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Ejercicios resueltos 119
c) No hay ningúnz 2Q con la propiedad de que todo número racional menor quez
esté enA y todo número racional mayor quez esté enB.
152. Sean
AD fx2R W x 6 0 o x2 < 2g; B D fx2R W x > 0 y x2 > 2g:
Prueba queA¤Ø, B ¤ Ø, RD A [ B y a < b para todosa2A y b 2B. Seaz 2R el
extremo superior deA. Prueba quez2 D 2, AD� �1; zŒ, B D Œz;C1Œ.
4.3.5. Ejercicios resueltos
¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!
Ejercicio resuelto 50 a) Da un ejemplo de una función continua cuya imagen no sea un
intervalo.
b) Da un ejemplo de una función definida en un intervalo cuya imagen sea un intervalo
y que no sea continua.
c) Da un ejemplo de una función continua en todoR, no constante y cuya imagen sea
un conjunto (obligatoriamente un intervalo) acotado.
d) Da un ejemplo de una función continua enŒ0; 1Œ tal quef .Œ0; 1Œ/ no sea acotado.
e) Da un ejemplo de una función continua definida en un intervalo abierto acotado y
cuya imagen sea un intervalo cerrado y acotado.
Solución.a) Una función continua cuya imagen no sea un intervalono puede estar de-
finida en un intervalo. Una vez que caes en este detalle, se te deben de ocurrir muchos
ejemplos. Como la funciónf W�0; 1Œ[�2; 3Œ! R dada porf .x/ D 1 parax 2�0; 1Œ y
f .x/D 2 parax 2�2; 3Œ. Es claro quef es continua (usa, si quieres el teorema de loca-
lización para justificarlo en media línea) y su imagen es el conjunto f1; 2g que no es un
intervalo.
b) Aquí debes tener en cuenta que, por el teorema (4.23), la función que buscas no puede
ser monótona. Una vez que caes en este detalle, se te deben de ocurrir muchos ejemplos.
Como la funciónf W Œ0; 2�! R dada porf .x/D 2x parax 2 Œ0; 1�, f .x/D x=2 para
x2�1; 2�. Claramentef es discontinua enx D 1, pero su imagen es el intervaloŒ0; 2�.
c) Esto es muy fácil. Por ejemplo, la funciónf .x/D 1
1C x2 . Claramente,f .R/D�0; 1�.
d) Esto es muy fácil. Por ejemplo,f .x/ D 1
1 � x , x 2 Œ0; 1Œ. Claramente,f .Œ0; 1Œ/ D
Œ1;C1Œ.
e) Por ejemplo, la restricción de la función seno al intervalo � � �;�Œ. Si quieres otro
ejemplo más elemental, puedes modificar de forma apropiada el ejemplo del punto b).
Ejercicio resuelto 51 Prueba que sif WA! R es continua ena entonces también lo es
jf j. Da un ejemplo de función discontinua cuyo valor absoluto escontinua.
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 120
Demostración. Todo lo que se necesita es la desigualdad
ˇ̌
juj�jvj
ˇ̌
6 ju�vj. En nuestro
caso tenemos: ˇ̌
jf .x/j � jf .a/j
ˇ̌
6 jf .x/ � f .a/j
Supuesto quef es continua ena, dado" > 0, existeı > 0 tal que sijx � aj < ı
y x 2 A entoncesjf .x/ � f .a/j < " lo que, por la desigualdad anterior, implica queˇ̌
jf .x/j � jf .a/j
ˇ̌
< " y, por tanto,jf j es continua ena.
La función dada porf .x/D 1 si x > 0 y f .x/D �1 si x < 0 , es discontinua en0
perojf j es continua en0. ©
Ejercicio resuelto 52 Estudia la continuidad de la funciónf WR! R dada por f .x/ D
E.x2/.
Demostración. Claramentef D E ı ' donde'.x/D x2. Puesto que' es continua en
todo punto y la función parte entera es continua enR n Z, deducimos por el teorema
de composición de funciones continuas, quef es continua en todo puntoa2R tal que
'.a/D a2 62 Z. Es decir,f es continua enR nB dondeBD fpn W n2Ng [ f�pn W n2
Ng [ f0g. Los puntos deB requieren un estudio particular pues,a priori, no podemos
asegurar quef sea discontinua en ellos.
