Matrices y determinantes

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Ó. \o= eje.*np\os qntgrrtre¡ o\o"ervo,-r.no= .r[¡o *o1 íbnporl....te
Lo *,i\tip\f ..i.iJ.r d" . otrices vro es conrnutaliva ; A B + BA. r
Cen esto corr.s'.J.".ociÁ tene.rno-s 
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e. ( A +$"+ ¡'+ zAg* 
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Dil.re-r.., os e.nLre- lo. oPe.rdcio"r*s con *l**erór y ¿c>rr wt.rtvi¿e-s
i) si arbeiR;c + db=borp.., F*o^\a-. r*ro.tric-es AB+BA
ii) Si arbe iRá A 1 d.#o t/o l, to +.rt*o,, pero pG.rA \os "*..^trices ft+O r
B+O áAB=0 er.o\¡ü,.órc4só5 ta¡\ ,.a A, ,)
E.¡.*pioi A= (:;)"+ A,r. r B= (:l)n (Z:),* \ AB=(L:X""?)'
jii) Poro cr*o exisLe * ) Fqro-\o.* r*.otrices no eXiste iq áivjslJn"
R* p, eAo.ü.s J' \a n^..r\
i) G B)c = A (BC)
ii) A(e+c) = AB+A
tip\i..rciot'.
esoci * ti vjá"d
c ái =tr i L"t. v,áoJ
i\i) .AB=A.B= AB., los n('"'e't*' to> pueá..s ca'rnbíar á. tu¿¿rY €n 1o. *.lltip)i"o.
N.>f.r ln\Ly impovta^Le
f sto*^os *^.i oco.t**b"oJ* o calrrrbior, írncoocien!e'ure"t]'e, 
e\ 6'ü'-"' o\ L'o.-*t nr¡'estrq's
oper*ciontss graci.rs c. \o co*t,r*.*¡-obi'riú¿ 'J- \o= trüt 
etd'*.-cr\* ' ls t<:onrfn e'ue
hc,rq.r**^.<zs .r Lb+c): ta¡- cd2 o ¡6a\qruíer o{'o o*Áe^; PeYc2 *^ \^s 
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Lq nnr{vi¿ iá.nt\á*J e=s ne..r}ra e* \.r rn..r.\tip\ícaciol",
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La "r..qtria \J..'tiáoá p\Aede con rnutclr ".,, \.r. r,rr,.l.\[i p\icociok
4..*,, Trn = I* Ar.*r, = A^*o
F..Lri¿"rcíJ., Áe ey. pr€-s\ovre-s ....*tr i ci <r\es
i) 5i t"".**..o5 A B+ A C se {o.{oci e.r corno A ( B n C)t resgefo"Ao e'\ o"áe''"
fi) bA+cA = ( B+C)A rcsPeL.'*á' e\ o'Ae'^
iii) A B + CA yxo 5e p üe.Je $*.totízar po,ts" A *n 'sfá nnu\*rp\i'o^Jo 
J'\
r,risrno \oáo '
iu) ¡7n, er*"r su1 {**..^**Le o\ l,*.t*rilo-* es\o AB+SA', es'ritit A(g +3\t
Tac*e.r&a t\re. p..ro. o,..ulf\p\ic.ar y s\ryr^d.( *t.*{rices á.be"', sr.tis(t\cer ciettos
tt*oño: , 3 1" p.áe-*os cons',á='*tt áe }at'lo'ño lxt '
A,.*n 8,.,*n t- J AnÉ\ = Ar.x^ (8,.,**+ 3,,^, ) ^o f iene se"'tiJo'
Lo c'tre.cts es AB+3A = A ig+34)
A*.*^ Br,*,. {-i AnÉn : Anx{ { 8^*^+3T".) -í tie'oe =.-^!iAo.
l{.{tri cer 1 Je.te.rwrincrntesT-;* 6
lt{eitf' ¿ i^ue-rsa I s\rs progi.,JoJe.
D.{\".i.iJ^; P*ro u.,"* rr.ol.í? 4.,*. sü vvtc¡frie iut,ver=o ** á."^.o'1."^ pu. At-
'i .s to\ t^e /1A-r= A-h = f Lcr n^o.tr,¿ ínV¿rrs¿r. t?**e fre,{',*".opo.<.Én
cb"rr'vvrrl\ar "o \*r rr..,¿itiylísaqiel^. N* toJ.¡s \.rs *,..ottíces A^*. tierren invers"r.
