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Ejercicios propuestos 260
299. Seaf W Œa; b�! R continua enŒa; b� y derivable dos veces en�a; bŒ. Supongamos que
el segmento de extremos.a; f .a//; .b; f .b// corta a la gráfica def en un punto
.c; f .c// con a < c < b:Demuestra que existe algún puntod 2�a; bŒ tal quef 00.d/D 0:
Sugerencia. Interpreta gráficamente el enunciado.
300. Justifica que existe una funcióng WR! R derivable y que verifica queg.x/C eg.x/Dx
para todox2R. Calculag 0.1/ y g 0.1C e/.
301. Seaf WR! R dada porf .x/D x3 � 3x2 C 3x C 17. Prueba quef es una biyección
y estudia la derivabilidad def �1.
302. Justifica que hay una función derivable' WR! R tal que para todox 2R verifica que
.'.x//5 C '.x/C x D 0.
303. Seaf una función derivable que no se anula en ningún punto. Justifica que la función
h.x/D log jf .x/j es derivable y calcula su derivada.
304. Seaf W R ! R verificando quef .x C y/ D f .x/f .y/ para todosx;y 2R; f .0/¤ 0
y f es derivable en 0. Justifica quef es derivable en todo punto y hay un número real˛
tal quef .x/D e˛x para todox2R.
305. Seaf W R! R una función dos veces derivable y tal que para todox2R se verifica la
igualdadf 00.x/C f .x/D 0. Prueba que existen números˛; ˇ 2R, únicos, de manera
quef .x/D ˛ senx C ˇ cosx para todox2R.
Sugerencia. Defineh.x/D ˛ senx C ˇ cosx y considera la función
g.x/D .f .x/ � h.x//2 C .f 0.x/� h 0.x//2:
Calculag 0.x/.
306. Prueba la llamada “fórmula de Machin”:
�
4
D 4 arctan1
5
� arctan 1
239
:
Sugerencia. SeaAD arctan1=5; B D 4A � �=4. Calcula tanB.
Utiliza la fórmula de Machin para calcular� con cinco cifras decimales exactas.
307. Seaf una función polinómica de gradon tal quef .k/.a/>0 para16k 6n y f .a/ > 0.
Justifica que sif .c/D 0, entoncesc < a:
308. Seaf derivable enŒa; b� conf 0.a/D f 0.b/D 0. Prueba que hay algúnz2�a; bŒ tal que
f 0.z/D f .z/ � f .a/
z � a :
Sugerencia. Seag.x/D f .x/� f .a/
x � a paraa < x 6 b. Define convenientementeg.a/ y
comparag 0.b/ con
g.b/ � g.a/
b � a .
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Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
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Ejercicios resueltos 261
6.7.2. Ejercicios resueltos
¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!
Ejercicio resuelto 95 Dado un puntoP D .a; b/ situado en el primer cuadrante del plano,
determinar el segmento con extremos en los ejes coordenadosy que pasa porP que tiene
longitud mínima.
Solución.
En un ejercicio como estelo primero que hay
que hacer es elegir la variableen función de la
cual vamos a calcular la longitud del segmen-
to AB. Tomando como variable', es decir, la
medida en radianes del ángulo indicado en la
figura, la longitud del segmentoAB viene dada
por
f .'/D b
sen'
C a
cos'
.0 < ' < �=2/
Debemos calcular el mínimo absoluto def . Te-
nemos que:
P D .a; b/
a
b
A D .a C x; 0/
B D .0; b C y/
'
'
f 0.'/D �b cos'
sen2 '
C a sen'
cos2 '
Se obtiene enseguida quef 0.'/ se anula en unúnicopunto'0 2�0; �=2Œ que viene dado
por la condición tg.'0/ D 3
p
b=a. Se justifica fácilmente quef tiene en'0 un mínimo
absoluto.