Empecemos estudiando la posible continuidad def en0. Es claro que para�1 < x < 1
tenemos que0 6 x2 < 1 por lo quef .x/D 0 para todox2� � 1; 1Œ. Es decir, la función
fj��1;1Œ ( restricción def al intervalo � � 1; 1Œ) es la función constante igual a0 y por
tantofj��1;1Œ es continua. Como el intervalo��1; 1Œ es abiertodeducimos,por el teorema
de localizaciónquef es continua en� � 1; 1Œ y, en particular,f es continua en0.
Consideremos ahora un punto de la forma
p
q dondeq 2N (fijo en lo que sigue). Para
todox 2�
p
q � 1;pq Œ se tiene queq�1 < x2 < q por lo quef .x/Dq�1. Cualquiera
seaı > 0, hay puntos
x2�pq � ı;pq C ıŒ\�
p
q � 1;pq Œ
para los quejf .pq/�f .x/jD jq� .q� 1/jD 1, por lo que tomando"0 < 1 deducimos
quef no es continua en
p
q.
De forma análoga se prueba quef es discontinua en los puntos de la forma�pq donde
q2N. ©
Ejercicio resuelto 53 Estudia la continuidad de la funciónf WR! R, definida porf .x/D
xE.1=x/ si x ¤ 0, f .0/D 1.
Solución.El teorema de localización puede usarse en este tipo de ejercicios. En nuestro
caso, es evidente que parax > 1 esf .x/D0, y parax < �1 esf .x/D�x. Por tanto la
restriccióndef a los intervalos�1;C1Œ y ��1;�1Œ es continua y, como estos intervalos
son abiertos, deducimos por el teorema de localización quef es continua en dichos
intervalos. De forma parecida podemos razonar con un intervalo del tipo�1=.nC1/; 1=nŒ
donden2N pues, parax 2�1=.nC 1/; 1=nŒ se tiene quef .x/D nx, luego la restricción
def a dicho intervalo es continua y, por tratarse de un intervaloabierto, deducimos que
f es continua en�1=.n C 1/; 1=nŒ. Análogamente se razona con un intervalo del tipo
� � 1=n;�1=.n C 1/Œ. El teorema de localización no nos dice qué pasa en los puntos
extremos de los intervalos considerados, es decir, en los puntos de la forma1=n donde
n2Z�, y tampoco en0.
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Ejercicios resueltos 121
Estudiemos qué ocurre en un punto de la forma1=p dondep > 2 es un entero (fijo en
lo que sigue). Tenemos quef .1=p/ D 1. Para todox 2�1=.p � 1/; 1=pŒ se tiene que
p � 1 < 1=x < p, por lo queE.1=x/D p � 1 y f .x/D .p � 1/x, y por tanto
f .1=p/ � f .x/D 1 � .p � 1/x > 1 � .p � 1/=p D 1=p:
En consecuencia, dado"0D1=2p, cualquiera seaı > 0 hay puntosx 2�1=.p�1/; 1=pŒ
cuya distancia al punto1=p es menor queı, para los cualesno se verificala desigualdad
jf .1=p/� f .x/j < "0. Concluimos quef es discontinua en1=p. De forma parecida se
prueba quef es discontinua en los puntos de la forma1=q dondeq 6 �2 es un entero.
Igualmente se prueba quef es discontinua en los puntos1 y �1.
Queda por ver qué pasa en0. Si dibujamos con paciencia (con lápiz y regla) la gráfica de
f obtenemos la figura4.2(los segmentos verticales indican discontinuidades de salto):
1
O-1-2 1
Figura 4.2. La funciónxE.1=x/
Parecequef es continua en0. Paraprobarlo hay que probar quejf .x/ � f .0/j es tan
pequeño como queramos (< ") siempre quejx � 0j D jxj sea suficientemente pequeño
(< ı). Lo usual en estos casos estrabajar para atrás. Empezamosacotandof .x/ � 1.
Recordemos que
E.1=x/6 1=x 6 E.1=x/C 1 (4.9)
Si x > 0 podemos multiplicar porx dicha desigualdad para obtener que
xE.1=x/6 1 6 xE.1=x/C x:
Resulta así que parax > 0 es:
0 6 1� xE.1=x/D f .0/ � f .x/6 x (4.10)
Si x < 0 podemos multiplicar porx la desigualdad (4.9) para obtener que
xE.1=x/> 1 > xE.1=x/C x:
Resulta así que parax < 0 es:
0 > 1 � xE.1=x/D f .0/ � f .x/> x es decir 0 6 f .x/� f .0/6 �x (4.11)
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	Funciones Continuas y límite funcional
	Teorema de Bolzano. Supremo e ínfimo
	Ejercicios resueltos