Cá\t"\" ü' \o t ..triz í^ve*sa., e xc\,rsivc*.ry\.rn-Le J. bo*oñ.o zx?,
seq A =(:5 I . sí e\ ^(.,o.., *J-L. f o, rLue Jesp*ds ,.re-r€\rnos que e-s el
*.t*t*?n."*Le J. 4 ent*n¿e-s A tie',.e r".vers1 y se qo\c*\* eow\e
A--L j f ¿-b\t\ oJ-bt \-' "J
Eje-mpto : Poro A = G-;) Le,"e *.\es ryu(e 4t'sl- lL-ti = 14 ** + ,A-'.xis**
A-' =# ( : ; ) ü F,á*'*o-s verisi¿o.r ?*n A-*A = * (:,t[i-r' ) = ( J .")
y AA-1= {: ;).k, t:,;) =,0, á';)(:,1 ) = ( : ; }
Pr.O i e-§oJes J. \a invevso*
"t) (¿-')-'=A ,;) (.A)-'=:A-'rc+o ri;; (ngf'=ú'A-'
f"**o 1*e- \o. '.',rltip\ico-".tá te- A1 A-'=u-o. \a no".tyi ¿ iJe.^ltJal ,." d*b* i,'.,Ltrpo-
^e.rse 
v.o.J.r .'..\.u .\L*¡j¿j.-v{f \" : AlSA'^+ 13 L= B.
^ ,i {r . ^ ,A'"\Ej"*^proi Povo A= {iL) tu,-.e.-''".os,y.,.u A-'= ( i-;). L*e3., Fof,rr B=(i ;)
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cov\.,rerLi"lo e^ .r-ñ pivote w\i rruevc piv,{e
-1Rs t I -z -s\ -1 c o\zRz+R, /10-{l-, o -1r-{R3*Rt¡it i: { ; O I I o "-, ]-:'"' / " t rloo-t \,- (oo\o; ei .-t4l- \o" tle-rz+ / \'-tEslo: será.n ""ü f ivo{es ' "", A i.{ ho."J O t"ciq, qtrita d
Cát"*\o to \q ,r.".tri¿ inVersa "r.e.Ii*rrl" operociornres 
q-\qyy\*^to l.es
Lq iJe-.r* "S ..\o.c'" 
jo*.tas o. \",.s'. ot*i.es A -lL Y ho..*'* §Fer§c\ovres r¡\ewte'^{"''le=
pdyá "\\^ve{ti. e\ o.}l* ( A I r ) -' . ., - ( I i A'), áel. 1 oao üe.rerho 1,reá*"á A-l
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-1--r^.1 6 l'\qtric=s ,¡ Jeter*.inontes '
6. á te-te.tv*in.",n-\e &e ,r*.or- matti¿
Ds$ i .¡i ciún no Sovrna[ '
P¿""o uv.a v...tyiz An-xr, s.t dete<rni.r.oote .t urr nlvrr.ero t'¡e se \e así,1na .,ne.Áia*te
.^r, .n {I oJo á¿s.ri }o o. co^L i n*raciá,
N.l,o.(n'^ ; Po<.,. áenotror el ü"te"r.",i"..***e áe 4 \o ¡ooáe.^ot \'*tet covNo
JeL(A)=lAI s cotuc-o.oAo entre. \l^** ve{ti¿o\e.s \os.e.\-.n^e.t\os deA'
C á \..t\o ü* &e-t"-r *t\*'^"{es
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ur.o rr..qtri¿ t** {no Z*z
si A=[:l) ,e.ntsnce-s ¿*.,o1 = tA,= l:l I= aJ.-bc. ]:;:::
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Utq * c\ttie A*r*'. tí"te na*ottíc,e-< rneY\c,re<
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E¡emp\o: Pa'* A'(Í I l- ) 
so Ae-L..r*ino'^te.e
lnl= f {r-t)(o)(-12)+ ( t-z)t-t)s) + (z1)b)) - (o(o,
: *(o) + lr)+ (o) -(o)-(1) - t4) = 6-1-4 = 7.
