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Extremos relativos. Teorema de Taylor 245
Se llamaresto de Lagrange. Si somos capaces de probar una desigualdad de la forma
jf .nC1/.c/j
.nC 1/! jx � aj
nC1 6 " (6.22)
Entonces podemos asegurar que el error cometido al aproximar f .x/ porTn.f; a/.x/ es menor
que". Observa que el resto de Lagrange es tanto más pequeño cuantomás próximo estéx dea.
En los ejercicios del teorema de Taylor, usualmente el puntoa debemos elegirlo nosotros y hay
que hacerloprocurando que esté lo más próximo posible al puntox, donde nos piden calcular
el valor de la función, y queel valor def y de sus derivadas ena pueda calcularse de forma
exacta.
La dificultad para acotar el resto de Lagrange es que no se conoce exactamente el puntoc
sino solamente que está comprendido entre los puntosa y x. Por eso,para acotar el resto de
Lagrange hay que acotar la derivadaf .nC1/ en el intervalo de extremosa y x. Además, como
se divide por.nC1/!, se puede sospechar que cuanto mayor sean menor será el error cometido.
Esto es cierto en muchos casos pero no siempre, es algo que depende de lo rápidamente que
crezcan las derivadas def . En este tipo de cálculos no se sabe de entrada cómo hay que tomar
n, lo que se trata es precisamente de elegirn de forma que se obtenga la acotación deseada.
Pero para ello hay que empezar acotando en función den. Veamos la forma de proceder con un
ejemplo.
6.42 Ejemplo. Queremos calcular el número
p
2 con un error menor que10�9 por medio de
un conveniente polinomio de Taylor.
Aquí la función esf .x/ D px D x 12 , definida parax > 0. Debemos elegir un puntoa
próximo a2 en el que podamos calcular de forma exactaf .a/. Lo que se hace es calcular
cuadrados próximos a dos. Como sabemos que
p
2 es aproximadamente1; 4, podemos probar
con a D .1;4/2 D 1; 96. Efectivamente,a D 1;96 está muy próximo a2 y f .1;96/ D 1; 4 de
forma exacta. Calculemos las derivadas def .
f .n/.x/D 1
2
�
1
2
� 1
��
1
2
� 2
�
� � �
�
1
2
� nC 1
�
x1=2�nD .�1/n�1 1 � 3 � 5 � � � .2.n� 1/ � 1/
2n
x1=2�n
Observa que las derivadas también puede calcularse de formaexacta en1;96. El error de
aproximación viene dado por el resto de Lagrange:
ˇ̌
f .nC1/.c/
ˇ̌
.nC 1/! jx � aj
nC1D Œx D 1;96; aD 2�D
ˇ̌
f .nC1/.c/
ˇ̌
.nC 1/!
�
4
102
�nC1
D
D1 � 3 � 5 � � � .2n � 1/
.nC 1/! 2nC1
1
c1=2Cn
4
102nC2
D 1 � 3 � 5 � � � .2n� 1/
2 � 4 � � � .2n/.2nC 2/
1
c1=2Cn
4
102nC2
<
1
2nC 2
1
c1=2Cn
4
102nC2
donde1;96 < c < 2. Deducimos que
ˇ̌
f .nC1/.c/
ˇ̌
.nC 1/! jx � aj
nC1 <
1
2nC 2
1
.1;4/.1;96/n
4
102nC2
Como el error permitido es"D 10�9, es suficiente elegirn por la condición de que
1
2nC 2
1
.1;4/.1;96/n
4
102nC2
< 10�9
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
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Funciones convexas y funciones cóncavas 246
Para lo cual, claramente, basta tomarnD3. Por tanto, el valor pedido de
p
2 esT3.f; 1;96/.2/.
�
6.7. Funciones convexas y funciones cóncavas
6.43 Definición. Dados dos puntos̨D .a; b/ y ˇ D .c;d/ en el plano, el segmento que une˛
conˇ es el conjunto de puntos del plano:
Œ˛;ˇ �D ft˛C .1� t/ˇ W 0 6 t 6 1g D
˚�
taC .1� t/c; tb C .1 � t/d
�
W 0 6 t 6 1
	
(6.23)
Observa que six < y son números reales, el segmento que unex con y es el intervalo
cerradoŒx;y�.
6.44 Definición. Sea f W I ! R una función definida en un intervaloI . Se dice quef es
convexaenI si para todo par de puntosx;y2I y para todot con0 6 t 6 1, se verifica que:
f .tx C .1� t/y/ 6 tf .x/C .1 � t/f .y/ (6.24)
Cuando la desigualdad anterior es estricta para0 < t < 1 se dice quef es estrictamente
convexa. Se dice quef escóncavaenI cuando�f es convexa enI y estrictamente cóncava
cuando�f es estrictamente convexa.
