Ecuaciones diferenciales ordinarias2

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Especialidad: Matemática e Informática 
 
Lima, Perú 
2018 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 
MONOGRAFÍA 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN 
 Enrique Guzmán y Valle 
Alma Máter del Magisterio Nacional 
FACULTAD DE CIENCIAS 
Escuela Profesional de Matemática e Informática 
Teoría general de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Curvas 
Integrales. Ecuaciones diferenciales de Primer orden por separación de 
variables, ecuaciones homogéneas. Ecuaciones Exactas. Factor integrante
Ecuaciones diferenciales Lineales Ecuación de Bernoulli y de Ricatti. 
Examen de Suficiencia Profesional Resolución N° 1242-2018-D-FAC 
 Presentada por 
Orosco Ojeda, Roberto Carlos 
 
Para optar al título profesional de Licenciado en Educación 
ii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Línea de Investigación: Curriculum y formación profesional en educación 
______________________________________ 
Lic. Giles Nonalaya, Modesto Isidoro 
__________________________________ 
Dra. Mesías Borja, Dora Escolástica 
 
___________________________________________ 
Lic. Pando Llanos, Ruben Pelucio 
Presidente 
Secretario 
Vocal 
Designación de Jurado Resolución N° 1242-2018-D-FAC 
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 
Teoría general de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Curvas 
Integrales. Ecuaciones diferenciales de Primer orden por separación de
variables, ecuaciones homogéneas. Ecuaciones Exactas. Factor 
integrante Ecuaciones diferenciales Lineales Ecuación de Bernoulli y de
Ricatti. 
MONOGRAFÍA 
iii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ariana y salvador, por su apoyo 
incondicional hacia mi persona 
A mi familia, esposa, hijos Fabiola, 
iv 
 
vi 
Capítulo I. Generalidades .............................................................................................. 7 
1.1 Antecedentes 
......................................................................... 11 
2.3 Ecuación diferencial de primer orden 
2.8 Ecuaciones diferenciales lineales 
............................... 40 
................... 12 
 2.7.1 Factor integrante (I) ............................................................................................... 29 
............................................................................. 37 
2.9 Ecuación de Bernoulli y de Ricatti .......................................................................... 37 
 2.9.1 Ecuaciones de Bernoulli 
 2.9.2 Ecuaciones de Ricatti............................................................................................. 38 
........................................................................................ 37 
................................................................................. 
2.7.2 Factor integrante (II).......................................................................................33 
2.6 Ecuaciones diferenciales con coeficientes homogéneos (homogéneas) .................. 18
 2.7 Ecuaciones diferenciales exactas ............................................................................ 26
 
 2.10 Diseño Curricular Nacional de Educación Básica Regular (EBR) ......................... 40 
........................................................................................ 40 
 2.10.1 Áreas curriculares y planes de estudio de la educación básica. 
 2.10.2 Plan de estudio de la educación básica regular...............................................40 
40 2.11 Programación curricular anual 
2.5.1 Ecuaciones diferenciales reducibles a variables separables ............................. 17 
2.10.3 Distribución del tiempo 
2.10.4 Orientaciones metodológicas
Portada............................................................................................................................... i
Hoja de firmas de jurado...................................................................................................ii 
Dedicatoria....................................................................................................................... iii 
Introducción ..................................................................................................................... 
.............................................................................................................. 7 
1.2. Máximos representantes ........................................................................................... 8 
Capítulo II.Ecuaciones diferenciales de primer orden 
............................................................................... 10 
2.2 Ecuaciones diferenciales ordinarias 
.............................................. 10 
2.1 Definición de ecuación diferencial 
...................................................................... 11 
2.4 Curvas integrales ..................................................................................................... 12 
2.5 Ecuaciones diferenciales de primer orden por separación de variables 
Índice de contenidos
Índice de contenidos......................................................................................................... iv
1.1.1 Historia............................................................................................................. 7
GIOVANN
Texto tecleado
........................................................................40
v 
 
Síntesis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
................................................................... 41 
2.12 Programación de la unidad didáctica ....................................................................... 40 
2.13 Programación de sesión de aprendizaje 
 2.13.1 Estructura de la sesión ................................................................................40
50 
Referencias ...................................................................................................................... 51 
Aplicación didáctica ................................................................................................................. 42 
............................................................................................................................ 49
 Apreciación crítica y sugerencias .................................................................................. 
vi 
 
 
 
Introducción 
 
un matemático aislado. 
 
representantes de las ecuaciones diferenciales. 
La matemática es fundamental hoy en día ya que la reforma de la enseñanza, partiendo de la 
de razonamiento deductivo. 
naturaleza matemática, nos permite obtener conocimientos de evolución continua y, por tanto, 
un proceso heurístico, demostrado históricamente, contrario a lo que sostienen los defensores 
del estilo deductivista, quienes pretenden que la deducción es tanto el de la matemática como de 
la lógica del descubrimiento, al igual que de la mayoría de los conceptos desarrollados por 
fundamentalmente, en tres capítulos, que detallaremos a continuación. 
En capítulo I desarrollamos las bases teóricas, los antecedentes, la historia y los máximos 
 
 En el capítulo III presentamos la aplicación didáctica con su respectiva sesión de 
clase. 
Todo lo anterior podemos reafirmarlo con el hecho de que el desarrollo de la matemática ha seguido
La presente monografía, titulada Ecuaciones diferenciales de primer orden, está dividido
En el capítulo II tocamos la parte central de la investigación, que viene a ser teoría general
de las ecuaciones diferenciales, las curvas integrales y los demás aspectos relacionados con ella.
7 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo I 
 
1.1 Antecedentes 
Los matemáticos utilizaban como argumentos de la física. 
funciones de elementos del triángulo característico. 
(p. 65). 
 
