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Razón de cambio puntual y velocidad instantánea 203
la variabley lo hace def .a/ af .x/. La razón de cambio promedio dey D f .x/ con respecto
a x en el intervaloŒa;x� es:
Razón de cambio promedioD f .x/� f .a/
x � a
Con frecuencia interesa considerar la razón de cambio en intervalos cada vez más pequeños.
Esto lleva a definir lo que podemos llamar “razón de cambio puntual deyDf .x/ con respecto
a x en el puntoa” como:
lKım
x!a
f .x/� f .a/
x � a :
El ejemplo más conocido de esto que decimos es el de un móvil que se mueve a lo largo de una
recta sobre la cual hemos elegido un origen. Seas.t/ la posición del móvil en el tiempot , es
decir, la distancia con signo del móvil al origen en el tiempot . La razón de cambio promedio
tiene en este caso una interpretación física natural:
s.aC h/ � s.a/
h
Es lavelocidad mediadel móvil en el intervalo de tiempo comprendido entrea y aCh. Parece
intuitivo que, en cada instante, el móvil se mueve con una determinadavelocidad instantánea.
Pero no hay manera de medir directamente una velocidad instantánea; un instante quiere decir
una posición en la recta: la velocidad instantánea del móvilparat D a es la velocidad que tiene
cuando está en la posicións.a/. La velocidad instantánea es una abstracción de un característica
física del movimiento, pero no es una magnitud que podamos observar directamente. La única
definición razonable de velocidad instantánea es como la razón de cambio puntual:
lKım
h!0
s.aC h/ � s.a/
h
Notación. En lo que sigue usaremos las letrasI , J para representar intervalos no vacíos de
números reales.
6.1 Definición. Se dice que una funciónf W I ! R esderivable en un puntoa2I , si existe
el límite:
lKım
x!a
f .x/� f .a/
x � a :
Explícitamente,f es derivable ena si hay un númeroL2R verificando que para cada número
" > 0 existe algún númeroı > 0 tal que para todox 2 I conx¤a y j x � a j< ı se tiene que:
ˇ̌
ˇ̌f .x/� f .a/
x � a � L
ˇ̌
ˇ̌6 ":
Dicho númeroL se llamaderivada def ena y lo representaremos porf 0.a/ (notación debida
a Lagrange).
La notación de Lagrange tiene la gran ventaja de poner de manifiesto que al aplicar la
operación de derivación a una función obtenemos una nueva función, que está definida en
todos los puntos donde la función dada sea derivable. Es usual considerar funciones derivadas
definidas en intervalos.
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Razón de cambio puntual y velocidad instantánea 204
6.2 Definición. Dada una funciónf WI ! R derivable en todo punto deI , la función derivada
def es la funciónf 0 W I ! R que a cada puntox 2 I hace corresponder la derivada def en
dicho punto.
6.3 Observaciones. i)El límite lKım
x!a
f .x/� f .a/
x � a se puede escribir también de la forma
lKım
h!0
f .aC h/ � f .a/
h
:
ii) La derivabilidad def en un puntoa 2 I es unapropiedad local, depende solamente del
comportamiento def en los puntos deI próximos al puntoa. Concretamente, siJ es cualquier
intervalo abiertoque contiene el puntoa, se verifica quef es derivable ena si, y sólo si, la
función restricciónfjI \J es derivable ena y, por supuesto, en tal caso ambas funciones tienen
la misma derivada ena.
La notación diferencial de Leibniz.La notación
df .x/
dx
para representar la derivada def en
x es debida a Leibniz.
Leibniz interpretaba ese símbolo como un “cociente diferencial” pues él lo entendía así:
como un cociente de cantidades infinitesimales, y lo manejaba como un cociente; por ejemplo,
se puede multiplicar o dividir, según convenga, por dx o df .x/ . En el capítulo 5 hemos visto
los problemas que planteaba el uso de cantidades infinitesimales, y cómo, finalmente, a partir
del último tercio del siglo XIX, fueron totalmente abandonadas. Por eso, la interpretación de
Leibniz de la derivada, aunque intuitiva, no es la que se sigue en la gran mayoría de los cursos
de cálculo1.
A pesar de lo dicho, es frecuente, sobre todo en libros de ingeniería, usar la notación de
Leibniz y manejarla como él lo hacía. Creo que esto es útil porque la notación de Leibniz
tiene una gran fuerza heurística, y no debe presentar ningúnproblema, siempre que no acabes
creyendo que una derivada, tal como la hemos definido, es un cociente de infinitésimos. Y
siempre que dicha notación se use como un mero simbolismo y nose hagan demostraciones
apoyadas en su supuesta significación.
Una dificultad de la notación de Leibniz es que no es cómoda para representar la derivada
en un punto concreto. Podemos entender que
df .x/
dx
es la función derivadaf 0.x/, pero ¿cómo
indicamos la derivada en punto concretoa? Las notaciones
df .a/
dx
y
df .x/
dx
.a/ son confusas.
Lo que suele hacerse es escribir:
df .x/
dx
ˇ̌
ˇ̌
xDa
que, realmente, es una notación incómoda. Una posible mejora sería escribir
df
dx
.x/ para
representarf 0.x/, en cuyo caso
df
dx
.a/ indicaríaf 0.a/.
La verdad es que la mayoría de los libros de ingeniería que usan estas notaciones lo hacen
sin preocuparse mucho por su significado, y esa es una causa importante de que muchas veces
no se entienda bien lo que escriben. Las notaciones son importantes y hay que manejarlas
1Aunque sí en los cursos de Análisis No Estándar basados en loshiperreales de A. Robinson.
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cuidadosamente. Y todavía más, cuando una notación se supone que tiene un significado casi
mágico, y que por su fuerza simbólica ella sola, por sí misma,proporciona demostraciones.
Volveremos a considerar este asunto más adelante.
6.4 Definición. Supuesto quef es derivable ena, la recta de ecuación cartesiana:
y D f .a/C f 0.a/.x � a/
se llamarecta tangentea la gráfica def en el punto.a; f .a//, y también recta tangente af
enx D a.
Cuandof 0.a/¤ 0, la recta de ecuación:
y D f .a/ � 1
f 0.a/
.x � a/
es larecta normal a la gráfica def en el punto.a; f .a//, y también recta normal af enxDa
6.2.2.1. Elementos de una curva relacionados con la derivada
En la figura6.2 se han representado algunos elementos de una curva que se expresan por
medio de la derivada.
P
x
�
�
�
M N
y
U
H
˛
V
O
Q
T
�
Figura 6.2. Elementos de una curva relacionados con la derivada
La pendiente de la tangente es tg.�/D y 0.
La pendiente de la normal es tg.˛/D tg.�=2C �/D�1=y 0.
El segmentoTM es lasubtangente. Su longitud viene dada porTMDy cotg.�/Dy=y 0.
El segmentoMN es lasubnormal. Su longitud viene dada porMN D y tg.�/D yy 0.
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	Derivadas
	Concepto de derivada. Interpretación física y geométrica
	Razón de cambio puntual y velocidad instantánea
	Elementos de una curva relacionados con la derivada