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Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. 2
Siempre que te enfrentas a un problema es muy importante que lo sitúes en su contexto apro-
piado. Esto ya lo haces de forma automática en muchas ocasiones. Por ejemplo, sabes que un
problema de álgebra y otro de probabilidades requieren distintas herramientas, y al primero lo
sitúas en “Álgebra” y al segundo en “Cálculo de Probabilidades”. Pero no siempre las cosas
son tan claras, no siempre tienes un “marco de referencia” tan explícito. Para quesientaslo que
quiero decirte, voy a proponerte unos ejercicios muy sencillos. En todo lo que sigue se supone
que x;y son números reales.
1. Prueba que0 x D 0.
2. Prueba que.�x/y D�xy.
3. Prueba que six ¤ 0 entoncesx2 > 0.
Supongo que hace ya tanto tiempo que conoces estas propiedades de los números que
has olvidado cuándo las aprendiste. ¡Y ahora te pido que lasdemuestres! Puedo imaginar tu
reacción¿que demuestre que0 x D 0?, ¡pero si eso es evidente! ¡siempre me han dicho que es
así! ¿cómo se puede demostrar tal cosa?.
Pienso que muchas veces la dificultad de un ejercicio está en que no sabes qué es exacta-
mente lo que se te pide que hagas; no te dan un marco claro de referencia. En estas situaciones
lo más frecuente es“quedarse colgado”con la“mente en blanco”sin saber qué hacer.
Para evitar ese peligro, en este curso vamos a dar un marco de referencia muy claro que va
a consistir en unas propiedades de los números –axiomas, si quieres llamarlas así – que vamos
a aceptar como punto de partida para nuestro estudio. Esas propiedades, junto con lasreglas
de inferencia lógicausuales y condefinicionesapropiadas nos permitirándemostrarresultados
(teoremas) que podremos usar para seguir avanzando.
Simplificando un poco, puede decirse que en matemáticas no hay nada más que axiomas
y teoremas (bueno, también hay conjeturas, proposiciones indecidibles. . . ). Todo lo que se
demuestra es un teorema; por ejemplo0 x D 0 es un teorema. Ocurre que el nombreteorema
se reserva para resultados que se consideran realmente importantes y que ha costado esfuerzo
llegar a probarlos. Se usan también los términos:corolario, lema, proposicióny otros. Pero
la estructura de unateoría matemática elaboradase resume en un conjunto de axiomas y de
teoremas que se deducen de ellos mediante reglas de inferencia lógica.
Los axiomas de una teoría matemática proporcionan el marco de referencia más general de
dicha teoría. Son, por tanto, muy importantes. Al principio, cuando la teoría empieza a caminar
y se demuestran los primeros resultados más básicos, es frecuente recurrir de forma explícita
a los axiomas. Más adelante, cuando la teoría va avanzando, los axiomas no suelen citarse con
tanta frecuencia porque nos apoyamos en resultados más elaborados previamente demostrados.
Pero los axiomas siempre están presentes aunque sea de formadiscreta y no ostensible.
Entre las particularidades que distinguen a las Matemáticas de las demás ciencias hay una
muy especial: las Matemáticas avanzan dando definiciones. Las definiciones no son nuevos
axiomas. Una definición lo que hace es introducir un término nuevo y establece cómo dicho
término se expresa en función de los axiomas de la teoría. Porejemplo, la definición de con-
tinuidad se expresa mediante desigualdades y las desigualdades se reducen a los axiomas de
orden deR.
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. 3
Quiero también decirte algo sobre lo que se entiende porreglas de inferencia lógicas usua-
les. Me limitaré a la más importante: laimplicación lógica. Los teoremas matemáticos tienen
casi siempre la siguiente estructura: se parte de unahipótesisy de ellase deduceuna tesis.
Entremos en detalles. Lahipótesises siempre alguna propiedad matemática; por ejemplo,“ f
es una función continua en un intervalo”. La tesistambién es una propiedad matemática; por
ejemplo,“la imagen def es un intervalo”. Representemos porH la hipótesis y porT la tesis.
Es importante que te des cuenta de que no tiene sentido preguntarse por laveracidadde la hi-
pótesisH . No es ni verdadera ni falsa. Para queH sea verdadera o falsa debemos particularizar
la funciónf .
Un error muy frecuente consiste en pensar que en Matemáticaslas hipótesis son verdade-~
ras.