 
1.1.1 Historia. 
Generalidades 
En 1693 Huygens hace referencia a las ecuaciones diferenciales y Leibniz manifiesta que son 
curvatura que adopta una cuerdaflexible. Leibniz la representó como catenaria (del latín 
catena). Galileo dijo que era una parábola, mientras que Huygens probó que no era cierto” 
 Camona (1990) señala que “Bernoulli formuló en 1690, el ejercicio de ubicación de la 
 Simmons (1993) sostiene que “Las ecuaciones diferenciales tienen la característica 
principal de servir como modelo matemático en diversas disciplinas relacionadas al tema” (p.89).
GIOVANN
Texto tecleado
 En 1691, Leibniz, Huygens y Bernouilli distribuyeron arreglos autónomos. 

Los de Bernoulli se encuentran en los escritos de mecánica:

Sea y = y (x) la capacidad que retrata la situación del enlace. Para el alojamiento, acepte

 que la estatura del enlace base ocurre en x = 0 (o, al final del día, y (0) = 0).
 Segunda etapa, edad del rigor. 
teorema de existencia. 
 La quinta etapa inicia en 1930. 
 
 Isaac Newton (1642 – 1727) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 La tercera comienza en 1870 con M. S. Lie (1842 – 1899) . 
 La cuarta comienza en 1880 con el trabajo de E. Picard (1856 – 1941) y su 
funciones en series de potencias, y empezó a pensar en la velocidad del cambio. 
en la evolución de las ecuaciones diferenciales consideramos cinco etapas: 
 La primera etapa hasta 1820, Cauchy publica el teorema de existencia. 
1.2 Máximos representantes 
Ruorson y Costa (2008) menciona a los siguientes representantes:
 
Clasificación de las ecuaciones diferenciales: 
Nació en 1642. Desde 1665 hizó descubrimientos matemáticos; expuso las 
 
 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) 
 integral definida.
 caso integral.
 (Rourson, 2008, p. 48). Expuso en un papel la ecuación: ∫ 
GIOVANN
Texto tecleado
	En 1673, entendió que la garantía de la digresión a una curva se basa en la 

proporción de los contrastes de las ordenadas y las abscisas, cuando estas

distinciones se vuelven ilimitadamente pequeñas.
9 
 
a) Jakob Bernoulli (1960) 
famosa ecuación de Bernoulli de la mecánica de fluidos. 
 
b) Leonard Euler (1707 – 1783) 
resolución de problemas de mecánica celeste y de balística. 
c) Alexis Claude Clairaut (1713 – 1765) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
su nombre a la 
Resolvió el problema de la isócrona y formuló la catenaria. Daniel asocia 
La teoría de ecuaciones diferenciales fue incrementada en conceptos, para lo cual tomó como
Desde muy pequeño (diez años) L’Hôpital identificó la familia y = xy’ 
+ f(y’); ademas de resolver generalmente y = cx + f(c). 
d) Jacopo Riccati (1676 – 1754) 
Consideró las ecuaciones de la forma f (y, y’, y’’) = 0. 
10 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo II 
 Ecuaciones diferenciales de primer orden 
Ejemplo 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo2. 
 
 
 
 
 
 
2.1 Definición de ecuación diferencial 
Además de la variable independiente x y de la función y = y(x), está presente
derivada de ésta, y’ (x) la primera 
La variable independiente es t, y las funciones incógnitas, x(t) e y(t). 
De Guzmán y Peral (1978) manifiesta que “las derivadas de una o más variables 
dependientes están incluidas con respecto a una o más variables independientes” (p.74). 
11 
 
comparecen en la ecuación. 
Ejemplo 3: 
 
 
 (
 
 
) 
es de segundo orden. La ecuación diferencial 
 
es de tercer orden. 
 
