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Derivadas laterales 206
Los segmentos interceptados en los ejesOX y OY por la tangente son
(
OT DOM � TM D x � y=y 0
OV D PM � PQD y � x tg.�/D y � xy 0
Los segmentos interceptados en los ejesOX y OY por la normal son
(
ON DOM CMN D x C y tg.�/D x C yy 0
OU DOH CH U D y C x tg.�/D y C x tg.�=2 � �/D y C x=y 0
6.2.3. Derivadas laterales
6.5 Definición. Se dice quef esderivable por la izquierda en a si existe el límite:
lKım
x!a
x<a
f .x/� f .a/
x � a :
El valor de dicho límite se llama laderivada por la izquierda def ena.
Análogamente se dice quef esderivable por la derecha ena; si existe el límite:
lKım
x!a
x>a
f .x/� f .a/
x � a :
El valor de dicho límite se llama laderivada por la derechadef ena.
Teniendo en cuenta la relación que hay entre el límite de una función en un punto y los
límites laterales, es claro que:
i) Si aDmKaxI , entonces la derivabilidad def ena es lo mismo que la derivabilidad por
la izquierda def ena.
ii) Si a DmKınI , entonces la derivabilidad def ena es lo mismo que la derivabilidad por
la derecha def ena.
iii) Si a no es un extremo deI , entonces equivalen las afirmaciones:
a) f es derivable ena.
b) Las derivadas por la izquierda y por la derecha def ena existen y coinciden.
6.2.4. Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivación
El siguiente resultado nos dice que la derivabilidad es una propiedad más fuerte que la
continuidad.
6.6 Proposición. Toda función derivable en un punto es continua en dicho punto.
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivación 207
Demostración. En efecto, sif W I ! R es derivable ena, de la igualdad:
f .x/D f .a/C .x � a/f .x/� f .a/
x � a .x2I; x ¤ a/
se sigue que lKım
x!a
f .x/D f .a/, es decir,f es continua ena. 2
6.7 Teorema(Reglas de derivación). Sean f;g W I ! R dos funciones. Se verifican las
siguientes afirmaciones:
i) La funciones suma,f C g, y producto,fg, son derivables en todo puntoa2I en el que
f y g sean derivables, y las derivadas respectivas vienen dadas por:
.f C g/0.a/D f 0.a/C g 0.a/I .fg/0.a/D f 0.a/g.a/C f .a/g 0.a/
ii) Si g.x/¤ 0 para todox 2 I , la función cocientef=g es derivable en todo puntoa2I
en el quef y g sean derivables, en cuyo caso se verifica que:
�
f
g
�0
.a/D f
0.a/g.a/ � f .a/g 0.a/
.g.a//2
Demostración. Las reglas de derivación se prueban muy fácilmente haciendo uso de las propie-
dades algebraicas de los límites y la definición de derivada.Es suficiente que tengas en cuenta
las siguientes igualdades:
.f C g/.x/� .f C g/.a/
x � a D
f .x/� f .a/
x � a C
g.x/� g.a/
x � a
.fg/.x/� .fg/.a/
x � a D
f .x/� f .a/
x � a g.x/C f .a/
g.x/ � g.a/
x � a
1
g
.x/� 1
g
.a/
x � a D �
g.x/ � g.a/
x � a
1
g.x/g.a/
De la primera y segunda igualdades se deduce, tomando límites parax ! a , las reglas para
la derivada de una suma y de un producto. Igualmente, de la tercera igualdad, se deduce la
derivada de1
g
, de donde, se obtiene la derivada def
g
D f 1
g
haciendo uso de la regla para
derivar un producto. 2
Como las funciones constantes tienen derivada nula en todo punto y la función identidad,
f .x/D x, tiene derivada igual a 1 en todo punto, aplicando las reglasde derivación anteriores
se obtiene el siguiente corolario.
6.8 Corolario. Las funciones polinómicas son derivables en todo punto y lasfunciones racio-
nales son derivables en todo punto de su conjunto natural de definición. Además la derivada de
la función polinómicaf .x/D a0 C a1x C a2x2 C � � � C anxn en cada puntox 2 R viene
dada por:
f 0.x/D a1 C 2a2x C 3a3x2 C � � � C nanxn�1
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Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivación 208
6.9 Teorema(Derivación de una función compuesta o regla de la cadena). Seanf W I ! R
y g W J ! R con f .I / � J , y sea hD gıf W I ! R la función compuesta. Supongamos
quef es derivable ena 2 I y queg es derivable enf .a/. Entoncesh es derivable ena y
h 0.a/D g 0.f .a//f 0.a/.
En particular, sig es derivable enJ , la función compuestahDgıf es derivable en todo punto
deI dondef sea derivable.
Demostración. PongamosbDf .a/. Tenemos que probar que lKım
x!a
h.x/� h.a/
x � a D g
0.b/f 0.a/.
Por hipótesis se cumple que :
lKım
y!b
g.y/ � g.b/
y � b lKımx!a
f .x/� f .a/
x � a D g
0.b/f 0.a/
La idea de la demostración es hacer en esta igualdad la sustitución y D f .x/. Como no está
garantizado por las hipótesis hechas que parax ¤ a se tengaf .x/¤ b, no está justificado
hacer directamente la sustitución indicada (dividir por cero está prohibido). Podemos evitar
esta dificultad como sigue. Definamos la función' W J ! R por:
'.y/D g.y/ � g.b/
y � b .y ¤ b/; '.b/D g
0.b/
Con ello la función' es continua enb. Es inmediato ahora comprobar que para todox2I con
x ¤ a se verifica que:
h.x/ � h.a/
x � a D '.f .x//
f .x/� f .a/
x � a : (6.1)
Ahora, comof es continua ena (porque es derivable ena) y ' es continua enb D f .a/, se
sigue que' ı f es continua ena, por lo que:
lKım
x!a
'.f .x//D '.f .a//D '.b/D g 0.b/:
La igualdad (6.1) nos dice ahora que:
lKım
x!a
h.x/ � h.a/
x � a D g
0.b/f 0.a/
como queríamos probar. 2
Regla de la cadena al estilo Leibniz.Una demostración de la regla de la cadena al “estilo
Leibniz” podría ser como sigue. Por una parte, tenemos quey es función dex a través deg, es
decir,y D g.x/. También tenemos quex es función det a través def , x D f .t/. Entonces la
variación dey respecto at se hace por intermedio dex:
dy
dt
D dy
dx
dx
dt
(6.2)
Hemos acabado. Todo lo que hemos hecho ha sido multiplicar y dividir por dx .
No sé lo que pensará tú de esto, pero a mí me parecería una bromaque alguien pretendiera
que lo que hemos hecho es una demostración. Primero: ¿qué es dx ? Porque si es un símbolo,
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	Derivadas
	Concepto de derivada. Interpretación física y geométrica
	Derivadas laterales
	Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivación