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Axiomas de orden 5
P5 Propiedad distributiva. .x C y/z D xz C y z para todosx;y; z enR.
Las propiedades anteriores son de tipo algebraico y, aunqueson muy sencillas, a partir de ellas
puedenprobarsecosas tan familiares como que0xD0, o que.�x/yD�.xy/. Vamos a hacerlo.
1.1 Proposición. Se verifican las siguientes igualdades
0x D 0; .�x/y D�x y; .�x/.�y/D xy :
Demostración. Probaremos primero que0x D 0. PorP5 .0 C 0/x D 0 x C 0 x. Como con-
secuencia deP3 es0 C 0 D 0. Obtenemos así que0 x D 0 x C 0 x. UsandoP4, sumamos el
opuesto de0 x a ambos lados de la igualdad0 xD0 xC0 x y, usando tambiénP1 (la propiedad
asociativa), obtenemos que0 x D 0.
Probaremos ahora que.�x/yD�.xy/. Tenemos quexyC.�x/yD.xC.�x//yD0 yD0.
Donde hemos usadoP4, P5y el apartado anterior. La igualdadxy C .�x/y D 0 nos dice, por
P4, que.�x/y es el opuesto dexy. Eso es justamente lo que queríamos probar.
Finalmente, la igualdad.�x/.�y/D xy es consecuencia inmediata de la anterior. 2
El símbolo�x debe leerse siempre “el opuesto dex” y no “menosx”. La razón es que~
la palabra “menos” remite a una idea de orden (si hay “menos” es porque hay “más”) y el
significado de�x es puramente algebraico y nada tiene que ver con la idea de orden de la que
ni siquiera hemos hablado aún. ¡No cometas el error de pensarque�x es negativo!
Notación. Suele escribirsex � y en vez dex C .�y/. También, supuestoy ¤ 0, se escribe
x=y o x
y
en vez dex y�1.
1.2.2. Axiomas de orden
Los números tienen, además de las propiedades algebraicas,otras propiedades que suelen
llamarsepropiedades de orden. Como sabes, los números suelen representarse como puntos de
una recta en la que se fija un origen, el0, de forma arbitraria. Los números que hay a la derecha
de0, se llamanpositivosy el conjunto de todos ellos se representa porRC. Las propiedades
básicas del orden son las siguientes.
P6 Ley de tricotomía. Para cada número realx se verifica una sola de las siguientes tres
afirmaciones:x D 0, x es positivo,�x es positivo.
P7 Estabilidad deRC. La suma y el producto de números positivos es también un número
positivo.
1.2.2.1. Relación de orden
Observa que enP6 se dice, en particular, que el0 noes positivo, ¡el0 es el0! Por otra parte,
si x es un número positivo, entonces comox C .�x/D 0 y el 0 no es positivo, concluimos,
por P7, que�x no es positivo. Los elementos del conjuntoR�D f�x W x 2 RCg, es decir,
los opuestos de los números positivos, se llamannúmeros negativos. Observa que siz 2 R�
entonces�z2RC.
Universidad de Granada
Dpto. de Análisis Matemático
Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
Desigualdades y valor absoluto 6
1.2 Definición. Parax;y 2 R escribimosx < y (léasex es menor quey) o y > x (léasey
es mayor quex) para indicar quey � x 2 RC, y escribimosx 6 y o y > x para indicar que
y � x 2 RC [ f0g.
Notación.En adelante usaremos las notaciones:RCo DRC[f0g, R�oDR�[f0g y R�DRnf0g.
1.3 Proposición. Para todox ¤ 0 se verifica quex2 > 0. En particular,1 > 0.
Demostración. Probaremos que six ¤ 0 entoncesx2 > 0. En efecto, six ¤ 0 entonces, por
P6, o bienx es positivo o bien�x es positivo. Teniendo en cuenta que, como consecuencia de
(1.1), es x2 D x x D .�x/.�x/, concluimos quex2 es positivo. En particular, tenemos que
12 D 1 > 0. ¡Acabamos de probar que1 > 0!. 2
Tenemos ahora dos tipos de propiedades enR, las algebraicasP1-P5 y las de ordenP6 y
P7. En la siguiente sección estudiamos cómo se relacionan entre sí.
1.2.3. Desigualdades y valor absoluto
Las propiedades del orden de los números reales son las que nos permiten trabajar con
desigualdades. Es muy fácil equivocarse al trabajar con desigualdades. Yo creo que en el ba-
chillerato no se le da a este tema la importancia que merece. Fíjate que algunos de los conceptos
más importantes del Cálculo se definen mediante desigualdades (por ejemplo, la definición de
sucesión convergente o de límite de una función en un punto).Por ello, tan importante co-
mo saber realizar cálculos más o menos complicados, es aprender a manejar correctamente
desigualdades, y la única manera de hacerlo es con la práctica mediante numerosos ejemplos
concretos. Por supuesto, siempredeben respetarse cuidadosamente las reglas generales que
gobiernan las desigualdades entre númerosy asegurarse de que se usan correctamente. Aparte
de tales reglas no hay otros métodos generales que nos digan cómo tenemos que proceder en
cada caso particular.
