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El desarrollo del Álgebra y la invención de los logaritmos 62
lengua alemana impreso en 1525, Christoff Rudolff, usa estos símbolos con su signi-
ficado actual. Durante mucho tiempo se usaron solamente en Álgebra antes de que se
generalizara su uso en aritmética.
t Había una gran variedad de símbolos para la multiplicación.Fue el matemático inglés
William Oughtred quien en su obraClavis Mathematicae, publicada en 1631, dio al
símbolo� el significado que tiene hoy día.
t El signo para la igualdad que usamos actualmente fue introducido por el matemático y
médico inglés Robert Recorde en su libroThe Whetstone of Witte(1557). No fue inme-
diatamente aceptado pues, como ocurría con gran parte de la notación matemática de
este período, cada uno tenía su propio sistema, pero hacia 1700 el signoD era ya de uso
general.
t Aunque las fracciones decimales eran conocidas desde antiguo, no eran usadas con fre-
cuencia debido a la confusa notación empleada para representarlas. Fue Neper quien
introdujo en 1616 el separador decimal (coma o punto), lo quefacilitó mucho el uso de
las fracciones decimales.
t Los símbolos para las desigualdades,< y >, con su significado actual fueron introduci-
dos por el matemático inglés Thomas Harriot (1560-1621) en su obraArtis Analyticae
Praxispublicada en Londres en 1631.
En el siglo XV la trigonometría esférica fue adquiriendo cada vez mayor importancia por sus
aplicaciones para la navegación astronómica, en la cual debe resolverse un triángulo esférico
para trazar la ruta del navío. Para facilitar los cálculos, se elaboraron numerosas tablas tri-
gonométricas en las que trabajaron matemáticos como Copérnico (1473-1543), Tycho Brahe
(1546-1601), Kepler (1571-1630) y otros. Los cálculos parala realización de estas tablas eran
largos y penosos. En este contexto tuvo lugar la invención delos logaritmos por John Neper.
Figura 2.20. John Napier
John Napier o Neper introdujo los logaritmos en su libroMi-
rifici Logarithmorum Canonis Descriptio(1614). Este trabajo
tenía treinta y siete páginas explicando la naturaleza de los lo-
garitmos y noventa páginas de tablas de logaritmos de funcio-
nes trigonométricas en las que Neper trabajó durante 20 años
antes de publicar sus resultados. En el año 1615 el matemático
inglés Henry Briggs (1561-1630) visitó a Neper en Edimbur-
go, y le convenció para modificar la escala inicial usada por
éste. Nacieron así los logaritmos de base 10 que fueron divul-
gados por el físico alemán Kepler, extendiéndose su uso en
relativamente poco tiempo por toda Europa.
Al principio, Neper llamó a los exponentes de las potencias “numeros artificiales”, pero más
tarde se decidió por la palabra logaritmo, compuesta por lostérminos griegoslogos(razón) y
aritmos(número).
Los logaritmos son números, que se descubrieron para facilitar la solución de los
problemas aritméticos y geométricos, a través de esto se evitan todas las comple-
jas multiplicaciones y divisiones transformándolo a algo completamente simple a
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Lo que debes haber aprendido en este capítulo 63
través de la substitución de la multiplicación por la adición y la división por la
substracción. Además el cálculo de las raíces se realiza también con gran facili-
dad. Henry Briggs
Los logaritmos pasaron a ser una herramienta muy valorada, en especial entre los astrónomos.
Laplace se refiere a esto en la siguiente frase.
Con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unospocos días, el
invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos.
Pierre Simon Laplace
2.4. Lo que debes haber aprendido en este capítulo
� El concepto de función y el formalismo que usamos para definiruna función.
� Las operaciones con funciones. La composición de funciones.
� Los conceptos de función monótona y de inversa de una funcióninyectiva.
� Las definiciones y propiedades principales de las funcioneslogarítmicas y exponenciales.
� Las definiciones y propiedades principales de las funcionestrigonométricas.
� Las definiciones y propiedades principales de las funcionesarcoseno, arcocoseno y arco-
tangente.
� Las definiciones y propiedades principales de las funcioneshiperbólicas y sus inversas.
Como lectura adicional te recomiendo los capítulos 3 y 4 del libro de Michael Spivak [16].
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Capı́tulo3
Números complejos. Exponencial compleja
El camino más corto entre dos verdades del análisis
real pasa con frecuencia por el análisis complejo.
Jaques Hadamard
3.1. Un poco de historia
Los números que hoy llamamos “complejos” fueron durante muchos años motivo de po-
lémicas y controversias entre la comunidad científica. Pocoa poco, por la creciente evidencia
de su utilidad, acabaron por ser comúnmente aceptados, aunque no fueron bien comprendidos
hasta épocas recientes. Nada hay de extraño en ello si pensamos que los números negativos no
fueron plenamente aceptados hasta finales del siglo XVII.
Los números complejos hacen sus primeras tímidas apariciones en los trabajos de Cardano
(1501-1576) y Bombelli (1526-1672) relacionados con el cálculo de las raíces de la cúbica o
ecuación de tercer grado. Fue René Descartes (1596-1650) quien afirmó que“ciertas ecuacio-
nes algebraicas sólo tienen solución en nuestra imaginación” y acuñó el calificativo“imagi-
narias” para referirse a ellas. Desde el siglo XVI hasta finales del siglo XVIII los números
complejos o imaginarios son usados con recelo, con desconfianza. Con frecuencia, cuando la
solución de un problema resulta ser un número complejo se interpreta esto como que el pro-
blema no tiene solución. Para Leibniz“el número imaginario es un recurso sutil y maravilloso
del espíritu divino, casi un anfibio entre el ser y el no ser.”
Las razones de todo esto son claras. Así como los números reales responden al problema
bien cotidiano de la medida de magnitudes, no ocurre nada similar con los números complejos.
Mientras los matemáticos necesitaron interpretar en términos físicos sus objetos de estudio, no
se avanzó mucho en la comprensión de los números complejos.
El éxito de Euler y Gauss al trabajar con números complejos sedebió a que ellos no se
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	Funciones elementales
	Lo que debes haber aprendido en este capítulo
	Números complejos. Exponencial compleja
	Un poco de historia