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Lo que debes haber aprendido en este Capítulo. Lecturas adicionales 32
1.4.4. Lo que debes haber aprendido en este Capítulo. Lecturas adicionales
En este Capítulo debes haber aprendido algunas cosas que resumo en la siguiente lista cuya
lectura puede servirte de repaso para comprobar lo que sabes.
� Debes saber lo que significa demostrarH÷T .
� Debes saber lo que significa decir que las Matemáticas son unaciencia deductiva.
� Debes saber que en Matemáticas las cosas no son verdad porquelo diga tu profesor.
� Debes tener una idea de lo que es una teoría axiomática y la forma en que se desarrolla.
� Debes saber lo que son magnitudes inconmensurables y cómo aparecen los números
irracionales.
� Debes saber cómo se deben leer las Matemáticas.
� Debes haber aprendido y recordar de memoria los axiomas algebraicos y de orden deR.
� Debes ser capaz de usar dichos axiomas para probar propiedades algebraicas y de orden
deR.
� Debes haber aprendido y recordar de memoria las reglas para trabajar con desigualdades.
� Debes saber usar en casos prácticos las reglas para trabajarcon desigualdades.
� Debes entender la definición de la función raíz cuadrada.
� Debes entender la definición y recordar las propiedades del valor absoluto.
� Debes recordar la estrategia (1.8) para trabajar con desigualdades entre números positi-
vos.
� Debes entender y saber aplicar el Principio de Inducción Matemática.
� Debes recordar la desigualdad de las medias y saber usarla para resolver problemas de
extremos.
Como lectura adicional te recomiendo los dos primeros capítulos del libro de Michael Spivak
[16], el cual, a pesar del tiempo transcurrido desde su primera edición, sigue siendo, en mi
opinión, el mejor libro de introducción al Análisis Matemático. Su colección de ejercicios es
excelente y algunos de ellos están resueltos al final del libro; además, se ha editado un libro,
[15], con las soluciones de todos. Los textos de Larson [11] y de Engel [5] son de lo mejor
que hay para aprender estrategias de resolución de ejercicios. Los ejercicios que traen tienen
cierto grado de dificultad, con frecuencia están tomados de competiciones matemáticas, pero
las soluciones están claramente expuestas. Algunos de los ejercicios propuestos los he tomado
de esos libros.
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Capı́tulo2
Funciones elementales
Con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo
a unos pocos días, el invento de los logaritmos
parece haber duplicado la vida de los astrónomos.
Pierre Simon Laplace
2.1. Funciones reales
Las funciones son las herramientas principales para la descripción matemática de una si-
tuación real. Todas lasfórmulasde la Física no son más que funciones: expresan cómo ciertas
magnitudes (por ejemplo el volumen de un gas) dependen de otras (la temperatura y la presión).
El concepto de función es tan importante que muchas ramas de la matemática moderna se ca-
racterizan por el tipo de funciones que estudian. No es de extrañar, por ello, que el concepto de
función sea de una gran generalidad. Además, se trata de uno de esos conceptos cuyo contenido
esencial es fácil de comprender pero difícil de formalizar.
2.1 Definición. SeanA y B dos conjuntos. Una función deA en B es unaregla quea cada
elemento deA asocia un único elemento deB.
En esta definición la dificultad radica en precisar matemáticamente lo que se entiende por
regla. Como solamente vamos a trabajar con funciones elementalesconsidero que no es nece-
sario dar más precisiones.
Observa que una función sontrescosas: el conjuntoA donde está definida, el conjuntoB
donde toma valores y la regla que la define. En este curso estamos interesados principalmente
en funciones entre conjuntos de números reales, es decir,A y B son subconjuntos deR; con
frecuenciaB D R. Estas funciones se llamanfunciones reales de una variable real.
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Funciones reales 34
Convenio. En lo que sigue solamente consideraremos funciones reales y, si no se especifica
otra cosa, se entiende queB D R.
Por tanto, para darnos una función nos deben decir, en principio, el subconjuntoA de R
donde suponemos que la función está definida y la regla que asigna a cada número deA un
único número real. El conjuntoA recibe el nombre dedominiode la función.
Las funciones se representan por letras. En la práctica las letras más usadas sonf , g y h,
pero cualquiera otra es también buena. Sif es una función yx es un número que está en su
dominio, se representa porf .x/ (léase “f de x” o, mucho mejor, “f evaluada enx” o “el
valor def enx”) el número quef asigna ax, que se llamaimagen dex por f .
Es muy importante distinguir entref (una función) yf .x/ (un número real).
El símbolof WA! R se utiliza para indicar quef es una funcióncuyo dominio esA (se
supone, como hemos dicho antes, queA es un subconjunto deR). También es frecuente usar
el simbolismox 7! f .x/, .x 2 A/.
Es importante advertir que las propiedades de una función dependen de la regla que la defi-~
ney también de su dominio, por ellodos funciones que tienen distintos dominios se consideran
distintas funciones aunque la regla que las defina sea la misma.
2.2 Definición(Igualdad de funciones). Dos funcionesf y g son iguales cuando tienen igual
dominio yf .x/D g.x/ para todox en el dominio común.
Notemos también que aunque estamos acostumbrados a representar a las funciones me-
diantefórmulas, no siempre es posible hacerlo.
2.3 Ejemplo. Consideremos las funciones siguientes.
a) f WR! R la función dada porf .x/D x2.
b) g W RC ! R la función dada porg.x/D x2.
c) hW R! R la función dada porh.x/D
(
1; si x 2 Q
�1; si x 2 R nQ
d) Seaf .x/D x
3 C 5x C 6
x2 � 1
Según lo antes dicho, las funciones en a) y b) son distintas. De hecho tienen propiedades dis-
tintas. Observa que la función definida en b) es creciente y ladefinida en a) no lo es.
La función definida en c) es llamadafunción de Dirichlet. Nótese que no es fácil calcular
los valores de dicha función porque no siempre se sabe si un número real dado es racional o
irracional. ¿Es eC� racional? Pese a ello la función está correctamente definida.
En d) no nos dan explícitamente el dominio def por lo que se entiende quef está definida
siempre quef .x/ tenga sentido, es decir, siempre que,x2 � 1¤ 0, esto es, parax ¤˙1. �
El convenio del dominio.Cuando una función se define por una fórmula “f .x/= fórmula” y
el dominio no es explícito, se entiende que el dominio es el mayor conjunto de valores dex
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
	Axiomas de R. Principio de inducción
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