Semana 7 1 CONJUNTO LI Y LD

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SEMANA 11: DEPENDENCIA E 
INDEPENDENCIA LINEAL
BASES – DIMENSIÓN
Sean v1, v2, … , vn , vectores de un espacio vectorial V .
Entonces se dice que los vectores son linealmente
independientes si :
α1v1 + α2v2 +⋯+ αnvn = 0 → αi = 0 , i = 1,2, … , n
INDEPENDENCIA LINEAL
Sean v1, v2, … , vn, vectores de un espacio vectorial V. Entonces
se dice que los vectores son linealmente dependiente si existen
escalares α1, α2, … , αn no todos ceros tales que
α1v1 + α2v2 +⋯+ αnvn = 0
DEPENDENCIA LINEAL
Ejemplo 1
Resolución: 
𝛼1 1,1,2 + 𝛼2 1,2,2 + 𝛼3 2,1,4 = 0,0,0
𝛼1 + 𝛼2 + 2𝛼3, 𝛼1 + 2𝛼2 + 𝛼3, 2𝛼1 + 2𝛼2 + 4𝛼3 = 0,0,0
Podemos expresarlo como un sistema de ecuaciones
ቐ
𝛼1 + 𝛼2 + 2𝛼3 = 0
𝛼1 + 2𝛼2 + 𝛼3 = 0
2𝛼1 + 2𝛼2 + 4𝛼3 = 0
Analice si el conjunto dado es un conjunto de vectores L.I o L.D.
A= 1,1,2 ; 1,2,2 ; (2,1,4)
Notemos 𝛼2 = 𝛼3.
Por lo tanto, A es un conjunto de vectores L.D.
Ejemplo 2
Resolución: Plantearemos la siguiente ecuación
𝛼1
1 1
0 0
+ 𝛼2
1 0
0 1
=
0 0
0 0
𝛼1 + 𝛼2 𝛼1
0 𝛼2
=
0 0
0 0
Podemos expresarlo como un sistema de ecuaciones 
𝛼1 + 𝛼2 = 0
𝛼1 = 0
0 = 0
𝛼2 = 0
Analice si el conjunto dado es un conjunto de vectores L.I o L.D.
A=
1 1
0 0
;
1 0
0 1
En este caso, de la ecuación podemos observar que la única solución para el
sistema es 𝛼1 = 𝛼2 = 0. Por lo tanto, A es un conjunto de vectores L.I.
𝐵 = 3;−2; 4 , −1: 2;−1 , 1; 2; 1
Ejemplo 3
Analice si el conjunto dado es un conjunto de vectores L.I o L.D.
Teorema
Sea A = {v1, v2, … , vn}, A ⊂ ℝn. Se dice que A es un conjunto de
vectores linealmente independiente sí y sólo si el determinante de
la matriz cuyas columnas son los vectores v1, v2, … , vn es diferente
de 0.
INDEPENDENCIA LINEAL
• Si el vector cero pertenece a un conjunto de vectores, el
conjunto es Linealmente Dependiente.
• Si en un conjunto de vectores uno de ellos es múltiplo escalar
de otro, el conjunto es Linealmente Dependiente.
Propiedades:
En efecto:
𝛼1 + 𝛼2 + 2𝛼3, 𝛼1 + 2𝛼2 + 𝛼3, 2𝛼1 + 2𝛼2 + 4𝛼3 = 0,0,0
Expresando como un sistema de ecuaciones:
ቐ
𝛼1 + 𝛼2 + 2𝛼3 = 0
𝛼1 + 2𝛼2 + 𝛼3 = 0
2𝛼1 + 2𝛼2 + 4𝛼3 = 0
El conjunto A= 1,1,2 ; 1,2,2 ; (2,1,4) ⊂ ℝ3es un conjunto L.D.
Ejemplo 4: 
𝛼1 1,1,2 + 𝛼2 1,2,2 + 𝛼3 2,1,4 = 0,0,0
↔
1
1
2
1
2
2
2
1
4
= 0
Ejemplo 5
Resolución: Como el conjunto de vectores A está contenido en
ℝ3 y tiene tres elementos, solo necesitamos el valor del
determinante “formado” por los vectores de A.
Por teorema, A es un conjunto de vectores L.I.
Analice si el conjunto dado es un conjunto de vectores L.I o L.D.
A=
1
4
−2
;
−2
0
1
;
−2
7
5
1 −2 −2
4 0 7
−2 1 5
= 53 ≠ 0
BASE
Un conjunto de vectores A = {v1, v2, … , vn} es base de un Espacio
Vectorial V, si:
• A es un conjunto de vectores linealmente independientes.
• A genera a V
Nota: Si A = {v1, v2, … , vn} es una base para un espacio
vectorial 𝑉, entonces cualquier vector 𝑣 ∈ 𝑉 se puede escribir,
de forma única, como combinación lineal de los vectores
v1, v2, … , vn
¿Cuántas bases puedo encontrar para un mismo espacio
vectorial real?
INFINITAS!!
Dado el conjunto: 𝐶 = 2; 1 , 4; 3 , 7;−3 . 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 ℝ2
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Resolución: Reescribiremos al conjunto 𝑉. Sean x = 𝛼 y y = 𝛽, 
entonces z = −𝛼 − 𝛽 y 
Determine una base para el subespacio vectorial de ℝ3
𝑉 =
𝑥
𝑦
𝑧
: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑉 =
𝛼
𝛽
−𝛼 − 𝛽
: 𝛼 + 𝛽 + −𝛼 − 𝛽 = 0
𝑉 =
𝛼
𝛽
−𝛼 − 𝛽
: 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ
𝑉 = 𝛼
1
0
−1
+ 𝛽
0
1
−1
: 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ
𝑉 = 𝑔𝑒𝑛
1
0
−1
;
0
1
−1
DIMENSIÓN
Si el espacio vectorial V tiene una base con un número finito de elementos, 
entonces la dimensión de V es el número de vectores que tiene la base.
En el ejemplo anterior determinamos que 
1
0
−1
;
0
1
−1
es una base para 
𝑉 =
𝑥
𝑦
𝑧
: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 . Como 
1
0
−1
;
0
1
−1
tiene dos elementos, 
entonces la dimensión del subespacio vectorial 𝑉 es 2
𝐷𝑖𝑚 𝑉 = 2
Ejemplo 8