2.2 Ecuaciones diferenciales ordinarias 
 (forma explícita) 
 
Ejemplos: 
 
 
2.3 Ecuación diferencial de primer orden 
y sus derivadas y ', y",......, y (n ) , de la 
yd
 02  xyx
xd
xcosyxyyx  3'4'"
03'  yxy
)......,,",',,( )1()(  nn yyyyxFy
 0)......,,",',,( )( nyyyyxG (forma implícita) (1) 
independiente x , una función incógnita )(xyy 
El orden de una ecuación diferencial es el mayor de los órdenes de las derivadas que 
Según Frank (1993), una ecuación diferencial ordinaria (EDO) contrasta una variable 
 
forma siguiente: 
 o 
 Nagle (2001) sostiene que en ocaciones, las ecuaciones diferenciales de primer orden se expresan: 
M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 .
12 
 
Y’=
 
 
 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 √ 
 
o bien 
y’ = f (x, y) 
 
 
 
Se denomina incidencia de valores iniciales al problema 
F (x, y’) = 0 
Gutiérrez (2014) Si puede reducirse a la forma: 
 M (x)d N(y)dy  0
Ejemplo: Comprobar que y = x 
4
/16 es una solución de y’ = x 
 
√ 
En efecto: 
y(x0) = y0 (forma implícita) ,
y (x0) = y0 (forma explícita). 
este caso, que la función y valga y0 en x = x0. 
2.4 Curvas integrales 
Loyola (1997) aclara que“se le llama curva integral a una curva de nivel de 
un campoescalar u 
 2.5 Ecuaciones diferenciales de primer orden por separación de variables 
(t,x) constante sobre toda solución de la ecuación diferencial” (p.34). 
El objetivo es determinar una solución que verifique una determinada condición, en 
13 
 
2.- Determine la solución general de la ecuación 
 
integrando término a término 
se tiene 

 
1
ln)1ln( 
2
1 2
2
1
2
1
2
y
x
2
 LnC
y
 
 


xdx

dy
x
C
yy 22 )1(1
 1
xdx dy
x

 yy )1(1 22


 0
    Cdxxdy
23 
 dxxdy 23 
dx
    CdyyNdxxM )()( 
La solución general se obtiene por integración directa 
donde C es una constante arbitraria. 
dy
  3x 2 
Ejemplos:
1.- Determine la solución general de 
 y  x3 C .
 xy (1 y2 )dx  (1 x2 )dy  0 . 
Dividiendo entre y (1 y2 )(1 x2 ) ,se obtiene 
14 
 
 
 
después de simplificar se tiene la solución en forma implícita 
ecuación diferencial 
 
integrando se llega a 
3.- Determine la solución general y la curva única que pasa a través del punto (0,0) de la 
 )0cos(11 C 
sustituyendo el punto )0,0( en esta solución obtenemos 
 Cye x ln)ln(cos)1ln(  
 
 
x
x
dxe
Cdyy
e
 1tan
1
x
x
dxe dyysen
e

 y
 0)1(cos  dyysenedxye xx 
 222 )1)(1( Cyyx  
22 )1)(1(
2y

 22 )1)(1(
ln
2
yx
ln C
y

 
2
2 
1
ln)1ln(
2
y
x ln C
y
 x  y
  C,
Divida por cos y(1 e x ) para obtener 
 0,
1 cos
 1 e x C cos y, 
15 
 
 
integrando se obtiene la solución general 
y en forma explícita se escribe 
 1 e x  2cos y 
y 
xe

 



 

 
2
2
y 
xe

 



 


2
2 
2
 2ln21)1ln(2
2  xey 
2
1  xey 2 2ln)1ln(
2
1
2
1  CC 2ln2ln
2
1
haciendo 1,0  yx se tiene 
Cey x  )1ln(2
2
1 

1
dxe x
y . 
x

0
inicial 1
xx
 2C 
La resolución particular a través del punto (0,0) es ,por tanto,
4.- Halle la solución particular de la ecuación (1 e )yy  e , que satisface la condición 
Después de separar las variables, la ecuación se escribe 
ydy
 e
 
x 
La solución particular resulta 
1
 ln 1,
1
 ln 1.
16 
 
 
 
 se obtiene 
La solución requerida es 
 
 
 
sea igual a 
dy
 3 y
dx
Expy
cos1 x
xsen

xsen
 
 

 1 Cee
C
 
2
cos1cos1
ln 
xsen
Cy
xsen
x
xsen
CExpy
xsen
x
 


 



 


 









 


 

lnlnln y ln
cos1 x
xsen
 C
xsen
y
  y
dy1
Cdxx 1csc
ln
ln
dy

dx
yy xsen
dx
 . 

2

x
iniciales ey
dy
 sen x  y ln y 
5.- Encuentre y resuelva E ysen x  y ln y que satisface las condiciones 

Haciendo x  , y  e,
Problema. – Ubique la curva en el punto (0,2) donde la pendiente de la tangente 
la ordenada del punto, adicionada en tres unidades:
17 
 
 
que en forma explícita se escribe 
2.5.1 Ecuaciones diferenciales reducibles a variables separables. 
 
en la forma 
 
Se obtiene 
variables independientes con: 
a  by  t y    
 )(
dt
 Cx
atfb
)(
dt
o bien, después de separar las variables t y x 
at
b
 )(
1
 tcbyax  
ey x
 00)32(ln  CC 
 Cxy  )3(ln 
 3
dy
 dx
y
La curva debepasar por el punto (0,2) , entonces 
 ln (y 3)  x, 
  3.
 Gutiérrez (2014) afirma quna ecuación de la forma y  f (ax by  c) se reduce al tipo de 
Y al sustituir es 
  dx , 
bf ta
1
 ( ) ( ) ,t  a  f. t 
b
obtenida. 
2.6 Ecuaciones diferenciales con coeficientes homogéneos (homogéneas) 
Por ejemplo: 
 (a) La ecuación 
 (b) La ecuación 
Funciones homogéneas 
18 
 
