Espacio vectorial

Vista previa del material en texto

Espacio vectorial 
 
Definición: Sea (K,+,•) un campo con sus operaciones habituales 
de suma de escalares + y multiplicación de escalares • y un 
conjunto de vectores V con sus operaciones de suma de vectores 
⨁ y multiplicación escalar ʘ 
 
 
Decimos que V es un espacio vectorial definido sobre el 
campo K si se satisfacen las diez condiciones siguientes: 
 
1. Cerradura de la adición de vectores en V 
 
u ⨁ v є V, ᵾ u, v є V 
 
2. Asociatividad de la adición de vectores en V 
 
( u ⨁ v ) ⨁ w = u ⨁ ( v ⨁ w ), ᵾ u, v , w є V 
 
3. Existencia del vector cero o vector neutro en V 
 
Existe Ō є V tal que ō ⨁ u = u ⨁ ō = u, ᵾ u є V 
 
4. Existencia de los inversos en V 
 
Para cada vector u є V existe inv(u) є V tal que 
u ⨁ inv(u) = inv(u) ⨁ u = ō 
 
5. Conmutatividad de la adición de vectores 
 
u ⨁ v = v ⨁ u ᵾ u, v є V 
 
6. Cerradura de la multiplicación escalar, siempre en el orden 
(escalar)(vector) 
 
cʘu є V, ᵾ c є K, ᵾ u є V 
 
7. Distribución de la multiplicación de escalares sobre la 
multiplicación escalar 
 
(a•b) ʘ u = a ʘ (bʘu), ᵾ a, b є K, ᵾ u є V 
 
8. Distribución de la multiplicación escalar sobre la suma de 
vectores 
 
cʘ( u ⨁ v ) = ( cʘu ) ⨁ ( cʘ v ), ᵾ c є K, ᵾ u, v є V 
 
9. Distribución de la suma de escalares sobre la multiplicación 
escalar 
 
(a+b)ʘu = ( aʘu ) ⨁ ( bʘu ), ᵾ a,b є K, ᵾ u є V 
 
10. Existencia del escalar neutro para la multiplicación escalar 
 
1 ʘ u = u, 1 є K, ᵾ u є V