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Consecuencias del teorema del valor medio 227
� Se defineh.x/D g.x/ � f .x/ y se comprueba queh.a/D 0.
� Se comprueba queh 0.x/> 0 para todox > a.
Esta última desigualdad implica queh es creciente enŒa;C1Œ y, comoh.a/D0, concluimos
queh.x/> 0, es decir,g.x/� f .x/> 0, para todox > a.
Naturalmente, los detalles pueden cambiar. Puede que el punto a debas elegirlo tú. Es
una estrategia que tiene éxito cuando la desigualdadh 0.x/ > 0 es más fácil que la inicial.
Puede ocurrir que esta desigualdad siga siendo complicada;entonces podemos aplicarle a ella
el mismo procedimiento, comprobamos queh 0.a/ D 0 y queh 00.x/ > 0 para todox > a, lo
que implica queh 0 es creciente enŒa;C1Œ y, comoh 0.a/D 0, concluimos queh 0.x/> 0 para
todox > a.
De la proposición (6.21) se deduce el siguiente resultado de extremo absoluto.
6.23 Proposición(Criterio de extremo absoluto). Seaf una función continua enŒa; b� y
derivable en todo punto de�a; bŒ con la posible excepción de un puntoc 2�a; bŒ.
a) Sif 0.x/> 0 para todox 2�a; cŒ y f 0.x/6 0 para todox 2�c; bŒ, entoncesf alcanza enc
un máximo absoluto enŒa; b�.
b) Sif 0.x/6 0 para todox 2�a; cŒ y f 0.x/> 0 para todox 2�c; bŒ, entoncesf alcanza enc
un mínimo absoluto enŒa; b�.
Demostración. a) Las hipótesis hechas implican, en virtud de la proposición (6.21), quef
es creciente enŒa; c� y decreciente enŒc; b�. Por tanto, se verifica quef .x/ 6 f .c/ para todo
x 2 Œa; b�.
La demostración del apartadob) se hace de la misma forma. 2
El anterior criterio de extremo absoluto suele aplicarse enpuntos donde la derivada se
anula. Aunque el resultado anterior está enunciado en términos de extremos absolutos, está
claro que si se aplica a un pequeño intervalo contenido en un intervalo más grande, donde la
función está definida, dicho resultado proporciona en tal caso un criterio de extremo relativo.
6.24 Teorema.Seaf W I ! R derivable en el intervaloI conf 0.x/¤ 0 para todox2I . Se
verifica entonces una de las dos afirmaciones siguientes:
f es estrictamente creciente yf 0.x/ > 0 para todox2I .
f es estrictamente decreciente yf 0.x/ < 0 para todox2I .
Demostración. Dados dos puntosu; v2I conu¤v, podemos razonar como antes para obtener
que existec 2�u; vŒ tal quef .v/ � f .u/ D f 0.c/.v � u/ ¤ 0. Hemos probado así quef es
inyectiva en el intervaloI . Como, ademásf es continua enI (por ser derivable), podemos
usar el resultado4.26del capítulo 4, para deducir quef es estrictamente monótona enI . Es
suficiente tener en cuenta ahora la proposición anterior para concluir la demostración. 2
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Prof. Javier Pérez
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Consecuencias del teorema del valor medio 228
Es importante advertir que el resultado anterior nos dice que si una funciónf es derivable
en un intervalo y la derivadaf 0 toma valores positivos y negativos, entoncesf 0 se anula en
algún punto. Este resultado recuerda mucho al teorema de losceros de Bolzano para funciones
continuas en un intervalo, con una notable diferencia: aquíno exigimos que la función deri-
vadaf 0 sea continua. De hecho, se verifica el siguiente resultado que es un teorema del valor
intermedio para funciones derivadas, en el que no se supone que la derivada sea continua.
6.25 Teorema(Propiedad del valor intermedio para derivadas). Sea' una función definida
en un intervaloI que es la derivada de alguna función en dicho intervalo. Entonces se verifica
que la imagen por' deI , '.I /, es un intervalo.