La función es homogénea de grado 
2
3 . 
 . n ),(),( yxfttytxf
xyy
dx
3 2
x
 (c) La ecuación 
2
1

1




dy

yx
dx yx
yx
x
y
y
x
y
x


 
 

2
2
2
2
2
dx
dy
x
xyy y
x
y
x
dx
dy y
F
x
 
 

x
yx
y
dy
 ),( yxf
dx
Se dice que f (x, y) es una función homogénea de grado n , si para algún 
número real n , 
se retorna a variables anteriores remplazando t  ax by  c en la solución así 
Weinberg (1993) dice que una ecuación de la forma: 
 .
  es homogénea .
1
ln ln ln también es homogénea .
dy 
 no es homogénea . 
(a) f (x, y)  x2  y2 1 
 es homogénea siempre que la función f no dependa de x y y separadamente, sino 
solamente de sus razones o , por lo tanto, las ecuaciones con coeficientes homogéneos 
(homogéneas) son de la forma: 
19 
 
La función es homogénea de grado cero 
 
 
 y 
Ejemplo 
 f (x, y)  x
2  3xy  y2 es homogénea cuadratica
x
f son ambas de grado cero. 
y

1,


 

f ,1 y 
x
y

 
donde 

n fyyxf
y
x
 1,),( 


 


,1),( n
y
fxyxf 
x
 
 

Si ),( yxf es una función homogénea de grado n es posible escribir 
(b) La función yxyxf 
2),( no es homogénea 
(a) La función 
2236),( yxxyyxf  es homogénea de grado 4 
tytxf  
ty
tx
y
x)(
),( 0 yxft4
)(2
 ),(4
2
x
yxf ),( 
y
(d) 4
2
La función no es homogénea ya que ),(),(
2 yxfttytxf  
 1)()(),( 22  tytxtytxf 
GIOVANN
Texto tecleado
Puede percibir con frecuencia si una capacidad es homogénea analizando el nivel de cada 
término, por ejemplo:
Entonces 
 
Por su forma una ecuación homogénea puede simplificarse introduciendo una nueva variable, 
 
se transforma en 
de donde se obtiene 
 
Resolviendo esta ecuación y remplazando 
original. 
Ejemplos. - 
1.- Resuelva la ecuación diferencial 
La ecuación diferencial homogénea 
20 
 
y
t  obtenemos la solución de la ecuación 
x
)(
dt

dx
ttF x
dt
x  )(tFt
dx
dx
dy y
F
x
 
 

txy  
dx
dy dt
xt  , entonces t
dxx
y
yyxf 
x
y
x
fy
y y
x
2
2  1,13),( 2


 



 


 






 


 


 


2 xyxf 131),( 2
2
x
y
x
y y
fx
x


 
 














 
 
 

21 
 
Se escribe en la forma 
 
la ecuación se transforma en 
 
separando las variables 
 
la solución general se escribe 
 
 Cxtt lnln)1(lnln  
tt
dt
x
dx

1
)1(
C   
 )1(
dt

dx
tt x
dt
x  2 tt
dx
dt
x 22  ttt
dx
 
dx
dy dt
x t
dx
y
t  se tiene y se comprueba que es homogénea, haciendo txy
x
2
2
dx
dy y
x
y

x


 
 



 

dy 
 
xyy
dx
2 2
x
 
2
22 
 
Eliminando logaritmos 
 
Sustituyendo 
 
la solución se puede escribir en forma explícita como 
 
 
 
2.- Resolver la ecuación diferencial 
 
Se escribe en la forma normal para comprobar que es homogénea 
Haciendo 
 12  ttttx 
t  , txy  y ttxy  la ecuación se convierte en 
y
x
y 
x
xyy y
x
y

x



 
 

22 2
 1
 22 xyyyx  
2
1

Cx
y
Cx
1


y

y
x
x
y
 Cx
xy
y
t  y simplificando 
x
1
t
 Cx
t
23 
 
Separando las variables se tiene, 
 
 
 
e integrando 
 
se tiene la solución 
Eliminando los logaritmos 
 
sustituyendo 
 
 
y de ahí se tiene la solución 
que se puede escribir en forma explícita como 
 222 Cxxyy  
2
 1