En efecto, comof 0 es continua y no se anula en los intervalos�0; '0Œ y �'0; �=2Œ, debe
tener signo constante en ellos. Como lKım
x!0
f 0.'/D�1, y lKım
x!�=2
f 0.'/DC1 se sigue
que:
' 2�0; '0Œ÷f 0.'/ < 0; ' 2�'0; �=2Œ÷f 0.'/ > 0
por tanto,f es estrictamente decreciente en�0; '0� y estrictamente creciente enŒ'0; �=2Œ,
lo que implica quef .'0/6 f .'/ para todo'2�0; �=2Œ.
Para calcular la longitud mínimaf .'0/, basta tener en cuenta que:
1C tg2.'0/D
1
cos2.'0/
D 1C 3
s�
b
a
�2
÷
a
cos.'0/
D a2=3
�
a2=3 C b2=3
�1=2
Fácilmente se obtiene ahora que
b
sen.'0/
D b2=3
�
a2=3C b2=3
�1=2
con lo que la longitud
mínima buscada viene dada por:
f .'0/D
�
a2=3 C b2=3
�3=2
Otra forma de calcular la longitud del segmentoAB consiste en considerar la ecuación
general de las rectas que pasan por el puntoP D .a; b/. Dicha ecuación general es de la
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Ejercicios resueltos 262
formayD�.x� a/C b, donde� es un parámetro. Las intersecciones de dicha recta con
los ejes son los puntosAD .a � b=�; 0/ y B D .0;�a�C b/. Por tanto, la longitud del
segmentoAB viene dada por:
g.�/D
s�
a � b
�
�2
C .b � a�/2 .� < 0/
Otra forma de calcular la longitud del segmentoAB consiste en introducir las variables
x e y tales queAD .aC x; 0/, B D .0; b C y/, como se indica en la figura. La longi-
tud del segmentoAB viene dada porH.x;y/D
p
.aC x/2 C .b C y/2. Esta función,
aparentemente, depende de dos variables, pero dichas variablesno son independientes,
pues los puntosA, P y B están alineados. Por semejanza de triángulos se obtiene que
x=bDa=y, por lo queyD.ab/=x. En consecuencia, la longitud del segmentoAB viene
dada por:h.x/D
p
.aC x/2 C .b C .ab/=x/2 .x > 0/.
Tanto si se usa la funcióng como lah, debemos obtener un mínimo absoluto y, como
son raíces cuadradas, es suficiente que calculemos el mínimoabsoluto de la función
radicando (las raíces respetan el orden enRCo ). Es decir, las funcionesg y h alcanzan su
mínimo absoluto en el mismo punto en que lo alcanzan las funciones:
G.�/D
�
a � b
�
�2
C.b�a�/2 .� < 0/I H.x/D.aCx/2C
�
b C ab
x
�2
.x > 0/
Comprueba que, de cualquier forma que lo hagas, vuelves a obtener la solución anterior.
Comentario. Una forma equivalente de enunciar este ejercicio es la siguiente: Calcula
la longitud de la escalera más larga que llevada en posición horizontal puede pasar por la
esquina que forman dos corredores de anchuras respectivasa y b.
Es evidente que la longitud de la escalera tiene que sermenor o igualque la longitud de
cualquiersegmentoAB como el de la figura. Por tanto, la longitud de la escaleramás
larga que puede pasar es igual a lalongitud mínimadel segmentoAB. ©
Ejercicio resuelto 96 Determina el rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados,
inscrito en la elipse de ecuación
x2
a2
C y
2
b2
D 1, y que tenga área máxima.
Solución.
Por razones de simetría, es suficiente determi-
nar el vértice del rectángulo situado en el pri-
mer cuadrante. Si las coordenadas de dicho vér-
tice son.x;y/, entonces el área del rectángulo
será igual a4xy. Como el vértice debe estar en
la elipse, sus coordenadasx e y deberán satis-
facer la igualdad
x2
a2
C y
2
b2
D 1.
.x; y/
a
b
Deducimos queyD b
s
1 � x
2
a2
. Por tanto, se trata de calcular el máximo absoluto de la
función f .x/D x b
s
1 � x
2
a2
, donde0 6 x 6 a.
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