Ahora te preguntarás, siH no es verdadera ni falsa, ¿qué quiere decir queH implica T
o, equivalentemente, queT se deduce o es consecuencia deH? La respuesta es: “H implica
T ” quiere decir quesiempre queH sea verdadera tambiénT es verdadera. Observa que no
estamos afirmando (no tiene sentido) queH o T sean verdaderas sino quecuandoH es verda-
dera también lo esT . Con más precisión, demostrar queH implicaT consiste en probar que la
proposiciónH÷T es cierta. Teniendo en cuenta que la proposiciónH÷T es la disyunción
lógica (noH )_T , resulta que siH es falsa entoncesH÷T es verdadera (por eso se dice que
de una hipótesis falsa puede deducirse cualquier cosa) y siH es verdadera entonces para que
H÷T sea verdadera tiene que ocurrir queT sea verdadera. En consecuencia, si sabemos que
H es verdadera y queH÷T es verdadera, deducimos queT es verdadera.
Ahora puedes entender el significado de la frase de C. P. Steinmetz.
La matemática es la ciencia más exacta, y sus conclusiones son susceptibles de
demostración absoluta. Pero eso se debe exclusivamente a que la matemática no
intenta obtener conclusiones absolutas.Todas las verdades matemáticas son rela-
tivas, condicionales.
También comprendes ya el significado de una parte de la enigmática frase de Bertrand Russell
del principio:en matemáticas no sabemos si lo que decimos es verdad. Pero una parte de dicha
frase queda por aclarar.
¿Recuerdas los axiomas de la geometría elemental? En dichosaxiomas se establecen pro-
piedades que se supone satisfacen ciertos objetos llamados“punto”,“recta” y “plano”. Pero no
se dice nuncalo que esun punto ni una recta ni un plano. De la misma forma, en la sección
siguiente estableceremos los axiomas de los números reales, pero no diremoslo que esun nú-
mero real. ¡En matemáticas nunca decimos cuál es la naturaleza concreta de los objetos con
los que trabajamos! Sucede que la intuición nos lleva muchasveces a una interpretaciónna-
tural de dichos objetos, pero otras veces dicha interpretación natural no está disponible. Y, lo
más interesante, puede haber interpretaciones muy diferentes de una misma teoría matemática.
Precisamente, las matemáticas son unaciencia abstractaporque trabaja con cosas abstractas
cuya naturaleza no se precisa ni es necesario saber, solamente interesan lasrelacionesque hay
entre ellas tal y como se establecen en los axiomas. Ahora ya entiendes por qué afirma Bertrand
Russell que“en matemáticas no sabemos de lo que hablamos”.
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Axiomas de los números reales 4
1.2. Axiomas de los números reales
1.2.1. Axiomas algebraicos
Como ya sabes, se distinguen distintas clases de números:
Losnúmeros naturales1; 2; 3; : : : . El conjunto de todos ellos se representa porN.
Losnúmeros enteros: : : ;�2;�1; 0; 1; 2; : : : . cuyo conjunto se representa porZ.
Los números racionalesque son cocientes de la formap=q dondep 2 Z; q 2 N, cuyo
conjunto representamos porQ.
También conoces otros números como
p
2,� , o el número e que no son números racionales
y que se llaman, con una expresión no demasiado afortunada, “números irracionales”. Pues
bien, el conjunto formado por todos los números racionales eirracionales se llamaconjunto de
los números realesy se representa porR.
Es claro queN � Z � Q � R.
Aunque los números que no son racionales pueden parecer un poco raros, no merece la
pena, al menos por ahora, preocuparse por cómo son estos números; sino que lo realmente
interesante es aprender a trabajar con ellos. Lo interesante del número
p
2 es que su cuadrado
es igual a21.
Pues bien, una de las cosas más llamativas de los números es quea partir de un pequeño
grupo de propiedades pueden deducirse casi todas las demás.Vamos a destacar estas propie-
dades básicas que, naturalmente, hacen referencia a las dosoperaciones fundamentales que se
pueden hacer con los números: la suma y el producto. La suma dedos números realesx;y se
escribexCy, representándose el producto porxy. Las propiedades básicas a que nos referimos
son las siguientes.
P1 Propiedades asociativas.Para todosx;y; z enR:
.x C y/C z D x C .y C z/ I .xy/z D x.yz/
P2 Propiedades conmutativas.Para todosx;y enR:
x C y D y C x I x y D yx
P3 Elementos neutros.Hay dos números realesdistintosque representamos por0 y 1
tales que para todox2R se verifica que:
0C x D x 1x D x
P4 Elementos opuesto e inverso.Para cada número realx hay un número real llamado
opuesto dex, que representamos por�x, tal que x C .�x/D 0:
Para cada número realx distinto de0, x¤ 0, hay un número real llamadoinverso dex,
que representamos porx�1, tal que xx�1D 1:
1La secciónNúmeros y medida de magnitudestrata de la aparición de los números irracionales y su relación
con la medida de magnitudes
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	Axiomas de R. Principio de inducción
	 Axiomas de los números reales
	Axiomas algebraicos