 
 

y
x
y
 Cx
x
t  , obtenemos 
x
y
 Cxtt  12
 )(ln)1(ln 2 Cxtt  
dt dx
t
C
x
1
2 1
  

12
dt

dx
t x
 12  ttx 
24 
 
 
3.- Resuelva la ecuación diferencial 
Se escribe en la forma 
 
que se transforma en 
 
separando las variables 
 
e integrando 
 
volviendo a las variables originales, se obtiene 


Cxt
t
Ctx
t
2
2
1
lnlnln
2
2
1
]ln[
21
3


t
t dx
dt
x
 

x

t
dx
dt
t
t 2 11 t
t 3
 
2

 
dt
x t
dx
 
21 t
t
dx
dy x
y
x
y



 
1 

 
2

 
xy
dx
dy
 
22 yx
 
2
122 xC
y
C
25 
 
2
que también puede escribirse en la forma 
Separando las variables e integrando se obtiene 
 
haciendo 
de donde se puede resolver para la variable dependiente 
 
4.- Resolver: 
 xt  t  1 t 2  t 
 
x
 )][ln( Cxsenxy  
y
arcsen  ][ln Cx
x
y
t  se llega a 
x
 ][lnlnln CxCxtarcsen  
dt dx
t
C
x
1
21
  

dt
x  21 t
dx
1 
2


 
y 

y
x
y
 yyxyx  22 
 ]ln[2 Cyyx  
x
 Cy
y
 ]ln[
2 2
26 
 
 
 
 
y 
 
entonces, podemos construir la solución integrando M(x,y) respecto a x 
 
función así obtenida respecto a y e igualando a N(x,y) se tiene 
 
como la constante de integración C(y) depende sólo de y, su derivada se puede 
escribir como una derivada ordinaria, es decir 
 
 
y al derivar ambos miembros respecto a x llegamos a 
 
que es la condición necesaria y suficiente para que una expresión diferencial sea 

 
(2) u(x, y)  M (x, y)dxC(y) 
 
es una diferencial total, entonces existe una función u(x,y) tal que 


y 

x
yxM ),(),( yxN
y
d
dxyxM ),()(),( yxNyC
dy

 (3’)  
dxyxM
y
),()(),()3( yxNyC
y
 

 
 
donde la constante de integración podría ser una función sólo de y , derivando la 


y
u
),( yxN

x
u
),( yxM
0),(),()1(  dyyxNdxyxM
2.7 Ecuaciones diferenciales exactas 
Ruorson y Costa (2008) Sostiene si el primer miembro de la ecuación: 
27 
 
una diferencial total, resolviendo para la derivada de C(y) de (3’), e integrando se obtiene 
 
finalmente podemos escribir la solución (2) como 
 
 
es exacta y determine la solución general. 
 
 
 
 se tiene 
 
 
d
d
x  
22 1)( xyC
dy


y
 22 1)( xyCyx  

u
Como ),( yxN
y
   )()(2),(
2 yCyxyCdxxyyxu 

N
2 
21),( xyxN  x
x

M
2 xyyxM 2),(  x
y
 0)1(2
2  dyxdxxy 
yxNdxyxMyxu ]),(),([),(),(  dydxyxM
y 
  

dyyxNyC ]),([),()(  dydxyxM
y 
  

de donde se obtiene 
 C(y) 1
dy
Se comprueba que es exacta, entonces 
Ejemplo:
Demuestre que la ecuación diferencial 
28 
 
e integrando 
Para una ecuación diferencial exacta 
La solución se puede obtener por integración 
 
 
Se cumple que entonces 
 
 
 
 
No añadimos constante de integración dado que )(yC es cualquier función tal que 
Resolver: 
 (sen(xy)  cos(xy)) dx  x
2 cos(xy) dy  0 
 Cxysenxyxu  )(),(
 )()(),( 0001 yxsenxCxysenxyxu  
 
x
x
y
y
Cyxsenxxyxsenyxsenxxysenx
00
)()()()( 100000
0 0
2
)cos())cos()((),(
00
dyyxxdxxyxyxysenyxu
x
x
y
y
  



M

N
y x

N
 )cos(),(
2 xyxyxN  )()cos(2 2 xysenyxxyx
x

M
 )cos()(),( xyxyxysenyxM  )()cos(2
2 xysenyxxyx
y
   Cyxudu ),( 
 0),(),(  dyyxNdxyxMdu 
 Cyyxyxu  2),( 
 la función ),( yxu está totalmente determinada y la solución general se escribe 

u
 ),( yxN
y
   ydyyC )( 
29 
 
 
 
 
Otro método 
indicada 
Que es de la misma forma que en el método anterior 
 
2.7.1 Factor integrante (I). 
 
La integral contiene la forma 
Resolver: 
 ( 1) ( 
2  3) 1

1 32  
1
2
 yyxyxx 3
3
dyyxdxxyxu 
x yx
x
)3()1(),(
)0,(
)0,0( )0,(
2),(  
El punto inicial ),( 00 yx se toma el origen de coordenadas,e integrando en la trayectoria 
dyyxyxyxu 
yx
yx
)3()1(),(
00 ),(
2),(
 
 Cyyxxyx  182663
32
 
),( Cyyxxyxyxu  
2
1
3
1
 
1
32 3
1
)( 3  3)(
2  yyC yyyC 3
3
y
u
yxyCxyCx 3)()(
2 



x
u 1
1 2 yCxxyxuyx )(
2
yx
y
yx
x
 

 0)3()1(
2  dyyxdxyx 
Ruorson y Costa (2008) en algunos planteamientos debe tomarse el primero de la ecuación: 
30 
 
ecuación por esta, transforma al primer miembro en una diferencial total. 
Ejemplo.- 
 
que es una diferencial total, integrando se tiene 
Según la definición de factor integrante 
 
 
 se llama factor integrante. La función ),( yx
  dyyxNyxdxyxMyxdu ),(),(),(),(
 , tal que al multiplicar la no es una diferencial total, es posible encontrar una función ),( yx
 0),(),(  dyyxNdxyxM 

