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Ejercicios resueltos 86
de donde
jz � ˛j2 C jz � ˇj2 D 2
ˇ̌
ˇ̌z � ˛ C ˇ
2
ˇ̌
ˇ̌
2
C 1
2
jˇ � ˛j2
Deducimos quejz � ˛j2C jz � ˇj2 > 1
2
jˇ � ˛j2 para todoz 2 C y la igualdad se da si,
y sólo si,z D ˛ C ˇ
2
.
Ejercicio resuelto 37 Prueba las desigualdades:
a) jjzj � jwjj6 jz � wj
b) jz Cwj> 1
2
.jzj C jwj/
ˇ̌
ˇ̌ z
jzj C
w
jwj
ˇ̌
ˇ̌
dondez; w son números complejos no nulos. Estudia también cuándo se dala igualdad
en cada una de dichas desigualdades.
Sugerencia. Una estrategia básica para probar desigualdades entremódulosde números
complejos consiste en elevar al cuadrado ambos miembros de la desigualdad.
Solución.Siguiendo la sugerencia, es muy fácil hacer el apartado a). Haremos el apartado
b). Siguiendo la sugerencia, elevamos al cuadrado y comprobamos que la diferencia es
positiva.
jz Cwj2 � 1
4
.jzj C jwj/2
ˇ̌
ˇ̌ z
jzj C
w
jwj
ˇ̌
ˇ̌
2
D
D jzj2 C jwj2 C 2 Re.zw/ � 1
4
.jzj2 C jwj2 C 2jzjjwj/
�
2C 2Re.zw/jzjjwj
�
D
Djzj2Cjwj2C2 Re.zw/� 1
2
jzj2� 1
2
jwj2�jzjjwj� 1
2
�
jzj2Cjwj2C2jzjjwj
�Re.zw/
jzjjwj D
D 1
2
.jzj2 C jwj2 � 2jzjjwj/C 2Re.zw/jzjjwj jzjjwj �
1
2
�
jzj2 C jwj2 C 2jzjjwj
�Re.zw/
jzjjwj D
D 1
2
.jzj � jwj/2 � 1
2
�
jzj2 C jwj2 � 2jzjjwj
�Re.zw/
jzjjwj D
D 1
2
.jzj � jwj/2
�
1� Re.zw/jzjjwj
�
> 0
Porque Re.zw/6jzwjDjzjjwj. La igualdad se da si, y sólo si,jzjDjwj o Re.zw/Djzwj lo
que equivale a quezwD� 2 RC que equivale a quez yw estén en una misma semirrecta
a partir del origen, o sea, que tengan los mismos argumentos.
Ejercicio resuelto 38 Expresa en forma binómica los números
.1C i/25; .
p
3C i/37;
 
1C i
p
3
�1C i
!24
Solución.Naturalmente, se trata de aplicar la fórmula de De Moivre y para ello todo lo
que hay que hacer es expresar los números en su forma polar. Consideremos el número
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
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zD 1C i
p
3
�1C i . Tenemos quejzj D
p
2 (cociente de los módulos) y un argumento dez es
arg.1C i
p
3/ � arg.�1C i/D arc tg.
p
3/ � .arc tg.�1/C �/D �
3
� 3�
4
D�5�
12
Por tanto
 
1C i
p
3
�1C i
!24
D .
p
2/24
�
cos
�
�245�
12
�
C i sen
�
�245�
12
��
D 212 D 4096
Ejercicio resuelto 39 Haciendo uso de la fórmula de De Moivre prueba que:
a) sen3' D 3 sen' � 4 sen3'.
b) cos4' D 8 cos4' � 8 cos2' C 1.
c) sen5' D 5 sen' � 20 sen3' C 16 sen5'.
Solución.La fórmula de De Moivre es una herramienta excelente para obtener identida-
des trigonométricas. Lo único que hay que hacer es usar la igualdad
.cosx C i senx/n D cos.nx/C i sen.nx/ .n 2 N;x 2 R/
Desarrollando la potencia del lado izquierdo por medio del binomio de Newton y agrupar
la parte real, que será igual a cos.nx/ y la parte imaginaria, que será igual a sen.nx/.
