Vista previa del material en texto
Transformada De Laplace Y Su Inversa
Instrucciones: Responde a lo que se pide en cada apartado.
I. Determina la 𝓛{𝒇(𝒕)} para las siguientes funciones mediante su
teorema.
1) 𝒇(𝒕) = {
𝟎 𝟎 ≤ 𝒕 < 𝟐
𝒕𝟐 + 𝟑𝒕 𝒕 ≥ 𝟐
ℒ{𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡0𝑑𝑡
2
0
+ ∫ (𝑡2 + 3𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
2
→ ∫ 𝑒−𝑠𝑡0𝑑𝑡
2
0
+ ∫ (𝑡2 + 3𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
2
→ ∫ (𝑡2 + 3𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
2
→ ∫ 𝑡2𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 + ∫ 3𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
2
∞
2
Primera operación.
𝑢 = 𝑡2 𝑣 = −
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑢 = 2𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
Segunda operación.
𝑎 = −𝑠𝑡
∫ 3𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
2
→ 3 ∫ 𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
2
→ 3 ∫ 𝑎𝑒𝑎𝑑𝑎
∞
2
→ 3 ∫
𝑎𝑒𝑎
𝑠2
𝑑𝑎
∞
2
→
3
𝑠2
∫ 𝑒𝑎𝑎𝑑𝑎
∞
2
→
3
𝑠2
(𝑒𝑎𝑎 − ∫ 𝑒𝑎𝑑𝑎
∞
2
) →
3
𝑠2
(𝑒𝑎𝑎 − 𝑒𝑎)
→
3
𝑠2
(−𝑒−𝑠𝑡𝑠𝑡 − 𝑒−𝑠𝑡)
→ −
𝑡2𝑒−𝑠𝑡
𝑠
| ∞
2
+
2
𝑠3
(−𝑠𝑡𝑒−𝑠𝑡 − 𝑒−𝑠𝑡)| ∞
2
+
3
𝑠2
(−𝑠𝑡𝑒−𝑠𝑡 − 𝑒−𝑠𝑡| ∞
2
Al ser 𝑠 menor que 0, al realizar el intercambio por infinito, este se vuelve 0, por lo
que se cancela.
→
22𝑒−2𝑠
𝑠
+
2
𝑠3
(2𝑠𝑒−2𝑠 + 𝑒−2𝑠) +
3
𝑠2
(2𝑠𝑒−2𝑠 + 𝑒−𝑠)
→
4𝑒−2𝑠
𝑠
+
4𝑒−2𝑠
𝑠2|
+
2𝑒−2𝑠
𝑠3
+
6𝑒−2𝑠
𝑠
+
3𝑒−2𝑠
𝑠2
→
𝟏𝟎𝒆−𝟐𝒔
𝒔
+
𝟐𝒆−𝟐𝒔
𝒔𝟑
+
𝟕𝒆−𝟐𝒔
𝒔𝟐
2) 𝒇(𝒕) = {
𝒆−𝒕 𝟎 ≤ 𝒕 < 𝟏
𝒆−𝟐𝒕 𝒕 ≥ 𝟏
ℒ{𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑒−(𝑠+1)𝑡𝑑𝑡
1
0
+ ∫ 𝑒−(𝑠+2)𝑡𝑑𝑡
∞
1
→ −
1
𝑠+1
𝑒−(𝑠+1)𝑡| 1
0
−
1
𝑠+2
𝑒−(𝑠+2)𝑡| ∞
1
→ −
1
𝑠+1
𝑒−(𝑠+1)1 +
1
𝑠+1
𝑒−(𝑠+1)0 −
1
𝑠+1
𝑒−(𝑠+1)∞ +
1
𝑠+2
𝑒−(𝑠+2)1
→ −
1
𝑠+1
𝑒−(𝑠+1) +
1
𝑠+1
𝑒0 +
1
𝑠+2
𝑒−(𝑠+1)
→ −
𝒆−(𝒔+𝟏)
𝒔+𝟏
+
𝟏
𝒔+𝟏
+
𝒆−(𝒔+𝟐)
𝒔+𝟐
3) 𝒇(𝒕) = {
𝟏 𝟎 ≤ 𝒕 < 𝟏
𝒕 + 𝟐 𝒕 ≥ 𝟏
ℒ{𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
1
0
+ ∫ (𝑡 + 2)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
1
𝑢 = 𝑡 + 2 𝑣 = −
1
𝑠
𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑢 = 1 𝑑𝑡 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