 
 
 
 
N

M
x
M
y
N
y x
x
N 
y
M
y
M
x
N

 
 
 







 

 


 
 

M
y
    N
x
3
222 )(   CxExpyx  3
ln2)(ln CExpxyxExp  22
3
2
1
3    
)(ln Cxyx  
3
2
 
1
322 ln2
1
Cxyx  )(ln
2 3
1
 
1
322 ln
yx
ydyxdx 
dxx
22


se obtiene 02

 
yx
yx
1
),(Multiplicando por 
22
 0)(
222  dxxyxydyxdx 
ln  ln 
31 
 
 y se tiene 
 
cuadratura. 
Resolver la ecuación diferencial 
 
 
 
Entonces 
 
 
Multiplicando la ecuación por el factor integrante y reacomodando la expresión se tiene 
 Hemos obtenido una ecuación en derivadas parciales para hallar el factor integrante, 
consideremos los casos más sencillos. 
Ejemplo.- 
  
1
x
xln2ln   
2
 xdd ln2ln  
d 2ln

xdx









 



 
 2
)2(21
N
2
y
M yy
x
N
xxy

N
2xyyxN 2),(  y
x

2
y
M2),( yxyxM  y
 02)(
2  dyxydxyx 
Nx
1ln 
y
M
x
N

 
 







 



y
  , entonces 0

1.- El factor integrante es función sólo de x, )(x
 Para que haya una variable de coordinación que no dependa de y, es fundamental y 
adecuado que el segundo individuo de esta articulación dependa solo de x; En se encuentra.
32 
 
 
que es una diferencial total 
la solución se escribe 
, y se tiene 
 
Ejemplo.- 
 
 
 
 
 , 
al aplicar el factor se obtiene la ecuación 
N
x
M
Resolver : 
 Si el segundo miembro de esta ecuación depende solamente de y, se tiene un factor 
que forma parte de la función unica de y, (x)
 
y
1d 1ln

ydy

 






 

  

ln2
)1(ln221
M
1M
x
N yxx
y yyxy

N
21
222  yyxN x
x
y
M
yxyxyM ln2 )1(ln2 

   01ln2 222  dyyyxdxyxy 
  . 
1ln 
yMy

 
 






 



x
2.- Si el factor integrante depende solamente de y , ahora 0

ln 
2y
x  C
x
xd 
x
y



 

 
2
 0ln
dx dxyxydy
x

x

 2
2
 0
2
 
 
 y 
 y 
 
 
 
 
Resolver la ecuación diferencial 
2.7.2 Factor integrante (II). 
 

 se puede confirmar como una cuidadosa condición diferencial y se puede componer como:
     03423 22  dyyxyxdxyyx 
ln








 
dz
d y
M
x
N
z
N M
x y
z
  lnln

 
 
 
 
d
N
z
dz
M
x dz
d M
y
z N
y x
 ln11ln 


 

yy 

dz
d d
y
z z
dz y
 ln11ln 

 


 
 
 
xx 

dz
d d
x
z z
dz x
 

y 

dz
d
y
z 

x 
z
dz
d
x
  , donde ),( yxzz  
12 1ln 
3
3
2   Cyyx 
 01)ln( 22  dyyyyxd 
dyx
dxyx  dyyy
y
 01ln2 2
2
y
yxy yyx
dx  dy
y


 0
1ln2
222
33 
 
 3.- El factor integrante es de la forma (z)
Ejemplo: 
2yx   . 
 
 
 
 
     
3x2  2xy  4xy 2  y4 dx  x2  4x2 y 5y4 dy  0 
( , ) 3 2 4 5 
M
y
 yxM  , 1


 
 2;2 
x
z z
x 
22 yxz  , y
y
 ? 
¿Tiene la ecuación 0 ydxxdyydyxdx un factor integrante de la forma 
)( 22 yx 
 
22 ))(( yxyx  
    yyxyxyxyxxyxyxyyxyxx 4224225432223 2222  
54643),( 2
0,0
43222
0,
0,
,
dyyxyxyyxxdxxyxu
x
x
yx
 
432224322
0,0
,
dyyxyxyyxxdxyyxyxyxyxu
yx
      
 
2lnln yxz   
d 1ln

zdz
  , por tanto Entonces se comprueba que )(z






 
 
 



dz
d
yyyxyxyx
yy
yyxyx
y
yyyx
y
yyx
y
yx
4122ln
21
223154
21
22
21
2121
1
21
22
2232
2
      
     
   
34 
 
Si tiene un factor que integra la forma  
 Aplicando el factor integrante a la ecuación diferencial inicial, se obtiene la 
ecuación diferencial exacta 
35 
 
 
 