Demostración. Por hipótesis hay una función derivablef W I ! R tal que'.x/ D f 0.x/
para todox 2 I . Seanu D '.a/, v D '.b/ dos valores que toma la función', y suponga-
mos u < v. Dado� 2�u; vŒ, definimos la funcióng.x/ D f .x/ � �x. Tenemos entonces
g 0.a/D '.a/ � �D u � � < 0 y g 0.b/D '.b/ � �D v � � > 0. Por tanto, la derivada deg
toma valores positivos y negativos en el intervaloI y, por el teorema6.24, tiene que anularse,
es decir, existe algún puntoc 2 I tal queg 0.c/ D '.c/ � � D 0, esto es,'.c/ D �. Hemos
probado así que si' toma dos valores también toma todos los comprendidos entre ellos dos, es
decir, que'.I / es un intervalo. 2
6.26 Proposición(Derivación de la función inversa). Seaf WI ! R derivable en el intervalo
I con derivadaf 0.x/¤0 para todox2I . Entoncesf es una biyección deI sobre el intervalo
J D f .I /, y la función inversaf �1 W J ! R es derivable enJ siendo
.f �1/ 0.y/D 1
f 0.f �1.y//
.y 2 J /: (6.6)
Demostración. Las hipótesis hechas implican quef es estrictamente monótona y continua;
por tanto es una biyección deI sobreJ Df .I /, y la función inversaf �1 WJ ! R es continua
enJ (4.25). Seab D f .a/2J . Puesto que
lKım
x!a
x � a
f .x/� f .a/ D
1
f 0.a/
;
la función h W I ! R dada por:
h.x/D x � a
f .x/� f .a/ para x ¤ a; h.a/D
1
f 0.a/
es continua enI . Comof �1 es continua enJ , deducimos queh ı f �1 es continua enJ , por
lo que, en particular, lKım
y!b
h.f �1.y//Dh.f �1.b//Dh.a/. Pero, para todoy2J , cony¤b es
h.f �1.y//D f
�1.y/ � f �1.b/
y � b :
Concluimos así que
lKım
y!b
f �1.y/ � f �1.b/
y � b D
1
f 0.a/
2
La mejor forma de recordar la igualdad (6.6) es derivar por la regla de la cadena la identidad
.f ıf �1/.y/Dy, con lo que se obtienef 0.f �1.y//.f �1/ 0.y/D1, de donde puede despejarse
.f �1/ 0.y/.
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Reglas de L’Hôpital 229
6.27 Ejemplo (Derivabilidad de las funciones trigonométricas inversas). La función tan-
gente es una biyección derivable del intervalo� � �=2; �=2Œ sobreR, cuya derivada no se
anula. El teorema anterior nos dice que la función inversa, es decir, la función arcotangente es
derivable enR y su derivada podemos calcularla derivando la identidad.tgıarc tg/.x/ D x,
con lo que obtenemos
.1C tg2.arc tgx//arc tg0.x/D 1 ” .1C x2/arc tg0.x/D 1 ” arc tg0.x/D 1
1C x2
Análogamente, la función seno es una biyección derivable del intervalo � � �=2; �=2Œ sobre
��1; 1Œ cuya derivada no se anula. El teorema anterior nos dice que lafunción inversa, es decir,
la función arcoseno es derivable en� � 1; 1Œ y su derivada podemos calcularla derivando la
identidad.senıarc sen/.x/D x, con lo que obtenemos:
cos.arc senx/arc sen0.x/D 1 ”
p
1 � x2 arc sen0.x/D 1 ” arc sen0.x/D 1p
1 � x2
�
6.28 Teorema(Teorema del valor medio generalizado). Seanf;g W Œa; b� ! R funciones
continuas enŒa; b� y derivables en�a; bŒ. Entonces existe algún puntoc 2�a; bŒ tal que
.f .b/ � f .a//g 0.c/D .g.b/ � g.a//f 0.c/
Demostración. Definimos una funciónh.x/D �f .x/C �g.x/ donde�, � son números que
se eligen de forma queh.a/ D h.b/, esto es,�.f .a/ � f .b// D �.g.b/ � g.a//. Basta para
ello tomar� D g.b/ � g.a/, � D f .a/ � f .b/. El teorema del Rolle, aplicado a la función
h.x/D .g.b/ � g.a//f .x/ � .f .b/ � f .a//g.x/, nos dice que hay un puntoc 2�a; bŒ tal que
h 0.c/D 0, lo que concluye la demostración. 2
6.3.2. Reglas de L’Hôpital
Guillaume François Antoine de L’Hôpital (1661-1704), publicó anónimamente en 1696 el
primer libro de texto sobre cálculo diferencial, el cual tuvo gran éxito e influencia durante el
siglo XVIII. En él aparecen los resultados que hoy llevan su nombre, que permiten resolver
en muchos casos indeterminaciones de la forma0
0
o 11 , que se presentan frecuentemente al
estudiar el límite de un cociente de dos funciones. Si bien L’Hôpital era un escritor excepcio-
nalmente claro y eficaz, las llamadas “reglas de L’Hôpital” no se deben a él sino a su maestro
Jean Bernouilli (1667-1748). Las distintas formas de las reglas de L’Hôpital pueden resumirse
en el siguiente enunciado.
6.29 Teorema(Jean Bernouilli). Sean�∞ 6 a < b 6 C∞, f y g funciones derivables en
�a; bŒ cong 0.x/¤ 0, para todox 2�a; bŒ. Sea˛ 2fa; bg y supongamos que se verifica alguna
de las dos condiciones siguientes:
a) lKım
x!˛
f .x/D lKım
x!˛
g.x/D 0
b) lKım
x!˛
jg.x/j D C∞
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