
	Números y medida de magnitudes. Segmentos inconmensurables.
	La razón áurea y el pentagrama
	Medimos con números racionales