 
 
la primera fracción se integra 
 
y para la segunda fracción se escribe 
 
 
la solución se escribe finalmente 
 
 
  ; 
aplicando el factor y reacomodando la ecuación se tiene 
Ejemplo.- Demuestre que si la expresión 
entonces, la ecuación diferencial tiene un termino intrínseco de forma  (x2  y 2 )
 
2 2 2 2
 0
la ecuación 0 NdyMdx tiene un factor de integración que es función de yx  . 
1
 es función de yx  , entonces 
M
MN
N
y

 x








 


y
yx  arctanln 22 C
x
ydxxdy
arctan
22
 
yx

x
y

 
 
 

yx
ydxxdy
ydxxdy
yx
x
x
d
x
y
x
y


 


 
 



 
1 

22 22
2
2
 
2
ydyxdx
yx
yx2
1
22
ln
22
2
1
 22
 
  
ydyxdx ydxxdy
yx

yx

 

 
11
yxz 

 
22
d 1ln

zdz
 
 

d

11ln
yxyyxxyxdz
1
)2)(()2)(( 22

x
N
 yxN  , 1

36 
 
Factores de integración de la forma
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u x y x y x y dx C y
x y x y Cy
 4xy 2 3y dx  3x2 y  2x dy  0 
 4x3 y3 3x2 y2 d x  3x4 y2  2x3 yd y  0 

  
2233
2334 )(
)(34),(
 
 
nmnm
nm 243


1,2132
 )34()22(12

xynxymxy
32)43( nmxynm
 
 22 
)26()38( mxyxy
3423
x
xyx yxy
n
y
N
xy
x
M
 26 
y

xy 38 



 
M

N
y
m
x x
N M
n
y
y
M
x
N nmnmnm nyMxyNmxyx







 


11  


 
M 11  nyMxyx
y x
N nmnmnmnm yNmxyx


 
 1yNx
x x
N nmnmnm yNmxyx 
yMx
y y
M nmnmnm nyMxyx
 
 1 
yx nm
 Entonces   x2 y ; aplicando el factor a la ecuación inicial, se obtiene la 
ecuación diferencial exacta 
Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial 
37 
 
 
2.8 Ecuaciones diferenciales lineales 
así: 
 
 
2.9 Ecuación de Bernoulli y de Ricatti 
 Descripción de la ecuación 
y' = p(x)y + q(x)y
n
 
donde n es cualquier número real. 
lineal cuya solución viene dada por: 
 
En este caso la solución viene dada por: 
 
2.9.1 Ecuaciones de Bernoulli. 
donde p y q son funciones continuas en un intervalo I. 
)1()()(' xqyxpy 
 Cyxyxyxu 
2334),( 
 CyCyC  )(0)( 
 yxyxyCyxyx
324324 23)(23  
 En 1696 Bernoulli resolvió la ecuación que hoy llamamos 'Ecuación de Bernoulli' 
que se comunican
Camona (1997) Son condiciones diferenciales estándar de primera solicitud 
 Caso particular: α = 1 
Caso particular: α = 0 En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial 
 
Solución de una ecuación diferencial de Bernoulli. 
Veremos un método de solución por medio de un ejemplo: 
Dada la ecuación 
 
 
 
primero reescribimos la ecuación como 
 
 
 
 
 
 
por medio de una división de toda la ecuación entre x. 
Con tenemos o . Entonces sustituimos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ←Regla de la cadena 
en la ecuación dada y simplificando el resultado es: 
 
 
 
 
 
 
Después para obtener el factor integrante para esta ecuación lineal tomamos en, (0,∞), 
siendo lo siguiente: 
 ∫
 
 
 
 
Integrando: 
 
 
 [ ] 
Ecuación de Riccatide la forma: 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
No se integra en cuadraturas. 
Si se conoce una solución particular, y1(x), entonces: 
2.9.2 Ecuaciones de Ricatti. 
la super glori
Texto tecleado
38
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sustituyendo en (R1): 
 
 
 
 
 ( ) ( ) ( 
 
 
) 
 ( ) ( 
 
 
)
 
 
Considerando que y1 es solución de (R1): 
 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Simplifica: 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 ( )
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
Ecuación lineal en z: 
En el caso de que se conozca otra disposición, y2 , de la condición diferencial de 
Riccati, en ese momento: 
 
 
 
 
 
Se Reconoce soluciones particulares y1, y2 e y3, entonces: 
 
 
 
 
 
 
La ecuación diferencial de Riccati se reduce a: 
la super glori
Texto tecleado
39
40 
 
 
 
 
 
 
desarrollados. 
Integran de competencias. 
Secundaria. 
Horas pedagógicas 
 Prácticas pedagógicas que privilegia la participación activa y cooperativa. 
 
