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Reglas de L’Hôpital 230
Y además
lKım
x!˛
f 0.x/
g 0.x/
DL2R [ fC∞;�∞g
Entonces se verifica que
lKım
x!˛
f .x/
g.x/
DL
Demostración. Antes de dar una demostración al uso vamos a explicar por quéla hipóte-
sis de que el cociente de las derivadas tiene límite implica que también lo tiene el cociente
de las funciones. Para fijar ideas, consideremos el caso en que ˛ D a es un número real y
lKım
x!˛
f .x/D lKım
x!˛
g.x/D 0. Definamosf .a/D g.a/D 0.
Observa que, aunque el punto.g.x/; f .x// recorre una trayectoria en el plano que termina
en .0; 0/ cuandox D a, el límite lKımx!a f .x/g.x/ no tiene por qué existir. Ello se debe a que la
proximidad a.0; 0/ del punto.g.x/; f .x// no proporciona ninguna información sobre el valor
del cocientef .x/
g.x/
. Baste considerar que en un círculo centrado en.0; 0/ de radio tan pequeño
como queramos, hay puntos.u; v/ para los que el cocienteu
v
puede tomar cualquier valor.
Geométricamente, podemos interpretarf .x/
g.x/
como la pendiente de la recta que une.0; 0/
con el punto.g.x/; f .x//. Si imaginamos que el punto”.x/D .g.x/; f .x// recorre una curva
� en el plano que termina en.0; 0/, parece evidente que, cuando dicho punto está muy próximo
a .0; 0/, el númerof .x/
g.x/
está muy próximo a la pendiente de la tangente a� en .g.x/; f .x//.
La figura6.8puede servir de ayuda.
g.x0/ g.x/
f .x0/
f .x/
y D Lx
y D f .x0/
g.x0/
x
�
y D f .x0/ C
f 0.x0/
g 0.x0/
.x � g.x0//
Figura 6.8. Regla de L’Hôpital
Fíjate que comof y g no se suponen derivables enx D a, no está garantizado que� tenga
tangente en el origen, es decir, parax D a. Podemos, sin embargo, calcular la tangente a� en
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Reglas de L’Hôpital 231
puntos distintos del origen. Para ello podemos usar que el vector tangente a� en un puntox0 es
” 0.x0/D.g 0.x0/; f 0.x0//, y la recta tangente en dicho punto tiene las ecuaciones paramétricas:
.x;y/D .g.x0/; f .x0//C �.g 0.x0/; f 0.x0//
Eliminando el parámetro� en esta ecuación obtenemos la ecuación cartesiana de la tangente
que resulta ser
y D f .x0/C
f 0.x0/
g 0.x0/
.x � g.x0//
Lo que nos dice que la pendiente de dicha tangente esf
0
.x0/
g
0
.x0/
. En consecuencia, la pendiente
de la tangente a� en un punto genéricox ¤ a es f
0
.x/
g
0
.x/
.
A la vista de lo anterior, se comprende ahora que si exigimos que f
0
.x/
g
0
.x/
tenga límiteL en
el puntoa, estamos obligando a que el cocientef .x/
g.x/
también tenga límite igual aL ena. En
la figura se ha supuesto queL es un número real, pero está claro que puede suponerse también
LD˙∞ lo que corresponde a los casos en que� tiene tangente vertical en el origen.
Daremos ahora una demostración formal del teorema en dos casos particulares.
Caso1(Primera regla de L’Hôpital).
Supongamos quę D a y L son números reales y lKım
x!a
f .x/D lKım
x!a
g.x/D 0. Definamos
f .a/D g.a/D 0. Dadox2I , x ¤ a, aplicamos el teorema del valor medio generalizado a las
funcionesf y g en el intervaloŒa;x�, para obtenercx 2�a;xŒ tal que
.f .x/ � f .a//g 0.cx/D .g.x/ � g.a//f 0.cx/
es decir,f .x/g 0.cx/D g.x/f 0.cx/. Las hipótesis hechas implican queg es estrictamente mo-
nótona enI y, comog.a/ D 0, deducimos queg.x/ ¤ 0 para todox 2 I . Obtenemos así
que:
f .x/
g.x/
D f
0.cx/
g 0.cx/
: (6.7)
Por hipótesis, dado" > 0, existeı > 0 tal que paraa < t < a C ı es
ˇ̌
ˇ̌f
0.t/
g 0.t/
�L
ˇ̌
ˇ̌ < ".
