TALLER DERIVADAS PARCIALES -DERIVAADA DIRECCIONAL - GRADIENTE

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UNIVERSIDAD DE LA COSTA, CUC 
TALLER SOBRE DERIVADAS PARCIALES - DERIVADAS DIRECCIONAL- GRADIENTE 
DOCENTE: MAYELIN ROA GOMEZ 
ALUMNOS: ____________________ , ___________________ , ______________________ 
1°-) CALCULAR LAS 4 DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN 𝜕𝜕
2𝑓𝑓
𝜕𝜕𝑥𝑥2
 , 𝜕𝜕
2𝑓𝑓
𝜕𝜕𝑦𝑦2
 , 𝜕𝜕
2𝑓𝑓
𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑦𝑦
, 𝜕𝜕
2𝑓𝑓
𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝑥𝑥
: 
a-) 𝑧𝑧 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑦𝑦 
b-) 𝑧𝑧 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = cos 𝑥𝑥𝑦𝑦 
 
2°-) Hallar 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
 Λ 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
 𝑢𝑢𝑡𝑡𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑧𝑧𝑡𝑡𝑡𝑡𝑢𝑢𝑢𝑢 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
= 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝜕𝜕
+ 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
𝜕𝜕𝑦𝑦
𝜕𝜕𝜕𝜕
+ 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
 ; 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
= 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝜕𝜕
+ 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
𝜕𝜕𝑦𝑦
𝜕𝜕𝜕𝜕
+ 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
 
a-) 𝑤𝑤 = 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧 ; 𝑥𝑥 = 𝑠𝑠 + 𝑡𝑡 ; 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠 − 𝑡𝑡 ; 𝑧𝑧 = 𝑠𝑠𝑡𝑡2 
b-) 𝑤𝑤 = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 ; 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑠𝑠 ; 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑢𝑢𝑠𝑠 𝑠𝑠 ; 𝑧𝑧 = 𝑠𝑠𝑡𝑡2 
 
3°-) Hallar la derivada direccional de la función en P en dirección de v: 
a-) 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 3𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥𝑦𝑦 + 9𝑦𝑦 𝑃𝑃(1,2) 𝑣𝑣 = 3
5
𝑢𝑢 + 4
5
𝑗𝑗 
b-) 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑧𝑧 + 𝑥𝑥𝑧𝑧 𝑃𝑃(1,2,−1) 𝑣𝑣 = 2𝑢𝑢 + 𝑗𝑗 − 𝑘𝑘 
 
4°-) Hallar la derivada direccional de la función en dirección de 𝑢𝑢 = cos𝜃𝜃𝑢𝑢 + 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑡𝑡𝜃𝜃𝑗𝑗 
a-) 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑡𝑡 (2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) 𝜃𝜃 = 𝜋𝜋
3
 
b-) 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑥𝑥𝑒𝑒𝑦𝑦 𝜃𝜃 = 2𝜋𝜋
3
 
 
5°-) Hallar la derivada direccional de la función en P en dirección de Q: 
a-)𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = cos(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) 𝑃𝑃(0,𝜋𝜋) 𝑄𝑄(𝜋𝜋
2
, 0) 
b-) ℎ(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = ln(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧) 𝑃𝑃(1,0,0) 𝑄𝑄(4,3,1) 
 
6°-) Hallar el gradiente de la función en el punto dado: 
a-) 𝑧𝑧 = 𝑐𝑐𝑢𝑢𝑠𝑠(𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2), 𝑃𝑃(3,−4) 
b-) 𝑤𝑤 = 3𝑥𝑥2 − 5𝑦𝑦2 + 2𝑧𝑧2, 𝑃𝑃(1, 1,−2)