Por ejemplo, paran D 2 se obtiene inmediatamente que cos.2x/ D cos2 x � sen2 x y
sen.2x/D 2 senx cosx. HaciendonD 3 obtenemos
cos3 x C 3i cos2 x senx � 3 cosx sen2 x � i sen3 x D cos.3x/C i sen.3x/
Igualando partes imaginarias, resulta:
sen.3x/D 3 cos2 x senx � sen3 x D 3.1 � sen2 x/ senx � sen3 x D 3 senx � 4 sen3 x
Esta es la igualdad a). Las otras dos igualdades b) y c) se obtiene de forma parecida.
Ejercicio resuelto 40 Seann2N, n>2, y wDcos2�
n
C i sen2�
n
. Dado un número entero,
m2Z, calcula el valor de las expresiones:
a) 1C wm Cw2m C � � � Cw.n�1/m.
b) 1� wm Cw2m � � � � C .�1/n�1w.n�1/m.
Solución.Necesitamos la expresión de la suma de una progresión geométrica. Seanz un
número complejo distinto de 1 yn 2N. PongamosS D 1 C z C z2 C z3 C � � � C zn.
Tenemos que
S D 1C z C z2 C z3 C � � � C zn
Sz D z C z2 C z3 C � � � C zn C znC1
�
÷S.z � 1/D znC1 � 1
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Ejercicios resueltos 88
Y deducimos que
1C z C z2 C z3 C � � � C zn D z
nC1 � 1
z � 1 (3.16)
La suma en a) es una progresión geométrica de razónwm. Debemos distinguir el caso en
quewm D 1, lo que ocurre cuandom es un múltiplo den, en cuyo caso la suma en a) es
igual an. En los demás casos, tenemos que
1Cwm Cw2m C � � � Cw.n�1/m D w
nm � 1
wm � 1 D 0
En particular, haciendomD1, deducimos que la suma de las raíces n-ésimas de la unidad
es igual a 0. El apartado b) se hace de forma parecida. ©
Ejercicio resuelto 41 Seaw un número complejo de módulo 1. Expresa los númerosw � 1
y w C 1 en forma polar.
Solución.SeawD cost C i sent cont D arg.w/. PongamosuD cos.t=2/C i sen.t=2/.
Con lo queu2 Dw y uuD 1. Tenemos que
w � 1D u2 � uuD u.u � u/D 2i sen.t=2/u (3.17)
Deducimos quejw � 1jD2jsen.t=2/j. Supondremos en lo que sigue quew¤1. Observa
quew � 1 es producto de 3 números: el númeroi , cuyo argumento principal es�=2,
el númerou, cuyo argumento principal est=2 y el número2 sen.t=2/ cuyo argumento
principal es0 cuando sen.t=2/ > 0, y � cuando sen.t=2/ < 0. Un argumento dew � 1
será�=2C t=2C arg.sen.t=2//. Observa que�� < t 6 � y t ¤ 0. Distinguiremos dos
casos:
0 < t 6 �÷ sen.t=2/ > 0÷ arg.w � 1/D �
2
C t
2
D t C �
2
÷
÷w � 1D 2 sen.t=2/
�
� sen.t=2/C i cos.t=2/
�
� � < t < 0÷ sen.t=2/ < 0÷ arg.w � 1/D �
2
C t
2
� � D t � �
2
÷
÷w � 1D�2 sen.t=2/
�
sen.t=2/ � i cos.t=2/
�
Fíjate en que si en (3.17) hacemos el productoiu y distinguimos los casos sen.t=2/ > 0
y sen.t=2/ < 0, obtenemos las mismas expresiones paraw � 1. ©
Ejercicio resuelto 42 Seax un número real que no es múltiplo entero de2� . Prueba las
igualdades
a) 1C cosx C cos2x C � � � C cosnx D cos
�n
2
x
� sen
�
nC 1
2
x
�
sen
�x
2
�
b) senx C sen2x C � � � C sennx D sen
�n
2
x
� sen
�
nC 1
2
x
�
sen
�x
2
�
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