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Movimiento armónico simple 98
Las ecuaciones (3.27) y (3.28) representan un mismo tipo de movimiento pues un seno no es
más que un coseno retrasado en�=2, como se sigue de la igualdad cos.x � �=2/D senx.
En el movimiento armónico simplex.t/DA cos.!t C '/ el númeroA se llamaamplitud,
el número!t C ' se llamafase, siendo' la fase inicial; ! es lafrecuencia angularque se
mide en radianes por segundo. El númeroT D 2�=! es elperiodo, que es el tiempo, medido
en segundos, que el móvil tarda en completar un ciclo. El número f D 1=T es lafrecuencia,
que es el número de ciclos recorridos en un segundo. La unidadde la frecuencia es el ciclo por
segundo que se llamaherzio.
La representación compleja proporciona una visualizacióngráfica del movimiento que es
muy útil para el estudio de la composición de movimientos armónicos simples. Consideremos
dos movimientos armónicos simples de igual frecuencia dados por
x1.t/DA1 cos.!t C '1/; x2.t/DA2 cos.!t C '2/
Queremos estudiar el movimiento dado porx.t/D x1.t/C x2.t/. La representación compleja
de los movimientos permite dar una respuesta sin necesidad de hacer cálculos. Pongamos
x1.t/D Rer1.t/D ReA1 ei.!tC'1/I x2.t/D Rer2.t/D ReA2 ei.!tC'2/
Claramente,x.t/D x1.t/C x2.t/D Re.r1.t/C r2.t//. Como los vectoresr1.t/ y r2.t/ giran
con igual velocidad angular,!, el vector sumar.t/D r1.t/C r2.t/ también gira con la misma
velocidad angular (el paralelogramo de ladosr1.t/ y r2.t/ gira todo él con velocidad angular
!). Deducimos quex.t/ D Re.r.t// es la ecuación de un movimiento armónico simple de
frecuencia angular!, amplitud igual al módulo der.t/ (que debe ser constante) y fase igual al
argumento del número complejor.t/. El módulo de una suma lo hemos calculado en (3.14).
En nuestro caso es
jr.t/j2 D jr1.t/j2 C jr2.t/j2 C 2 Re.r1.t/r2.t//DA21 CA22 C 2A1A2 cos.'1 � '2/
r1.t/
r2.t/
r.t/
x1.t/ x2.t/ x.t/O
Figura 3.9. Composición de movimientos armónicos
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Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Circuitos eléctricos 99
Como la frecuencia angular debe ser!, la fase será!t C ' donde' es la fase inicial, que
es el argumento del número complejo
r.0/Dr1.0/Cr2.0/DA1 ei'1 CA2 ei'2 D.A1 cos'1CA2 cos'2/Ci.A1 sen'1CA2 sen'2/
que ya debes saber calcular.
3.5.2. Circuitos eléctricos
R
C
L
I.t/
V .t/
Figura 3.10. Circuito RLC
En el análisis de circuitos eléctricos los nú-
meros complejos, con el nombre defasores,
fueron introducidos en 1863 por el matemá-
tico e ingeniero Charles Proteus Steinmetz
(1865-1923). Un fasor es un número complejo
que representa la amplitud y fase inicial
de una sinusoide. Los fasores proporcionan
una herramienta útil para estudiar circuitos
eléctricos cuyo voltaje es de tipo sinusoidal
V .t/ D Vm cos.!t C '/. Aquí Vm > 0 es
la amplitud o máximo valor del voltaje, y'
la fase inicial. Podemos asociar aV .t/ un
fasor que representamosV y es el número
complejoVDVm ei' . De esta forma podemos escribirV .t/DRe.V ei!t / con lo que separamos
la información de frecuencia y de fase. Observa que, conocida la frecuencia, la sinusoide queda
determinada de forma única por su fasor asociado.
La derivada de una sinusoide es otra sinusoide. El fasor que representa a la derivada se
expresa muy fácilmente mediante el fasor que representa a lasinusoide.
V 0.t/D dV .t/
dt
D�Vm! sen.!t C '/D Vm! cos.!t C ' C �=2/D Re.i!V ei!t /
Deducimos que el fasor que representa aV 0.t/ esi!V . Observa quei!V D !Vm ei.'C�=2/,
por lo que el fasor que corresponde a la derivada de una sinusoide va adelantado90 grados
respecto a la sinusoide.
De la misma forma, el fasor que representa a la primitiva de lasinusoideV .t/ es
1
i!
V y va
retrasado90 grados respecto a la sinusoide.
Supongamos que en el circuito de la figura (3.10) se tiene que la intensidad de la corriente
viene dada por una sinusoide (lo cual se sabe que es así cuandola fuerza electromotriz aplicada
es sinusoidal). PongamosI.t/ D Im cos.!t C '/ y seaI su fasor asociado. Expresemos la
caída de potencial en cada uno de los elementos que forman el circuito mediante los fasores de
la corriente y el voltaje. Se trata de un circuito RLC que consta de una resistencia deR ohmios,
un condensador de capacitanciaC y un inductor, con inductanciaL.
La diferencia de potencial en los extremos de la resistenciaviene dada por
VR.t/DRI.t/DRIm cos.!t C '/
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http://en.wikipedia.org/wiki/Charles_Proteus_Steinmetz
Circuitos eléctricos 100
La relación entre los fasores respectivos es
VR DRI:
ComoR > 0 se tiene que el voltaje a través de una resistencia está en fase con la corriente.
Es sabido que una corriente variable en un inductor produce un campo magnético que da
lugar a una fuerza electromotriz inducida que se opone a la fuerza electromotriz aplicada, lo
que origina una caída de potencial dada por
VL.t/DL
dI.t/
dt
Deducimos que la relación entre los correspondientes fasores es
VL D i!LI
y por tanto el voltaje a través de un inductor va adelantado90 grados respecto a la corriente.
LlamandoQ.t/ a la carga que almacena el condensador en el tiempot , se sabe que la
diferencia de potencial entre los extremos del condensadorviene dada por la igualdad
VC .t/D
Q.t/
C
D 1
C
tw
�1
I.s/ds
Y deducimos que la relación entre los correspondientes fasores es
VC D
1
i!C
I D� i
!C
I
y por tanto el voltaje a través de un inductor va retrasado90 grados respecto a la corriente.
La suma de las diferencias de potencial a través de los distintos elementos del circuito debe
ser igual al voltaje aplicado. En términos de los fasores asociados, esto quiere decir que:
RI C i!LI � i
!C
I D
�
RC i!L � i
!C
�
I D V (3.29)
El número complejo
ZDRC i!L � i
!C
se llamaimpedancia. La impedancia depende de la frecuencia de la fuerza electromotriz aplica-
da y de las características del circuito. Cuando se conocen la impedancia y el voltaje, podemos
calcular el fasor de la corriente por la igualdad
I D V
Z
D V
RC i!L � i
!C
y la corriente en el circuito viene dada porI.t/D I ei!t .
Tenemos que
jIj D jV js
R2 C
�
!L � 1
!C
�2
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	Números complejos. Exponencial compleja
	Aplicaciones de los números complejos
	Circuitos eléctricos