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El infinito matemático y el nacimiento de la teoría de conjuntos 197
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Figura 5.18. Unión numerable
Demostración. Puesto que la aplicación' W Z! N definida por:
'.n/D
�
2n si n > 0
1 � 2n si n 6 0
es una biyección, y para cadam 2 Z el conjunto:
Am D
�
m
p
W p 2 N
�
es numerable, se sigue del resultado anterior queQD
[
m2Z
Am es numerable. 2
Por serQ numerable infinito se verifica queQ es equipotente aN, es decir, existen biyec-
ciones deN sobreQ. Hemos respondido en parte a nuestra pregunta inicial: hay tantos números
racionales como números naturales. Nos falta todavía dar alguna información del tamaño de
RnQ.
5.18 Teorema(Principio de los intervalos encajados). Para cada número naturaln sea In D
Œan; bn� un intervalo cerrado no vacío y supongamos que para todon 2 N es InC1 � In. Se
verifica entonces que:
i) ˛ D supfan W n 2 Ng6 ˇ D Kınffbn W n 2 Ng.
ii)
\
n2N
In D Œ˛; ˇ�.
En particular, el conjunto
\
n2N
In no es vacío.
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
El infinito matemático y el nacimiento de la teoría de conjuntos 198
Demostración. i) Las hipótesis ؤInC1 � In, implican quean 6 anC1 6 bnC1 6 bn para
todo n 2 N. Deducimos que las aplicacionesn 7! an y n 7! �bn, son crecientes, esto es,
an 6 am; bm 6 bn siempre quen < m. Ahora, dadosp; q 2 N y poniendok DmKaxfp; qg,
tenemos queap6ak6bk6bq . Hemos obtenido así que cualesquiera sean los números naturales
p; q es ap 6bq . Luego todo elemento deBDfbn Wn 2 Ng es mayorante deADfan Wn 2 Ng
y por tanto˛DsupA6bn para todon 2 N. Lo cual, a su vez, nos dice quęes un minorante
de B y por tanto concluimos quę 6 ˇ D Kınf B.
ii) Es consecuencia de quex 2
\
n2N
In equivale a quean 6 x 6 bn para todon 2 N, lo que
equivale a quę 6 x 6 ˇ, es decirx 2 Œ˛; ˇ�. 2
5.19 Teorema. Dados dos números realesa < b se verifica que el intervaloŒa; b� no es
numerable.
Demostración. Si Œa; b� fuera numerable tendría que ser equipotente aN. Veamos que esto no
puede ocurrir. Supongamos que' WN ! Œa; b� es una biyección deN sobreŒa; b�. En particular
' es sobreyectiva por lo que deberá serŒa; b�Df'.n/Wn 2 Ng. Obtendremos una contradicción
probando que tiene que existir algún elementoz 2 Œa; b� tal que z 62 f'.n/ W n 2 Ng.
Para ello se procede de la siguiente forma. Dividimos el intervalo Œa; b� en tres intervalos
cerrados de igual longitud:
�
a; aC b � a
3
�
;
�
aC b � a
3
; b � b � a
3
�
;
�
b � b � a
3
; b
�
y llamamosI1 al primero de ellos (es decir el que está más a la izquierda) que no contiene a
'.1/. Dividamos ahora el intervaloI1 en tres intervalos cerrados de igual longitud y llamemos
I2 al primero de ellos que no contiene a'.2/.
Este proceso puede “continuarse indefinidamente” pues, supuesto quen 2 N; n > 2, y
que tenemos intervalos cerrados de longitudpositiva Ik ; 1 6 k 6 n; tales queIkC1 � Ik
para 1 6 k 6 n � 1, y '.k/ 62 Ik para 1 6 k 6 n, dividimos el intervaloIn en tres intervalos
cerrados de igual longitud y llamamosInC1 al primero de ellos que no contiene a'.nC 1/.
De esta forma para cadan 2 N tenemos un intervalo cerradoIn no vacío verificándose que
InC1 � In y '.n/ 62 In para todon 2 N. El principio de los intervalos encajados nos dice que
hay algún número realz que está entodoslos In. Por tanto, cualquiera sean 2 N, por ser
z 2 In y '.n/ 62 In, se tiene necesariamente quez ¤ '.n/, esto es,z 62 f'.n/ W n 2 Ng pero,
evidentemente,z 2 Œa; b�. 2
¿Te recuerda algo la demostración anterior? ¿Quizás a la divisibilidad infinita del continuo?
Pues claro, lo que estamos haciendo es dividir infinitas veces un segmento (el prototipo de
continuo). Lo que nos dice este resultado es que, aunque lo dividamos en un infinito actual
de partes, siempre nos quedarán puntos que no habremos tocado. Aristóteles afirmaba que un
continuo puede dividirse en cualquier parte pero no en todaspartes: hay que darle la razón en
este punto.
5.20 Teorema.R y RnQ son conjuntos no numerables.
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Ejercicios propuestos 199
Demostración. Evidentemente todo subconjunto de un conjunto numerable también es nume-
rable. Como acabamos de ver que hay subconjuntos deR que no son numerables deducimos
queR no es numerable. Puesto queRDQ [ .RnQ/ y sabemos queQ es numerable yR no
lo es, deducimos queRnQ no es numerable. 2
El teorema anterior demuestra no solamente queRnQ no es vacío sino que “hay muchos
más números irracionales que racionales” pues mientras quepodemos enumerar los racionales
no podemos hacer lo mismo con los irracionales ya que no hay biyecciones deN sobreRnQ.
Deducimos también la siguiente estrategiapara probar que un conjuntoA�R no es vacío
es suficiente probar que su complementoRnA es numerable(!con lo cual, de hecho, estamos
probando queA es infinito no numerable!).
5.4.4. Ejercicios propuestos
173. Prueba que la aplicaciónF WN �N ! N dada por:
f .m;n/D nC .mC n� 2/.mC n� 1/
2
para todo.m;n/ 2 N �N
es una biyección.
Sugerencias: para cadap 2 N definamos:
'.p/DmKax
(
q 2 N W q <
r
2p C 1
4
C 1
2
)
Observa que'.p/ es un número natural mayor o igual que2. Prueba que para todo
p 2 N se verifica:
.'.p/� 2/.'.p/ � 1/
2
< p 6
.'.p/� 1/'.p/
2
.�/
Definamos ahora:
h.p/D p � .'.p/ � 2/.'.p/ � 1/
4
; para todop 2 N
Justifica, teniendo en cuenta.�/, que h.p/ 2 N y '.p/ � h.p/> 1:
Comprueba finalmente que,p D F.'.p/ � h.p/;h.p//, para cadap 2 N:
174. Seaf W Œa; b�! R creciente. Para cadą2�a; bŒ definamos:
!.f; ˛/D Kınfff .t/ W ˛ < t 6 bg � supff .s/ W a 6 s < ˛g
Prueba que:
i) !.f; ˛/> 0 y !.f; ˛/D 0 si, y sólo si,f es continua en̨ .
ii) Si a < ˛1 < ˛2 < � � � < ˛p < b, entonces:
!.f; ˛1/C !.f; ˛2/C � � � C !.f; ˛p/6 f .b/ � f .a/
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	Números y límites. El infinito matemático
	Breve historia del infinito
	Ejercicios propuestos