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Procesamiento digital de señales 101
El número!L � 1
!C
se llamareactancia. El valor de la frecuencia para el que la reactancia
se anula viene dado por!r D
1p
LC
y se llamafrecuencia de resonancia. Es el valor de la
frecuencia para el cual el valor dejIj es máximo.
3.5.3. Procesamiento digital de señales
Como sin duda sabes, los formatos digitales más frecuentes de audio e imagen son, res-
pectivamente, MP3 y JPG. Cuesta trabajo imaginar cómo seríaInternet sin estos formatos. Lo
que quizás no sepas es que la codificación MP3 y la JPG se llevana cabo con algoritmos que
usan números complejos. El hecho, por extraño que pueda parecer, es que las principales herra-
mientas para trabajar con todo tipo de señales (audio, vídeo, voz, imagen,. . . ) son complejas.
La transformada Z, la Transformada de Fourier en Tiempo Discreto, la Transformada Discreta
de Fourier, la Función de Transferencia, los modelos de polos y ceros, la Transformada de
Laplacey otras muchas herramientas básicas para el tratamiento de señales, son todas ellas
transformaciones que usan números complejos. Todavía más,las propias señales se caracte-
rizan por suespectroque ¡es un conjunto de números complejos! Si te sientes atraído por el
apasionante mundo del tratamiento digital de señales, todolo que sepas de números complejos
te será útil en tu trabajo.
Como lectura adicional te recomiendo el capítulo 24 del libro de Michael Spivak [16].
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Capı́tulo4
Funciones Continuas y lı́mite funcional
En matemáticas, la evidencia es enemiga de la corrección.
Bertrand Russell
4.1. Introducción
En esta lección vamos a estudiar con algún detalle un concepto teórico importante que es el
de continuidad. Para motivar la definición que vamos a dar de continuidad, consideremos una
ley física de la formaP D f .V /, que relaciona los valores de una “variable independienteV ”
(podemos pensar que es el volumen de un gas) con otra “variable dependienteP ” (podemos
pensar que es la presión). Si queremos usar dicha ley, hemos de medir un valorV0 de la variable
V , y es inevitable que al hacerlo cometamos algún error el cual, naturalmente, influye en el
correspondiente valor deP , que ya no será exactamente igual aP0 D f .V0/. Surge así la
pregunta natural: ¿de qué forma el error en la medida deV afecta al valor resultante deP? Es
claro que si para valores deV “muy próximos” aV0 obtengo valores deP muy diferentes entre
sí, la ley “f ” que relacionaV conP no tendrá ninguna utilidad práctica.
Puesto que los errores de medida son inevitables, no es razonable tratar de obtener “el
verdadero valorP0”. Lo que sí puede hacerse es fijar una cota de error admisible paraP (la
cual dependerá de cada situación concreta), llamemos “"” a dicha cota (" > 0), y tratar de
obtener otra cota de error “ı” (ı > 0), de tal forma que siempre que midamosV0 con un
error menor queı tengamos la seguridad de que el valor resultante paraP se diferencia de
P0 en menos que". Esto es,jf .V / � f .V0/j < " siempre quejV � V0j < ı. Cuando esto
efectivamente pueda hacerse para cualquier cota de error" > 0 decimos que la ley “f ” es
continua enV0.
Observa que cabe esperar que la cota de errorı dependa del" fijado en cada caso. Intuitiva-
mente, cuanto más pequeño sea el error permitido en los datosfinales, tanto mejor tendremos
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Continuidad 103
que medir la variable independiente. En general, la precisión ı con la que debemos medirV0
para obtener un error final menor que", depende no solamente del valor fijado de" sino también
del valor deV0. Esto es fácil de entender, no es lo mismo medir un volumen de varios metros
cúbicos que otro de unos pocos milímetros cúbicos, la precisión de nuestra medida debe ser
mejor en este último caso.
Las ideas anteriores conducen, de forma natural, a la definición matemática de continuidad.
En todo lo que sigue, la letraA representará un conjunto no vacío de números reales. En
la prácticaA será siempre un intervalo o una unión de intervalos. Recuerda que la notación
f W A ! R quiere decir quef es una función real cuyo dominio esA. Es muy importante
advertir queA no tiene por qué coincidir con el dominio natural de la función. Esto es así
porque con frecuencia estamos interesados en estudiar propiedades de una función en una parte
de su dominio natural. Además, la continuidad def depende tanto de la “regla que la define”
como del conjunto en donde estamos trabajando. Enseguida pondremos ejemplos para aclarar
esto.
4.2. Continuidad
4.1 Definición(Continuidad en un punto). Una funciónf WA! R se dice que es continua
en un puntoa 2 A si, para cada número" > 0, se puede encontrar un númeroı > 0 (que,
en general, dependerá de" y de a) tal que para todox 2A con jx � aj < ı se verifica que
jf .x/ � f .a/j < ".
La definición anterior suele escribirse, con abuso del formalismo lógico, de la siguiente
forma:
8"2RC 9 ı2RC W jx � aj < ı
x2A
�
÷jf .x/� f .a/j < " (4.1)
Comentarios a la definición.Observa que en esta definición el conjuntoA tiene mucho pro-
tagonismo: sólo se consideran los valores def enA, lo que le pueda pasar af fuera deA no
nos interesa. El siguiente ejemplo es ilustrativo.
a) Seaf WR! R la función de Dirichletdada porf .x/D1 si x2Q, f .x/D�1 si x2RnQ.
Es la función que vale1 en los puntos racionales y�1 en los irracionales. Esta función no es
continua en ningún punto. La razón es que en todo intervalo abierto, por pequeño que sea,
siempre hay números racionales e irracionales. Por eso, la funciónf oscila constantemente
entre1 y �1.
b) Las funcionesg W Q ! R dada porg.x/ D 1 y h W R n Q ! R dada porh.x/ D �1
son continuas (¡son funciones constantes!) en todo punto desus respectivos dominios de
definición.
Debes tener claro que para poder hablar de la continuidad o dela no continuidad de una función~
en un punto, la función debe estar definida en dicho punto. La condición (4.1) exige que el
númerof .a/ esté definido. Si no se conoce el valor def ena no puede comprobarse si dicha
condición se verifica o no y, por ello, no tiene sentido considerar la continuidad de esa función
en dicho punto. Insisto en esta evidencia porque en muchos textos te vas a encontrar ejercicios
del siguiente estilo:
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
	Números complejos. Exponencial compleja
	Aplicaciones de los números complejos
	Procesamiento digital de señales
	Funciones Continuas y límite funcional
	Introducción
	Continuidad