En el siguiente resultado ¡el primer teorema de este curso! se enuncian las propiedades
principales del orden deR. Son las que deberás usar para trabajar con desigualdades.
1.4 Teorema(Reglas para trabajar con desigualdades). Seanx;y; z números reales.
1. x 6 y e y 6 z implican quex 6 z.
2. x 6 y e y 6 x implican quex D y.
3. Se verifica exactamente una de las tres relaciones:x < y, x D y, o y < x:
4. x < y implica que x C z < y C z.
5. x < y , z > 0 implican que xz < y z.
6. x < y , z < 0 implican que xz > y z.
7. xy > 0 si, y sólo si,x e y son los dos positivos o los dos negativos. En consecuencia
si x ¤ 0 es x2 > 0 y, en particular, 1 > 0.
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8. z > 0 implica que
1
z
> 0:
9. Supuesto quex e y son los dos positivos o los dos negativos, se verifica quex < y
implica que
1
y
<
1
x
:
Todas estas propiedades son fáciles de probar. Por ejemplo,para probar el punto5), si
x < y se tiene quey � x > 0. Si ahora esz > 0, también seráz.y � x/ > 0, es decir,
zy � zx > 0 o, sea,zx < zy. Lo único que hemos usado aquí ha sido la definición de los
símbolos “<” y “>” y algunas de las propiedadesP1-P8. Un estupendo ejercicio para que
compruebes tus habilidades es que demuestres todas las afirmaciones del teorema anterior.
1.2.3.1. La forma correcta de leer las matemáticas
La forma en que están escritos los apartados del teorema anterior no me gusta mucho. Voy
a decirte por qué y para eso voy a tratar aquí un defecto en el que solemos caer al leer o estudiar
matemáticas. Se trata de algo que realizamos de una manera mecánica, y por ello no es fácil de
evitar, y que limita y condiciona mucho el alcance de lo que entendemos y aprendemos. Para
ponerlo de manifiesto vamos a considerar un ejemplo. En uno delos ejercicios al final de esta
sección te propongo que pruebes que la igualdad
1
x
C 1
y
D 1
x C y (1.1)
nuncaes cierta. Bien, supongamos que ya lo has probado. Seguidamente te pido que me digas
cuándo es cierta la igualdad
1
x C y2 C
1
z
D 1
x C y2 C z (1.2)
Tienes 15 segundos para contestar (y sobran 13). ¿Si? ¿No? ¡Son la mismaigualdad! Y, aquí
es a dónde yo quería llegar, si no te parecen la misma igualdades porqueestás leyendo los
símbolos y no los conceptos, es porque ¡estás leyendo las letras! Claro, me dirás, las letras
están para leerse. De acuerdo, pero hay que ir siempre al significado de lo que se lee y no
quedarse en la superficie de los símbolos. Los símbolos proporcionan mucha comodidad para
expresar las ideas matemáticas, pero con frecuencia, si no sabemos leer bien su significado,
los símbolos pueden ocultar los conceptos. En el ejemplo anterior, el hecho de que la igualdad
(1.1) sea falsa, se expresa de forma correcta diciendo que“la suma de dos inversos nunca es
igual al inverso de la suma”. Por tanto, la igualdad (1.2) jamás puede darse pues es la misma
igualdad (1.1) en la que se ha sustituidox por x C y2 e y por z. Pero tantox comox C y2
son números reales cualesquiera e igual ocurre conz e y. ¿Te das cuenta del problema? No es
igual retener la idea de que “1 dividido porx más 1 dividido pory nunca es igual a 1 dividido
por x C y” que asimilar que “la suma de dos inversos nunca es igual al inverso de la suma”.
En el primer caso los símbolosx e y tienen un protagonismo que no les corresponde, ocultan
el concepto: si te fijas demasiado en ellos no sabrás reconocer que (1.2) y (1.1) son la misma
cosa.
Esto que acabamos de ver ocurre en muchas situaciones. Por ejemplo, la mayoría de los
libros de texto enuncianel teorema de Bolzano como sigue.
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Prof. Javier Pérez
Cálculo diferencial e integral
	Axiomas de R. Principio de inducción
	 Axiomas de los números reales
	Axiomas de orden
	Relación de orden
	Desigualdades y valor absoluto
	La forma correcta de leer las matemáticas