La interpretación geométrica de esta desigualdad es la siguiente. El segmento que une el
punto del plano.x; f .x// con el punto.y; f .y// es el conjunto
˚�
tx C .1 � t/y; tf .x/C .1� t/f .y/
�
W 0 6 t 6 1
	
La desigualdad (6.24) dice que la ordenada,tf .x/ C .1 � t/f .y/, de cada punto de dicho
segmento es mayor o igual que el valor def en la abscisaf .txC .1� t/y/. Es decir, el punto�
txC.1�t/y; tf .x/C.1�t/f .y/
�
queda por encima del punto
�
txC.1�t/y; f .txC.1�t/y/
�
.
Dicho de otra forma: el segmento (la cuerda) que une dos puntos de la gráfica def queda
siempre por encima de la gráfica def .
x ytx C .1 � t/y
f .tx C .1 � t/y/
tf .x/ C .1 � t/f .y/
Figura 6.9. Función cóncava
x ytx C .1 � t/y
f .tx C .1 � t/y/
tf .x/ C .1 � t/f .y/
Figura 6.10. Función convexa
Naturalmente, para una función cóncava se verifica la desigualdad opuesta a (6.24) y, por
tanto, sif es cóncava el segmento (la cuerda) que une dos puntos de la gráfica def queda
siempre por debajo de la gráfica def .
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Funciones convexas y funciones cóncavas 247
Las gráficas (6.10) y (6.9) muestran claramente estos comportamientos.
Ejemplos típicos de funciones convexas son las parábolas “hacia arriba” y la exponencial.
Ejemplos típicos de funciones cóncavas son las parábolas “hacia abajo” y el logaritmo.
Para funciones derivables se tiene una útil caracterización de la convexidad.
6.45 Teorema(Condiciones suficientes de convexidad). Supongamos quef es continua en
Œa; b� y derivable en�a; bŒ. Si la derivada def es creciente (resp. estrictamente creciente) en
�a; bŒ entoncesf es convexa (resp. estrictamente convexa) enŒa; b�. En particular sif es dos
veces derivable en�a; bŒ y se verifica quef 00.x/ > 0 (resp.f 00.x/ > 0) para todox 2�a; bŒ,
entoncesf es convexa (resp. estrictamente convexa) enŒa; b�.
Demostración. Seanx;y 2 Œa; b� con x < y. Seat 2�0; 1Œ y pongamosz D tx C .1 � t/y.
Hay que probar quef .z/6 tf .x/C .1� t/f .y/. Puesto quef .z/D tf .z/C .1� t/f .z/, esta
desigualdad puede escribirse
tf .z/C .1� t/f .z/6 tf .x/C .1� t/f .y/ ” .1� t/
�
f .z/� f .x/
�
6 t
�
f .y/� f .z/
�
Aplicando el TVM en los intervalosŒx; z� y Œz;y�, obtenemos puntosc 2�x; zŒ, d 2�z;yŒ tales
que
f .z/ � f .x/D f 0.c/.z � x/; f .y/ � f .z/D f 0.d/.y � z/
Teniendo en cuenta quef 0 se supone creciente, por lo quef 0.c/ 6 f 0.d/, y la igualdad de
comprobación inmediata.1� t/.z � x/D t.y � z/, se tiene que:
.1� t/
�
f .z/ � f .x/
�
D .1� t/f 0.c/.z � x/6 tf 0.d/.y � z/D t
�
f .y/ � f .z/
�
Que es la desigualdad que queríamos probar. 2
Interpretando la derivada primera como la velocidad y la derivada segunda como la acele-
ración, las curvas convexas aceleran y las cóncavas frenan.
Observa que sif es una función convexa y derivable en un intervaloI , entonces la gráfica
de f queda siempre por encima de la recta tangente en cualquier punto, es decir, para todo
par de puntosx; a2I se verifica quef .x/> f .a/C f 0.a/.x � a/. De hecho, para funciones
derivables, esta propiedad es equivalente a la convexidad (ver ejercicio138).
6.46 Definición. Se dice quea es unpunto de inflexión de una funciónf , si hay un número
r > 0 tal quef es cóncava en el intervalo�a� r; aŒ y f es convexa en el intervalo�a; aC r Œ (o
al revés). Es decir, los puntos en los que una función pasa de cóncava a convexa o de convexa
a cóncava se llaman puntos de inflexión.
El siguiente resultado se prueba fácilmente y queda como ejercicio.
6.47 Proposición.Sif tiene un punto de inflexión ena y es dos veces derivable ena, entonces
f 00.a/D 0.
Si f es tres veces derivable en un puntoa y se tiene quef 00.a/ D 0 pero f 000.a/ ¤ 0,
entoncesf tiene un punto de inflexión ena.
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Cálculo diferencial e integral
	Derivadas
	Funciones convexas y funciones cóncavas