→ −
𝑒−𝑠𝑡
𝑠
| 1
0
−
(𝑡+2)𝑒−𝑠𝑡
𝑠
| ∞
1
− ∫ (1𝑑𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
1
→ −
𝑒−𝑠𝑡
𝑠
| 1
0
−
(𝑡+2)𝑒−𝑠𝑡
𝑠
| ∞
1
− (∫ 1 𝑑𝑡
∞
2
) ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
1
→ −
𝑒−𝑠𝑡
𝑠
| 1
0
−
(𝑡+2)𝑒−𝑠𝑡
𝑠
| ∞
1
− (
1
𝑠
) ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
1
→ −
𝑒−𝑠𝑡
𝑠
| 1
0
−
(𝑡+2)𝑒−𝑠𝑡
𝑠
| ∞
1
−
1
𝑠2
𝑒−𝑠𝑡| ∞
1
→ −
𝑒−𝑠
𝑠
+
𝑒0
𝑠
+
(1+2)𝑒−𝑠
𝑠
−
𝑒−𝑠
𝑠2
→ −
𝑒−𝑠
𝑠
+
1
𝑠
+
3𝑒−𝑠
𝑠
−
𝑒−𝑠
𝑠2
→
𝟏 + 𝟐𝒆−𝒔
𝒔
−
𝒆−𝒔
𝒔𝟐
4) 𝒇(𝒕) = (𝒕 − 𝟐)𝟐
(𝑡 − 2)2 → 𝑡2 − 4𝑡 + 4
→ ℒ{𝑡2} − 4ℒ{𝑡} + ℒ{4}
→
2
𝑠3
− 4 ∗
1
𝑠2
+
4
𝑠
→
𝟐
𝒔𝟑
−
𝟒
𝒔𝟐
+
𝟒
𝒔
5) 𝒇(𝒕) = 𝟒𝒆𝟓𝒕 − 𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝒕
→ 4ℒ{𝑒5𝑡} − 3ℒ{sin 4𝑡}
→ 4 ∗
1
𝑠−5
− 3 ∗
4
𝑠2+16
→
𝟒
𝒔−𝟓
−
𝟏𝟐
𝒔𝟐+𝟏𝟔
II. la 𝓛−𝟏{𝒇(𝒕)} para las siguientes funciones.
1) 𝑭(𝒔) =
𝟔
𝒔−𝟐
→ ℒ−1 {
6
𝑠−2
} → 6 ∗ ℒ−1 {
1
𝑠−2
}
→ 𝟔𝒆𝟐𝒕
2) 𝑭(𝒔) =
𝟏𝟕
𝒔
−
𝟑
𝒔𝟒
+
𝟔
𝒔+𝟏𝟎
→ ℒ−1 {
17
𝑠
} − ℒ−1 {
3
𝑠4
} + 6 ∗ ℒ−1 {
1
𝑠+10
}
→ ℒ−1 {
17
𝑠
} −
1
2
∗ ℒ−1 {
3!
𝑠4
} + 6 ∗ ℒ−1 {
1
𝑠+10
}
→ 17 −
1
2
∗ 𝑡3 + 6 ∗ 𝑒−10𝑡
→ 𝟏𝟕 −
𝒕𝟑
𝟐
+ 𝟔𝒆−𝟏𝟎𝒕
3) 𝑭(𝒔) =
𝟒
𝒔
+
𝟔!
𝒔𝟕
→ ℒ−1 {
4
𝑠
} + ℒ−1 {
6!
𝑠7
}
→ 𝟒 + 𝒕𝟔
4) 𝑭(𝒔) =
𝒔
𝒔𝟐+𝟐𝒔+𝟏
→
𝑠
(𝑠+1)(𝑠+1)
→
𝐴
𝑠+1
+
𝐵
(𝑠+1)2
→ 𝑠 = 𝐴(𝑠 + 1) + 𝐵
→ 𝑠 = 𝐴𝑠 + 𝐴 + 𝐵
𝐴𝑠 = 𝑠 → 𝐴 = 1
𝐴 + 𝐵 = 0 → 𝐵 = −1
→
1
𝑠+1
−
1
(𝑠+1)2
→ ℒ−1 {
1
𝑠+1
} − ℒ−1 {
1
(𝑠+1)2
}
→ ℒ−1 {
1
(𝑠+1)2
| 𝑠 − (−1) → 𝑠}
→ ℒ−1 {
1
𝑠+1
} − ℒ−1 {
1
𝑠2
}
→ 𝑒𝑡 − 𝑡 ∗ 𝑒−𝑡
→ 𝒆𝒕 − 𝒕𝒆−𝒕
5) 𝑭(𝒔) =
𝟓𝒔𝟐+𝟑𝟒𝒔+𝟓𝟑
(𝒔+𝟑)𝟐(𝒔+𝟏)
→
5𝑠2+34𝑠+53
(𝑠+3)2(𝑠+1)
→
𝐴
𝑠+3
+
𝐵
(𝑠+3)2
+
𝐶
𝑠+1
→ 5𝑠2 + 34𝑠 + 53 = 𝐴[(𝑠 + 3)(𝑠 + 1)] + 𝐵(𝑠 + 1) + 𝐶[(𝑠 + 3)(𝑠 + 3)]
→ 5𝑠2 + 34𝑠 + 53 = 𝐴[𝑠2 + 4𝑠 + 3] + 𝐵(𝑠 + 1) + 𝐶[𝑠2 + 6𝑠 + 9]
𝐴 + 0 + 𝐶 = 5
4𝐴 + 𝐵 + 6𝐶 = 34
3𝐴 + 𝐵 + 9𝐶 = 53
→ [
1 0 1
4 1 6
3 1 9
5
34
53
] → [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−1
2
6
]
→ −
1
𝑠+3
+
2
(𝑠+3)2
+
6
𝑠+1
→ −ℒ−1 {
1
𝑠+3
} + 2 ∗ ℒ−1 {
1
(𝑠+3)2
} + 6 ∗ ℒ−1 {
1
𝑠+1
}
→ ℒ−1 {
1
(𝑠+3)2
| 𝑠 − (−3) → 𝑠}
→ −ℒ−1 {
1
𝑠+3
} + 2 ∗ ℒ−1 {
1
𝑠2
} + 6 ∗ ℒ−1 {
1
𝑠+1
}
→ −𝑒−3𝑡 + 2 ∗ 𝑡 ∗ 𝑒−𝑡 + 6 ∗ 𝑒−𝑡
→ −𝒆−𝟑𝒕 + 𝟐𝒕𝒆−𝟑𝒕 + 𝟔𝒆−𝒕