7
l"*o e
E¡e"np\o: P.rv.t \q *o"tri¿
l"'1 crtrí.g; 1 jg{sry*.i.,.rr teS
a\3*nos áe sr.,s; y\ueve rme*.§\re-s son,i
coYv\o e\ nü\ñr\era ?t;
Y\ueve ce*act,ore-s
¡-L
A=l *,l,o :i\-1-1 I
H",, o no.) Fl¡¡=(-Jj,)= (-: !,) t
(ot-r)-(-r)cr))=1
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D.$¡ ni eist,r ; Co{o.tu" áe u,no.,n crtri z
Po** o*q ,,oalria 4.,.¡", detinimos e\ *o{*ctor ij
Untr "*..rlri¿ Anr,r. \i"rna ,'co{act.r<s
'Eje-mp\,: p".,o A =l:tr"ri ) .*\.,^\synos 3u5
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Debe*os sr¡'wta'f "oáo
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E¡..,,.p\o: P.\ro \. *,...ttri¿ A=l -:: i I c.^\c-.^\o're..,'-s u,, á¿ler*inonte\ o -t-t )
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Co^ e( p*iwret re".¡\1,. t lA['= -tCrt + 2C1 ,+ 3C1s= -{ ('t ) +z (,-2,\+ 3dz\. i-
Cs^ \q Ierc-e.¡o. cot.¡,',.n"r: lA t = 3C ¡t l4 Czs -t Czs= 3 ( z¡ +t(-t)- 1(4) = L
-fií ernpr e- obt ev.Ave.yv\os e.\ 
*i\ s yv\o ve¡u\boáo , in f "nporlor 1"1 
t'^5\5n o c.*\o'*"''t
r -ls5e L\t t \tgg
Arfe.s J.s. y¿v \as pro toieloÁ*s áe \o-" áe-tq**i*o,...f 
eJ v ecrvy\oJ otros te-v'.a"s
pó"f a áesp."ás k".\..r *^* c6v.^L\^ocül dt p"opi-ÁaÁes'
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H.¡.trf-es I áe\e.nirnor.\esTe'n.r"r 6
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D.fi",i ciol : h4 o'lri ¿ t"ia*.¡ur\ax 'rn{error
U*.o .'..rhi? A*.r.r. e5 *.ci**t.r\o"'r".{e.\o< ó \ Oij _- o si
Lo Tot 'no. áe- rrnq. vv\qtriz lricrnf.\[o.r \r.{erior e-r;
o= (; :) , o- (-; i: I , A:( il;; ) , erc'-4 s s e I
Propit&od i 5i An*n \ B"rx,. sonfrio..,,r,q",.\ores i..{eJroxes
.l \os e\eerre.¡.tos de \a üic¡on..\ princi Ool =o^r r?spe.tivo.
Eje"^¡,ror ( i:X; 4" ) = ( ll-:i :,,::l ;::li,?;, ) =
6,4 I{ orlr i .es t'i a..¡.r\.lres
.i}e$inicil^ '" H.rlri a trio,,.¡,r\ov s*r.perior
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l't í' eje'rnp\os Je **ql'ices aidb-*o\*r so", 0r= (: :) , T.= (l i) , o"., 1*,
P""'ieá.^A: ti A \Bst'l w,ttltice.s áiuqorro\es tc*r*biá lo esABr \os e-\e*,..e,.,.",*o¡
á.*. sq üiu-qovro\ prir,cipot sBV\ d,, t ,, rtorrLzz) -.2 A." br,,o respe.Livq"*-..te.
E;'2.*n¡re ; (: i)t: no )= {',i-iii'j,], 'i?l,ri}r,)= rz" ri'^, )= (-o'r,).
R"fte,áoJi i) La s\^yy\ct A. u*oirices lr-io.*Ju\oves 5q\oe.ri6y€-J es t*io..,.3,.r\o.* süper'ror.
ii) L^ Sqyr\cd áe n,ratric.es {vio*nX.r\*r., i,..te.ioee_< €.5 Lxio*.gu\or'l*.te.ior,
iii ) ¡c\ suy\o. &r *r.cr|'ices Aio¡onc\es es üicr3or.o(.
Nolc" A\ üec\r \"r s..'*r,¿¡áe- rr^-"rlrices, e*.t*oáevnos tr.eso,,rráe\",,,iswr.,tor^oño.
