formulas metodos simples Newton Cotes

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Métodos Simples De Newton-Cotes 
• Trapecio 𝑵 = 𝟏 
• Simpson 
𝟏
𝟑
 𝑵 = 𝟐 
• Simpson 
𝟑
𝟖
 𝑵 = 𝟐 
 
Método De Trapecio 
Se hace uso solo de dos puntos y no suele ser tan exacto como los otros dos 
métodos. 
 
 
 
 
𝒉 = 𝒃 − 𝒂 = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 → 𝑫𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒂𝒃𝒄𝒊𝒔𝒂𝒔 
∫ [𝒂𝟎 + 𝒂𝟏(𝒙 − 𝒙𝟎)]𝒅𝒙 → 𝑹𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏
𝒙𝟏
𝒙𝟎
 
= 𝒂𝟎𝒙 + 𝒂𝟏 (
𝒙𝟐
𝟐
− 𝒙𝟎𝒙) |
𝒙 = 𝒙𝟏
𝒙 = 𝒙𝟎
 
= 𝒂𝟎(𝒙𝟏 − 𝒙𝟎) + 𝒂𝟏 [(
𝒙𝟏
𝟐 − 𝒙𝟎
𝟐
𝟐
) − 𝒙𝟎(𝒙𝟏 − 𝒙𝟎)] 
= 𝒂𝟎(𝒙𝟏 − 𝒙𝟎) + 𝒂𝟏 [
(𝒙𝟏 − 𝒙𝟎)(𝒙𝟏 + 𝒙𝟎)
𝟐
− 𝒙𝟎(𝒙𝟏 − 𝒙𝟎)] 
= (𝒙𝟏 − 𝒙𝟎) [𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 (
𝒙𝟏 + 𝒙𝟎
𝟐
− 𝒙𝟎)] 
= (𝒙𝟏 − 𝒙𝟎) [𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 (
𝒙𝟏 − 𝒙𝟎
𝟐
)] 
= (𝒙𝟏 − 𝒙𝟎) [𝒇(𝒙𝟎) +
𝒇(𝒙𝟏) − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒙𝟏 − 𝒙𝟎
(
𝒙𝟏 − 𝒙𝟎
𝟐
)] 
𝒙 𝒇(𝒙) 
𝑿𝟎 𝒇(𝒙𝟎) 
𝑿𝟏 𝒇(𝒙𝟏) 
= (𝒙𝟏 − 𝒙𝟎) [𝒇(𝒙𝟎) +
𝒇(𝒙𝟏) − 𝒇(𝒙𝟎)
𝟐
] 
= (𝒙𝟏 − 𝒙𝟎) [
𝒇(𝒙𝟎) + 𝒇(𝒙𝟏)
𝟐
] 
= (
𝒙𝟏 − 𝒙𝟎
𝟐
) [𝒇(𝒙𝟎) + 𝒇(𝒙𝟏)] 
≈ (
𝒉
𝟐
) [𝒇(𝒙𝟎) + 𝒇(𝒙𝟏)] 
 
Método Simpson 
𝟏
𝟑
 
∫ [𝒂𝟎 + 𝒂𝟏(𝒙 − 𝒙𝟎) + 𝒂𝟐(𝒙 − 𝒙𝟎)(𝒙 − 𝒙𝟏)]𝒅𝒙
𝒙𝟐
𝒙𝟎
 
𝑨 ≈
𝒉
𝟑
[𝒇(𝒙𝟎) + 𝟒𝒇(𝒙𝟏) + 𝒇(𝒙𝟐)] 
𝒉 =
𝒃 − 𝒂
𝟐
 
 
 
 
Método Simpson 
𝟑
𝟖
 
∫ 𝒑𝟑(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒂
= ∫ 𝒑𝟑(𝒙)𝒅𝒙
𝒙𝟑
𝒙𝟎
 
𝑨 ≈
𝟑
𝟖
𝒉[𝒇(𝒙𝟎) + 𝟑𝒇(𝒙𝟏) + 𝟑𝒇(𝒙𝟐) + 𝒇(𝒙𝟑)] 
𝒉 =
𝒃 − 𝒂
𝟑
 
 
 
𝒙 𝒇(𝒙) 
𝑿𝟎 𝒇(𝒙𝟎) 
𝑿𝟏 𝒇(𝒙𝟏) 
𝑿𝟐 𝒇(𝒙𝟐) 
𝒙 𝒇(𝒙) 
𝑿𝟎 𝒇(𝒙𝟎) 
𝑿𝟏 𝒇(𝒙𝟏) 
𝑿𝟐 𝒇(𝒙𝟐) 
𝑿𝟑 𝒇(𝒙𝟑) 
 
EJEMPLO 
𝒇(𝒙) = 𝟎. 𝟐 + 𝟐𝟓𝒙 − 𝟐𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟔𝟕𝟓𝒙𝟑 − 𝟗𝟎𝟎𝒙𝟒 + 𝟒𝟎𝟎𝒙𝟓 
Desde 𝒂 = 𝟎 hasta 𝒃 = 𝟎. 𝟖. Recuerde que el valor de la integral se puede 
determinar en forma analítica y es 𝟏. 𝟔𝟒𝟎𝟓𝟑𝟑 
∫ (𝟎. 𝟐 + 𝟐𝟓𝒙 − 𝟐𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟔𝟕𝟓𝒙𝟑 − 𝟗𝟎𝟎𝒙𝟒 + 𝟒𝟎𝟎𝒙𝟓)
𝒃
𝒂
𝒅𝒙 
 