Responden a factores problemáticos. Son tangibles o intangible. 
Aprendizaje esperado. Aprendizajes fundamentales. 
Integran los niveles de Educación Inicial y Primaria y en forma específicas en 
Contiene las capacidades y contenidos organizados. 
son 
Es un documento donde se encuentran los saberes principales y básicos los cuales 
2.10 Diseño Curricular Nacional de Educación Básica Regular (EBR) 
2.10.1 Áreas curriculares y planes de estudio de la educación básica. 
2.10.2 Plan de estudio de la educación básica regular. 
2.10.3 Distribución del tiempo. 
2.10.4 Orientaciones metodológicas. 
2.11 Programación curricular anual 
2.12 Programación de la unidad didáctica 
 . Título. 
 . Competencia/s. 
 . Secuencia didáctica: 
 . Inicio 
2.13 Programación de sesión de aprendizaje 
2.13.1 Estructura de la sesión. 
41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . Desarrollo 
 . Cierre 
 . Tarea o trabajo en casa (opcional) 
42 
 
 
Aplicación didáctica 
43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
Ecuación diferencial por separación de variables 
 
- 2x+3y 
 
 
 
 
Resolución 
 
 
 
 
 
 
 
∫ ∫ 
 
Observación: 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
ECUACIÓN GENERAL 
Calculando la condición 
subyacente que suplantamos 
en la disposición. general 
objetivo de encontrar la 
estimación constante “C”. 
 
 
 
Integramos 
Hoja de práctica 
45 
 
 
Reemplazo y (0) =0 
x=0 
-2e
-3(0)
 = 3e 
2(0)
 + c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomando Ln 
 (
 
 
) 
 (
 
 
) 
 
 (
 
 
) 
 (
 
 
) 
 
(
 
 )
 
 
Solución particular 
Y(x) 
Separación de variables 
 
 
 
 
 
∫ ∫ 
∫ 
 
 
 
 
Sabemos que: 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 +c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫
 
 
 ∫
 
 
 
 
46 
 
47 
 
Observamos: 
 
∫
 
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
 
Unidad : 2 
Grado y sección : 4to 
 
Examina modelos referidos a 
inecuaciones lineales que 
expresen situaciones de 
restricción. 
Evalúa el conjunto de 
valores que cumplen 
una condición de 
desigualdad en una 
inecuación lineal. 
 Ítems 
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Lista de estudiantes 
Sí No Sí No Sí No Sí No Sí No 
1 
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33 
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35 
 
Lista de cotejo 
49 
 
Síntesis 
 
Las formulaciones matemáticas de problemas en física, economía, biología y otras ciencias 
generalmente se incorporan en ecuaciones diferenciales. El análisis de las ecuaciones 
resultantes proporciona una nueva visión de los problemas originales. 
exponenciales y trigonométricas, que desempeña un papel central en su desarrollo posterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 La teoría lineal de primer orden comienza con una presentación autónoma de las funciones 
 Se puede hacer derivadas de todas las funciones. Es mecánico, pero solo se podrá 
lo mismo se aplica a las integrales. 
encontrar la solución exacta de una fracción infinitesimal de diferencias y pensando en eso, 
La enseñanza de las ecuaciones diferenciales en la formación del profesor del área de 
Matemática tiene un lugar especial pues sirve como un elemento que evalúa la calidad que 
han tenido los futuros profesores en lo que se refiere al área de Cálculo y Análisis 
Matemático. 
 Por un lado, evalúa el desempeño de los profesores de esas asignaturas, así como la 
esta idea debe cumplirse en forma estricta, pues el estudiante que no sabe derivar ni integrar, 
las ecuaciones diferenciales simplemente no podrán aprender el tema. 
colección de problemas cuya solución se realice con los diversos métodos de solución de una 
ecuación diferencial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apreciación critica y sugerencias 
 También se debe innovar la metodología de enseñanza con diversos medios que en 
50 
 
La: razón es sencilla. Por ser la Matemática una disciplina jerárquica, aquí vemos que 
 Lo que debe tener en cuenta el profesor de esta asignatura haya una 
la actualidad como son los videos y las diapositivas para hacer la clase más entendible. 
dedicación y la importancia por parte de los estudiantes. 
Referencias 
 
Alhambra. 
Simmons, G. (1993). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ruorson, R. y Costa, G. (2008). Ecuaciones Diferenciales. Monterrey, México: 
Frank. R. (1993). Ecuaciones Diferenciales. Monterrey, México: Editorial. Mc Graw Hill. 
Loyola, I. (1997). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. California, Usa: 
Editorial Marymount University. 
Madrid, España: Editorial Alhambra. 
Sevilla, España: Editorial Addison-Wesley Iberoamericana. 
Editorial Mc Graw Hill. 
Monterrey, México: Editorial Mc Graw Hill. 
De Guzmán, P., Walias, M. (1978). Problemas de ecuaciones Ordinarias. 
Camona, J. (1997). EcuacionesDiferenciales. Monterrey, México: Editorial
51 
 
Inglaterra: Editorial Springer. 
Nagle, K., Saft, E. (2001). Ecuaciones Diferenciales y Problemas con valores en la frontera. 
Weinberger, H. (1993). Maximum Principles in Differential Equations. Oxford ,
Gutiérrez, V. (2014). Ecuaciones Diferenciales. Lima, Perú: Editorial Moshera S.R.L. 
Huygens, C. (2010). Ecuaciones Diferenciales. Lima, Perú: Editorial Moshera S.R.L.