D-Si níc(J.^'" Trc¿c,. áe un.r ,"rr.rt.,.ie
Poto \lY\o. rn*triz A,-\n^ Áeli.,irlnoJ \ áe-,r1ot,1*(>. \.,.t-oaqáe *r,.¿\.o..a{r.rz coynd
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De.S',.nrcio'*: Po*o unr rr...,.I"í¿ Anryy\ J-*{itti\¡r\§, sq**L"ie sLL ' ttiz
trawrPüesto á.*oloo\a por ÁI^*. á.e ta.w.a.ñs rc'nx". Er,^e -se obfie""'e-.r\
co11{e-ttit \o-t "*^3\ones á" A e\ c§\*r,,".,..r.^-s d* Af.
Ejernp\o; A=(:r-;;)r*= +At=( -.1 i)r*.
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Pr"¡i.á*á.' á. lo t.o'..,pos i.,'o'* NJol* 
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d.r= O.*r=-Z o Po/1,,. fl ¡
m o|.i z, ento wc *, * + AT -t s i *.",átr{.a.
.¡n'.,triz/ evrtor..es A^*r^ Al,rn €.s üncr. *notriz si*..át i.r,
'"".a\rie, q,.,Lev\ces At**^ Andm e§ uY\o' o^aboi¿ si*tá{titt'
u =V:; i "' 'i*^lti'.". Perl'\re
1o" Ar=A-
Ej ernp\o s :
Poá-*, áec\r tüe €-Y\ \o di'¡o^l) f i^l'F:t, l:r'-cue\e-:ry'ri¿ra 
¡1(r¡Q'ros Y ?ue ástq
si r*e. cow\o un esPeio ?" vet\eio' 
* \os devnqs '
¡rt á¿eáo pa"ra ."'.strui.r una vno.tr(¿ si*...átr(c* .t yar[í* Ae-.o".\E-ure< rncrtri¿.
i) 5t Anx^ e:.oa\1'¡1"'
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És r^á Tá.1\ ver ?re uY\ó' vt tvi¿ es o''lisir..'á'lt'ica 
si AT:-A'
E¡e.,",¡\oÍ A= (_'- i ) ¿5 o1,^.lisirnét.i..', 
O§servo ?o'4rz=1 \ dz,=-1
,o o Qlo = - Q"r - Aá;í, dn, =-d., .¡ dez = - d* se- cu'^ple tÍ\' ti a'rvba¡ 
vo\el
Ce{oe / r.' \ -
prá**os á..i. ?ue { \a Inqtri= .s ",rr\iti".,átric"^ 
sí eY\ s*AíaX.,n.,.\ p.,iv.'ci¡oo\
tiene- g'r{o5 ..loS 1 \os ü.*..1 e\g.^entoJ se' r<-t\e-¡ot' Atvncrwe..á ^e'3o'tivtr"
t{ á t¿, por{ constr.rir u'^cl *,..o1* i* a,.ti ri*.Jt"i"a. a pcrvtiv Je. .o."\ 1r"*ie.r wra{ri e
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4. Sí A es or{"¡",9.,enfoncet AT to'^biJ^ es o{to¿.,na\
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(n')tAr)*, A, frrr= A,ft=N'A=Ir
,to St A .- ort1¡So.ol , .^to^c€5 str áeterwritto'.'te vale I á =7'
Po*o- }e..\o>{,*r .sta PfoPieáoá Je.be.n,.os 
«á.\o*toI ".** propr'eJctJ c(}*bi,1.'J*
ü.\os Jeler*ino*tl":1\o lrqTspuesto-Je r¡*'cr'tt'oLtiz ; [Át[- llt'
Pu* hipll*it AT= A-t 1 AAr= T '
AAr=I :) IAA'l= tf \ + lA \lA"\= 1 + lAtlAl= L + lAl'=L
y g.^t*"".o> ?o* iL t V (-t)'= t :' lAl= I á lA\= -l É
C.,\.*\,,. to, Jetermi,."'át., Jo\os ejernr'y\os J= \'"\Lsieer orft36*.",\es
pora ftue veri$ia*e-s t.r 1u.opt-Aod 5"
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D e$\.nicit/^; D e.{ i''i*^os 1
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áe-r.sL*mos lcr !vr.*.sp*es}* 1 c.'¡.r§o&« ¿. ur^o,' wqt"ie
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Esto Ae.{i"ticiJ* ínáico. q,rra pr\w-.Evo pose.'
