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Límites laterales de una función en un punto 134
4.32 Definición. Se dice quef tiene límite en el puntoa si existe un númeroL2R tal que
se verifica lo siguiente:
8"2RC 9 ı2RC W 0 < jx � aj < ı
x2I
�
÷jf .x/�Lj < " (4.16)
Dicho número se llamalímite de f ena y escribimos lKım
x!a
f .x/DL :
Observa que la existencia del límite es independiente de quef esté o no definida ena
y, en caso de estarlo, del valor quef pueda tener ena. También debe advertirse que en la
definición de laigualdad lKım
x!a
f .x/DL , sólo intervienendesigualdades.
Es fácil probar que la condición (4.16) no puede ser satisfecha por dos números distintos,
es decir,el límite de una función en un punto, si existe, es único. Una consecuencia inmediata
de la definición dada de límite y de la definición de continuidad (4.1), es el siguiente resultado.
4.33 Proposición. Seaf W I ! R una función definida en un intervalo y seaa2I . Equivalen
las afirmaciones siguientes:
i) f es continua ena.
ii) lKım
x!a
f .x/D f .a/.
4.5.1. Límites laterales de una función en un punto
En la recta real es posible distinguir si nos acercamos “por la derecha” o “por la izquierda” a
un punto. Ello conduce de forma natural a la consideración delos límites lateralesque pasamos
a definir.
4.34 Definición. � Supongamos que el conjuntofx2I W a < xg no es vacío. En tal caso,
se dice quef tiene límite por la derechaen a, si existe un númerǫ 2R tal que se
verifica lo siguiente:
8"2RC 9 ı2RC W a < x < aC ı
x2I
�
÷jf .x/� ˛j < " (4.17)
Dicho número se llamalímite por la derecha def en a y, simbólicamente, escribimos
lKım
x!a
x>a
f .x/D ˛ :
� Supongamos que el conjuntofx 2 I W x < ag no es vacío. En tal caso, se dice que
f tiene límite por la izquierdaen a, si existe un númerǒ 2R tal que se verifica lo
siguiente:
8" 2 RC 9 ı2RC W a � ı < x < a
x2I
�
÷jf .x/� ˇj < " (4.18)
Dicho número se llamalímite por la izquierda de f ena y, simbólicamente, escribimos
lKım
x!a
x<a
f .x/D ˇ :
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Límites infinitos 135
Observación.Es importante advertir que los límites laterales son casos particulares del concep-~
to general de límite de una función en un punto dado en la definición (4.32). Para convencerte
de ello, basta que consideres la restricción de la funciónf a la derecha del puntoa, esto es,
la restricción def al intervalofx2I W x > ag, en cuyo caso el límite por la derecha def en
a no es otra cosa que el límite en el puntoa (en el sentido de la definición (4.32)) de dicha
restricción. Igual pasa con el límite por la izquierda.
En particular, es claro que:
� Si aD supI , entonces lKım
x!a
f .x/D lKım
x!a
x<a
f .x/.
� Si aD Kınf I , entonces lKım
x!a
f .x/D lKım
x!a
x>a
f .x/.
Por ello, cualquier resultado referente a límites de funciones en un punto puede ser convenien-
temente enunciado para límites laterales sin más que considerar la restricción de la función a
la derecha o a la izquierda del punto en cuestión.
La siguiente proposición también es consecuencia inmediata de las definiciones dadas.
4.35 Proposición.Si a no es un extremo deI , entoncesf tiene límite ena si, y sólo si, los
dos límites laterales def ena existen y son iguales, en cuyo su valor común coincide con el
valor del límite def ena.
lKım
x!a
f .x/DL” lKım
x!a
x<a
f .x/D lKım
x!a
x>a
f .x/DL (4.19)
Notación. En la mayoría de los textos de Cálculo los límites laterales por la derecha y por la
izquierda suelen representarse con las siguientes notaciones
lKım
x!aC
f .x/; lKım
x!a�
f .x/
El problema es que hay estudiantes que leen los símbolos y no leen lo que significan, y terminan
interpretando queaC y a� son números. Claro está que no son números, son símbolos que
significan que en los límites lKım
x!aC
f .x/ y lKım
x!a�
f .x/ se consideran solamente los valores
de la variablex que son respectivamente mayores o menores quea. Esa es la forma correcta
de leer esos símbolos. Ya he advertido varias veces de la necesidad de traducir en palabras
el significado de los símbolos. Lo repito una vez más: no se deben leer los símbolos sino su
significado.
4.5.2. Límites infinitos
4.5.2.1. Funciones divergentes en un punto
4.36 Definición. Se dice quef es positivamente divergenteen a si se verifica lo siguiente:
8M 2RC 9 ı2RC W 0 < jx � aj < ı
x2I
�
÷f .x/ > M (4.20)
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Límites infinitos 136
Simbólicamente, escribimos lKım
x!a
f .x/DC∞.
Se dice quef es positivamente divergente por la izquierdaen a si se verifica lo si-
guiente:
8M 2 RC 9 ı2RC W a � ı < x < a
x2I
�
÷f .x/ > M (4.21)
Simbólicamente, escribimos lKım
x!a
x<a
f .x/DC∞.
Se dice quef es positivamente divergente por la derechaen a si se verifica lo siguiente:
8M 2 RC 9 ı2RC W a < x < aC ı
x2I
�
÷f .x/ > M (4.22)
Simbólicamente, escribimos lKım
x!a
x>a
f .x/DC∞.
De forma análoga se definen los conceptos:
� “f es negativamente divergenteen a”. Simbólicamente lKım
x!a
f .x/D�∞.
� “f es negativamente divergente por la izquierda o por la derecha en a”. Simbólica-
mente lKım
x!a
x<a
f .x/D�∞ lKım
x!a
x>a
f .x/D�∞
Gráficamente, el hecho de que una función sea divergente en unpuntoa, se traduce en que
la recta de ecuaciónx D a es unaasíntota verticalde su gráfica.
4.5.2.2. Límites en infinito
4.37 Definición.Seaf W I ! R una función definida en un intervalono mayoradoI . Se dice
que f tiene límite enC∞ si existe un númeroL2R tal que se verifica lo siguiente:
8" 2 RC 9K2RC W x > K
x2I
�
÷jf .x/�Lj < " (4.23)
Dicho número se llama límite def enC∞ y escribimos lKım
x!C1
f .x/D L.
Análogamente se define el límite en�∞.
Gráficamente, el hecho de que una función tenga límite igual aL enC1 o en�1, se
traduce en que la recta de ecuacióny DL es unaasíntota horizontalde su gráfica.
4.5.2.3. Funciones divergentes en infinito
4.38 Definición.Seaf W I ! R una función definida en un intervalono mayoradoI . Se dice
que f es positivamente divergente enC∞ si se verifica lo siguiente:
8M 2 RC 9K2RC W x > K
x2I
�
÷f .x/ > M (4.24)
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Cálculo diferencial e integral
	Funciones Continuas y límite funcional
	Límite funcional
	Límites laterales de una función en un punto
	Límites infinitos
	Funciones divergentes en un punto
	Límites en infinito
	Funciones divergentes en infinito