Deducimos de la igualdad (6.7) que sia < x < aC ı se tiene que:
ˇ̌
ˇ̌f .x/
g.x/
�L
ˇ̌
ˇ̌ < ":
Hemos probado así que lKım
x!a
f .x/=g.x/DL. Los casos en queLD˙∞ se tratan de la misma
forma.
Caso 2(Segunda Regla de L’Hôpital).
Supongamos quęD a y L son números reales y lKım
x!a
jg.x/j D C∞. Esta última condición
implica queg.x/ ¤ 0 para todox 2 I suficientemente próximo al puntoa, y por el carácter
local del límite no es restrictivo suponer queg.x/ ¤ 0 para todox 2 I . Nótese también que
las hipótesis hechas implican queg es inyectiva enI . La hipótesis lKım
x!a
f 0.x/=g 0.x/DL, nos
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dice que dado" > 0, hay un número (fijo en lo que sigue)c 2 I , tal que paraa < t 6 c se
verifica que: ˇ̌
ˇ̌f
0.t/
g 0.t/
�L
ˇ̌
ˇ̌ < "
4
(6.8)
Como lKım
x!a
jg.x/j D C1, hay un númeroı > 0 tal queaC ı 6 c y paraa < x < a C ı se
verifica que:
jg.c/j
jg.x/j < 1;
jf .c/ �Lg.c/j
jg.x/j <
"
2
(6.9)
Dadoa < x < aC ı aplicamos el teorema del valor medio generalizado para obtener un punto
cx 2�x; cŒ tal que
f .x/� f .c/
g.x/ � g.c/ D
f 0.cx/
g 0.cx/
:
Teniendo en cuenta la identidad:
f .x/
g.x/
�LD
�
f .x/� f .c/
g.x/ � g.c/ �L
��
1� g.c/
g.x/
�
C f .c/�Lg.c/
g.x/
D
�
f 0.cx/
g 0.cx/
�L
��
1� g.c/
g.x/
�
C f .c/ �Lg.c/
g.x/
deducimos, en virtud de (6.8) y (6.9), que para todox 2�a; aC ıŒ se verifica que:
ˇ̌
ˇ̌f .x/
g.x/
�L
ˇ̌
ˇ̌6 "
4
2C "
2
D ":
Hemos probado así que lKım
x!a
f .x/=g.x/DL. Los casos en queLD˙∞ se tratan de la misma
forma.
Los demás casos tienen un tratamiento similar y también pueden reducirse a los ya estudia-
dos sin más que invertir la variable. 2
Nótese que, tal y como las hemos enunciado, las reglas de L’Hôpital permiten calcular
límites por la derecha y por la izquierda en un punto y, por tanto, podemos usarlas para calcular
el límite en un punto de un intervalo que no sea extremo del mismo.
6.4. Derivadas sucesivas. Polinomios de Taylor
Seaf una función derivable en un intervaloI . Si la función derivadaf 0 también es deriva-
ble enI decimos quef esdos veces derivableenI y la funciónf 00 WD.f 0/ 0 se llamaderivada
segundadef enI . En general, sin 2N, decimos quef esn C 1 veces derivableenI si f
esn veces derivable enI y la función derivada de ordenn def enI , que representaremos por
f .n/, es derivable enI ; en cuyo caso la funciónf .nC1/ D .f .n// 0 se llamaderivada de orden
n C 1 def en I . Si n es un número natural,n > 2, decimos quef esn veces derivable en
un puntoa 2 I , si f esn � 1 veces derivable enI y la funciónf .n�1/ es derivable ena. Se
dice quef es una función de claseC n enI si f esn veces derivableI y la funciónf .n/ es
continua enI . Se dice quef es una función de claseC 1 enI si f tiene derivadas de todos
órdenes enI . Por convenio se definef .0/ D f .
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