J"=gué-t Lrevrspovre-r\os s en e\ o.áe*r c-s
Eje*^E\o ; %*o Ar*r={1;i' ,*rrJ ,
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t. fA*)x. A - Es sbürs porle 
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4, ( AB)*=B*A* -'1-rl:lt;:
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'21*5t \
A.= [;;L-"-'^'
(A+)-L ) -. 1"^-Zt- 5, \-. 1
l'4 o lr iees herwrili o'Yrcr
De$,**.i J^ : U^o. "..alri. A^** (C ) *s he-.,n ',itia.no. sí 41 A "
áO*J{'or*otiu...e o..16..,..rtrizh<-<*nitio*o? Nu \ot{,- Perc dve.ci3üJ.o.'s\o
e n..stro..iJ. üe *v.o o.,otti z h=r..,\ti o"vrd o. pcrt \v á.e- c.,.ol1ur(er tno{r i z
Se..r. A..*^ (C) ,^r.., *.r.rfrie tuo\1.rie-ro á.l.r.vra.ño §xYl """re\et"'en{os 
en cf,
i) A+A*eE \e*milio*^
St Anx**.tc)
;i) 4,,:¡* A*^x.
iii ) AX^ *,n A ..¡ *n
es herr"n".ti*r,a J. t*,.rnoño rr:rr¡.
es her**.iSio.n* á' bo'vn*ño wrtwr
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\ e*"nilisy\a Fof ?¡e
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pr.rros ey\ §rr áio.¡"^a\ ptincipo\ y =os -\e-*e..*fo5 re{\g¿odos Ae-ber.s.v ü.
\.* $ot*.o dtbí \ -dtbi ) &Lru. lR; wrís.,,a po*te fwr*gincrria P.§u loorte
reo\ i¡u"\ e.n \¡^qlnit,-.á pero c-o.r. siSr\os ái$ete*tc,s-
M "f , i. o.,lther* tior.o.
De$ini.¡ot- : Ur.o ....,.tt'ra A"rrr,, (C ) es qnt; h."noitiqv,.r si A*= -A.
l0.^g lo."^o lr.',,e uy\cr ."r\..S. i¿ o.*LÍhevvwiti,r*.q ? To^Foc§ \o sá.
Con¡{rruc-is'^ Ae-urr..\. tnoftfz qrrt",hevmiti,r",cr o poyt\r Je cootl...lier motriz
S..t A ,.*. ( G ) un,r rr..,.tri e cu.-t\?rriera., enton"es A-A^ e5 d* t; hervt'ilio.n.t.
es ctr\t; h"r*'it¡qt
l_s
"T.**o 6 Pt.r tr i ce.5 1 áete.rrn.i.nd.v\t.€.s
%orieáo,{e.s &" \os vnc.Lr fce-s hevnri tio,rnas
il 5i A.{ E son her.*ti}io.^.o:, g-.\ornc€s A+Be.s h.ro..itic.*.o
i; ) 5í ce fi v A *= hevvniltc.nu, **r\o*,..s (-A) * hervnitiarna.
(.4)*= (;7)t-- (e Á)t= e(Á)r= éA*, csy\,\o c*fR r c=8 1 csy\.¿ A ",
=irnátrico- =¡ Ax= A :. e A^=. Au
P*o pi .dJ* Je- \o.s r,,rr.Lr'r.es cr,v,.t, S ;,tr-;
i)- 5í A1 B sD\A o..,n,{i\rrmi$,anas,,en\once.r
ii ) 5i c e lR 1 A .s .r^ tí h e< r*i {io",o, evr lo,^.c-es
I c A)&* e (A* )=á (-A) *- _ (aA) = * ("A)
A+E e-s a".li\e.v vn i Iiat',.r
(. A ) os c,.tr ti he. rnni fia'^a
po*toe c=é g
I"1otr i c.s un i Lo,,vias
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(:; )"
Propte-AoAq; Ae- las r aLr(.er r¡r^.ítaric":
1. 5í A^*,.. \ 8..*". s.'*nqni tavia:, q,ntorcrc-es AB t"^*^b,'el esunilo.ri.t.
