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Ejercicios propuestos 254
257. Seaf una función polinómica y seaa < b. Justifica que,contando cada cero tantas
veces como su orden, si f .a/f .b/ < 0 el número de ceros def en �a; bŒ es impar; y
si f .a/f .b/ > 0 dicho número (caso de que haya algún cero) es par. Deduce que si
f tiene gradon, es condición necesaria y suficiente para quef tengan raíces reales
distintas que su derivada tengan � 1 raíces reales distintasc1 < c2 < � � � < cn�1 y
que parą < c1 suficientemente pequeño y paraˇ > cn�1 suficientemente grande, los
signos de los númerosf .˛/; f .c1/; f .c2/; : : : ; f .cn�1/; f .ˇ/ vayan alternando.
258. Determina para qué valores de˛ la función polinómica3x4 � 8x3 � 6x2 C 24x C ˛
tiene cuatro raíces reales distintas.
259. Dadon2N, seaf .x/D .x2� 1/n .x2R/. Prueba que la derivadak-ésima (1 6 k 6 n)
def tiene exactamentek raíces reales distintas en el intervalo� � 1; 1Œ.
260. Dadon2N, seafn.x/D 1� x C
x2
2
� x
3
3
C � � � C .�1/n x
n
n
. Prueba que sin es impar
la ecuaciónfn.x/D 0 tiene una única solución y ninguna sin es par.
El teorema del valor medio permite acotar el incremento de una función por el incre-
mento de la variable y una cota de la derivada. Esto da lugar a muchas desigualdades
interesantes. Por otra parte, algunas de las desigualdadesmás útiles son consecuencia
de la convexidad. Los siguientes ejercicios tratan de ello.
261. Sean0 < x < y. Prueba que:
a)
y � x
1C y2 < arc tgy � arc tgx <
y � x
1C x2 .
b)
y � x
y
< logy � logx < y � x
x
.
262. Seann 2 N, n > 2 y 0 < a < b. Prueba que
nan�1.b � a/ < bn � an < nbn�1.b � a/
Aplicación. HaciendoaD1C 1
nC 1 ; b D1C
1
n
, primero en la desigualdad de la dere-
cha y después en la desigualdad de la izquierda, deduce que:
�
1C 1
n
�n
<
�
1C 1
nC 1
�nC1
;
�
1C 1
nC 1
�nC2
<
�
1C 1
n
�nC1
263. Prueba que para todox > �1 se verifica que
x
x C 1 6 log.1C x/
¿Cuándo se da la igualdad en la desigualdad anterior?
264. Supuesto quea > 0, demuestra que�a e logx 6 x�a para todox > 0.
265. Dado˛ 2�0; 1Œ, prueba quex˛ < ˛x C 1� ˛ para todox2RC n f1g.
Deduce que, dadosp > 0 y q > 0 tales que1=p C 1=q D 1, entonces para todosa > 0
y b > 0 se verifica queab 6
ap
p
C b
q
q
. ¿Cuándo se da la igualdad?
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Ejercicios propuestos 255
266. Sean0 < a < b. Prueba que sib 6e entoncesab< ba, y si e6a entoncesba< ab. ¿Qué
puede decirse sia < e< b?.
Sugerencia. Considera la funciónx 7! logx
x
.
267. ¿Hay algún númeroa > 0 que verifique queax=a >x para todox2RC? ¿Cuál es dicho
número?
268. Prueba que para todox 2�0; �=2Œ se verifica que
i/ 1� x
2
2
< cosx I i i/ 2x
�
< senx < x < tgx
269. Dadosa; b2RC cona¤ b, prueba que para todox2R se verifica la desigualdad:
�
aC x
b C x
�bCx
>
a
b
:
270. Desigualdad de Jensen. Seaf W I ! R una función convexa en el intervaloI , y sea
n2N, n > 2. Dados números̨k > 0, xk 2I tales que
Pn
kD1 ˛k D 1, prueba que:
f
 
nX
kD1
˛kxk
!