Con Método De Trapecio 
 
 
 
Ahora que tenemos nuestros valores, solo es cuestión de realizar la 
sustitución en nuestra formula: 
𝑨 ≈ (
𝒉
𝟐
) [𝒇(𝒙𝟎) + 𝒇(𝒙𝟏)] =
𝟎. 𝟖
𝟐
[𝟎. 𝟐𝟎 + 𝟎. 𝟐𝟑𝟐𝟎𝟎] = 𝟎. 𝟏𝟕𝟐𝟖 
Ahora calculamos el error porcentual: 
Error EP% 
|
𝟏. 𝟔𝟒𝟎𝟓𝟑 − 𝟎. 𝟏𝟕𝟐𝟖
𝟏. 𝟎𝟒𝟎𝟓𝟑
| ∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟖𝟗. 𝟓% 
 
Con Método Simpson 1/3 
Nota: Realizamos el mismo procedimiento en la calculadora para obtener los 
valores de nuestra tabla. 
 𝒙 𝒇(𝒙) 
𝒙𝟎 𝟎 𝟎. 𝟐𝟎 
𝒙𝟏 𝟎. 𝟖 𝟎. 𝟐𝟑𝟐𝟎𝟎 
𝑨 ≈
𝒉
𝟑
[𝒇(𝒙𝟎) + 𝟒𝒇(𝒙𝟏) + 𝒇(𝒙𝟐)] 
𝑨 ≈
𝟎. 𝟒
𝟑
[𝟎. 𝟐 + 𝟒(𝟐. 𝟒𝟓𝟔𝟎𝟎) + 𝟎. 𝟐𝟑𝟐𝟎𝟎] = 𝟏. 𝟑𝟔𝟕𝟒𝟔 
𝑬𝑷% = 𝟏𝟔. 𝟔% 
 
Con Método Simpson 3/8 
𝒉 =
𝟎. 𝟖 − 𝟎
𝟑
=
𝟒
𝟏𝟓
 
𝑨 ≈
𝟑
𝟖
(
𝟒
𝟏𝟓
) [𝟎. 𝟐 + 𝟒(𝟏. 𝟒𝟑𝟐𝟕𝟐 + 𝟑. 𝟒𝟖𝟕𝟏𝟖) + 𝟎. 𝟐𝟑𝟐𝟎𝟎]
= 𝟏. 𝟔𝟐𝟑𝟒𝟔 
𝑬𝑷% = 𝟏. 𝟎𝟒% 
 
 
 
 
 
EJEMPLO 2 
Evalúe la integral de los datos tabulados a continuación, con a) la regla del 
trapecio, y b) las reglas de Simpson: 
𝒙 𝟎 𝟎. 𝟏 𝟎. 𝟐 𝟎. 𝟑 𝟎. 𝟒 𝟎. 𝟓 
𝒇(𝒙) 𝟏 𝟖 𝟒 𝟑. 𝟓 𝟓 𝟏 
 
 𝒙 𝒇(𝒙) 
𝒙𝟎 𝟎 𝟎. 𝟐 
𝒙𝟏 𝟎. 𝟒 𝟐. 𝟒𝟓𝟔𝟎𝟎 
𝒙𝟐 𝟎. 𝟖 𝟎. 𝟐𝟑𝟐𝟎𝟎 
 𝒙 𝒇(𝒙) 
𝒙𝟎 𝟎 𝟎. 𝟐 
𝒙𝟏 𝟒
𝟏𝟓
 
𝟏. 𝟒𝟑𝟐𝟕𝟐 
𝒙𝟐 𝟖
𝟏𝟓
 
𝟑. 𝟒𝟖𝟕𝟏𝟖 
𝒙𝟑 𝟎. 𝟖 𝟎. 𝟐𝟑𝟐𝟎𝟎 
𝒉 = 𝟎. 𝟏 → 𝑬𝒔𝒕𝒐 𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 
 
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝟎.𝟐
𝟎.𝟏
= 𝒏 = 𝟏 
𝑨 ≈
𝟎. 𝟏
𝟐
[𝟖 + 𝟒] = 𝟎. 𝟔 
 
∫ 𝒇(𝒙)
𝟎.𝟑
𝟎.𝟏
𝒅𝒙 = 𝒏 = 𝟐 
𝑨 ≈
𝟎. 𝟏
𝟑
[𝟖 + 𝟒(𝟒) + 𝟑. 𝟓] = 𝟏. 𝟑𝟕𝟓 
 
 
∫ 𝒇(𝒙)
𝟎.𝟑
𝟎.𝟏
𝒅𝒙 = 𝒏 = 𝟑 
𝑨 ≈
𝟑(𝟎. 𝟏)
𝟖
[𝟏 + 𝟑(𝟖 + 𝟒) + 𝟑. 𝟓] = 𝟏. . 𝟓𝟏𝟖𝟕𝟓 
 
𝒙 𝒇(𝒙) 
𝟎. 𝟏 𝟖 
𝟎. 𝟐 𝟒 
𝒙 𝒇(𝒙) 
𝟎. 𝟏 𝟖 
𝟎. 𝟐 𝟒 
𝟎. 𝟑 𝟑. 𝟓 
𝒙 𝒇(𝒙) 
𝟎 𝟏 
𝟎. 𝟏 𝟖 
𝟎. 𝟐 𝟒 
𝟎. 𝟑 𝟑. 𝟓