2" L.t n"..rlc,via iáe-n\.iáoJ e: unitatiq"'
3, L.t inv.r5o Aa 9"r.o. .¡*.q[, iz uni\ar ie- ¿s vrniLari".
4, Si A*'x^ e--s t.rntLcxriorentov\c-es lAt=15 lA\=-L"
l{
\ o 1r^" co^ f o*no5 con
A. p 'o pi a&o.).es / pos
A=
A=l(a+{
*.á, áe(i",i cio*e¡
e-Etát r**ot wto't
l-4 *L r ic-eJ 1 áete.rw"i no.n\e:
uno* r'"ra,\ri¿ si*nátic,a. 1 rrrna. wrotvr¿
mo-}ri ¿ cor^ [*, (l' w,o\o: A+"At, A'A',
( * -a')
he, or,.i{,ur.o
1 L.o"lcll{e¡res<rrroi q Loeet *no \ist"'
ti" ', todo¡.
T"*.; 6
Ah"t'cr ?ue )q sqbey,'§.s.l^o consty.rir
**{i s ivnÉty icc q p crr l\r á. .,r.*\Suie(
ha5"*'ro5.\ siSu\e*fe eh.^nciJo 
'\
To üo r^.r\r\ ¿ cud.dr.Áq A ,.*.n y.rede el pr esdú se cor*o [q s.*o,"a Je- uvro
tnnqtvi¿ sI*éI'\.o '*l-' **^o *orv\ z oo'iisiw'Ét'i"o u"' lut4ot*na
ttn+A')nL
. E;**p\".'
(.":)= uL( L-:)r(:-:)J - ,Ltr,-!)-r-?)
| + -n\ =, t !o,-,L) - i (", -j ) = (i-; ) - (",-:)[z 6l '\ 
simáü'ico *'tisi*Étt""o
Er.rl-or^cÉs tavortiá p-Aqvne5 \o.** \o, * isvr^o t6!A uY\o-t'^ot,-iz
.l \ln"t o.rti he*,rn(tia^L
) +* (n-A*)"
11
&
Ter** I I"1crt xice.: .¡ J .t.r r'nino.v,tes
Re.o"á.mos lo..: ."¡sevo.cio.ne9 elev,^enbo\es ".^ 
\os ven3lonen Je un.' vntotri¿
i) I'4u\tip\icor u\y\ re^¡\j. por ct'o. Co^.sto opeyo.i,l^, e.\ Jete¡r^¡¡,,66n\e {.o.r.b,'á
,* or,u\|ipli Lü poy 3 L T.^mbi".^ s.l..sle si \o'ho..."*.á -^ \os ro\.nooo,.* )
A = (2 il á lA t=A(5)-srz)=\A , A =(\:)* ¡2i,) * \:,'.i. zs'-rlA
ií) t"t¿¡crrr.,bi*r áe lo¡o" &o: venS[ones. P". co}o co...r.bi., üe {enSlone-s e.\ de-t¿t**nino'*{
cowlL"io. áe- s'r3no
14. I ad¡ (.A) I= I nrn-
,ls. (A")-! {n-'¡-
1(. [" ( AtB)=
tr, ( A) +tr t B)'
{?. t" (.A)=ct. (A'
tB. Hul iwrP"*t''ot'
- l4,t cttz"'Cttn
S i Ar l 0r. qr.... Q¿^
\ o o o' ota"' cl"r- ot'nr
5"
é"
+,
8"
A = ( nY «' ti ;1 1 Vnu,\,:rz) -415)=-\\=-tA(.
-i-c¡.v'oUi./. 5,rc.J= \o m\s..,rro =i l. h*".*..* g¡ \o: co\.xvc"no's'
iii) 5,¡,,^not\e .,. ur^ renq(J^ r^n rnút+iOt, áe- otro ve'rgllnn"
I'lo cdrnLio t\ J'Jl.rvnir,,o*te
A = ( i;)::0. (Í x) 5.*0, (;i 1 ) ^,.".
drt = t4 Aet = 14 J¿t = t4
h4 l, P*o Pi uá'Je' :'
,r. I 4'l=.i A,
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