6
nX
kD1
˛kf .xk/:
Además, sif es estrictamente convexa, la desigualdad anterior es estricta siempre que
al menos dos de los puntosxk sean distintos.
Sugerencia. Es suficiente considerar el casonD 2 y proceder por inducción.
271. Seanxk , ˛k , donde1 6 k 6 n, números positivos verificando que
Pn
kD1 ˛kD 1. Usando
la convexidad de la funciónx 7! � logx demuestra la desigualdad:
x
˛1
1
x
˛2
2
� � � x˛nn 6
nX
kD1
˛kxk
¿Cuándo se da la igualdad?
272. Seanp; q números reales positivos tales que1=p C 1=q D 1.
a) Prueba queab 6
ap
p
C b
q
q
y la igualdad ocurre si, y sólo si,ap D bq .
b) Dadoz D .z1; z2; : : : ; zn/ 2 Rn y s > 0, definamoskzks D
 
nX
iD1
jzi js
!1=s
. Prueba
que para todox D .x1;x2; : : : ;xn/ y todo y D .y1;y2; : : : ;yn/ en Rn se verifica la
desigualdad de Hölder:
nX
iD1
jxiyi j6 kxkp kykq :
¿Cuándo se da la igualdad?
Sugerencias.El punto a) puede hacerse como consecuencia del ejercicio anterior. Para
b) hágaseaD jxijkxkp
; b D jyi jkykq
en la desigualdad del punto a).
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Ejercicios propuestos 256
273. Seaf es una función derivable en un intervaloI . Prueba quef es convexa enI si, y
sólo si, la gráfica def queda siempre por encima de la recta tangente en cualquier punto,
es decir, para todo par de puntosx; a2I se verifica quef .x/> f .a/C f 0.a/.x � a/.
Los teoremas de Taylor–Young y de Taylor se usan para obteneraproximaciones polino-
miales de una función dada y para calcular valores aproximados con precisión prefijada.
274. Calcula una función polinómica' tal que lKım
x! 0
3
p
1C x � '.x/
x5
D 0.
275. Calcula una función polinómica' tal que lKım
x! 0
log arc tg.x C 1/ � '.x/
x2
D 0:
276. Prueba que las únicas funcionesn veces derivables con derivada de ordenn constante
son las funciones polinómicas de grado menor o igual quen.
277. Prueba que el polinomio de Taylor de ordenn de una funciónf es el único polinomio
P .x/ de grado menor o igual quen que verifica quef .x/D P .x/C o.x � a/n.
278. Seaf W� � �=2; �=2Œ! R la función dada parax 2� � �=2; �=2Œ, x ¤ 0, por:
f .x/D log.1C senx/� senx
sen2 x
;
y f .0/D�1=2. Calcula el polinomio de Taylor de orden 3 def en0.
279. Seaf W� � 1;C1Œ! R la función dada parax ¤ 0 por:
f .x/D arc tg.log.1C x//
log.1C x/ ;
y f .0/D 1. Calcula el polinomio de Taylor de orden 3 def en0.
280. Calcula, usando un desarrollo de Taylor conveniente, un valor aproximado del número
real˛ con un error menor de10�3 en cada uno de los casos siguientes:
a/ ˛ D 3
p
7 b/ ˛ D
p
e c/ ˛ D sen1
2
d/ ˛ D sen.61ı/
Una de las aplicaciones más comunes de las derivadas es el trazado de gráficas. Para
trazar la gráfica de una funciónf se debe tener en cuenta:
1. Propiedades de simetría o de periodicidad def .
2. Los puntos en que se anula la primera o la segunda derivada def y los puntos en los
quef no es derivable.
3. Los intervalos en quef 0 tiene signo constante. Lo que nos informa del crecimiento
y decrecimiento def y también de la naturaleza de los puntos singulares (máximosy
mínimos locales).
4. Los intervalos en que la derivada segunda tiene signo constante. Lo que nos informa
de la convexidad y concavidad, así como de los puntos de inflexión.
5. Hallar las asíntotas.
Asíntota vertical. La recta x D c es una asíntota vertical de la gráfica def si alguno
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