Modelo de 2do Parcial

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Actividad de repaso del segundo parcial 
 
Teoremas 
 
1. Enunciar el teorema de Rolle. Demostrar que la siguiente función 
23:[ , ] [0,1] / ( )
2 2
f f x sen x

   cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo 
que está definida. Hallar los puntos c del teorema y graficar indicando la interpretación 
geométrica. 
 
2. a) Encontrar los parámetros a y b que hacen que la siguiente función cumpla con las 
hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [-1,3]:
3
2
(1/ 3) 2
: / ( )
2
x x
f R R f x
ax b x
 
  
 
 . 
b) Para los valores hallados en el ítem anterior, calcular el o los puntos c de dicho 
teorema. Realizar un gráfico mostrando la interpretación geométrica 
 
L´Hopital 
 
1. Demostrar que 1))((lim
0


x
x
axtg para cualquier valor de a real positivo. 
 
2. ¿Cómo deben ser a b c lim f x siendo f x
e bx c
xx
ax
, , / ( ) ( )  
 
0
22 ? 
 
Estudio de funciones 
3. a) Dada la función 
2
2
)1(
2
)(/:



x
xx
xfRDf f Hallar: dominio e imagen, intervalos 
de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos y absolutos. 
 
b) Estudiar los intervalos de concavidad, puntos de inflexión y gráfico aproximado 
(considerar que tiene una asíntota vertical en x = 1 y una horizontal en y = -1) de la función 
del ítem a). 
 
4. Sea xexxf  )1()( 2 . Hallar: dominio, hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento, 
máximos y mínimos relativos y absolutos, conjunto imagen. Esbozar un gráfico de f sabiendo 
que y = 0 es asíntota horizontal del lado derecho. 
 
5. Determina a, b, c de modo que 223  cxbxaxy tenga un punto de inflexión en 
(-2; 6) y por tangente a 8 10 0x y   en ese mismo punto. 
 
Problemas de optimización 
 
6. Demostrar que el rectángulo de perímetro dado P que tiene la diagonal más corta es el 
cuadrado. 
 
7. Si se dispone de 1200 cm2 de material para hacer una caja con base cuadrada y sin tapa, 
calcula el volumen máximo posible de esa caja. 
 
Verdaderos o falsos 
 
8. Determinar si la siguiente expresión es V o F. Justificar: “Si f’’(c) = 0 entonces (c,f(c)) es 
punto de inflexión de f” 
 
9. Si (c, f(c)) es un extremo relativo de f entonces f’(c) = 0 
 
Taylor 
 
10. Encontrar el polinomio de Mac Laurin de grado 4 para la función )2cos()( xxf  y 
usarlo para hallar aproximadamente cos (0.3). Acotar el error obtenido usando la fórmula 
del resto. 
 
11. Hallar el polinomio de Mac Laurin, P(x) de grado 3 para )3cos(21)( xxxf  . 
Aproximar f(0.1) utilizando dicho polinomio. Acotar el error que se comete con esa 
aproximación. 
 
Integrales 
 
12. Demostrar sin hacer la integral que las funciones dt
t
xF
x

1
1
)( y dt
t
xG
x

2
3
2
1
)( difieren 
en una constante. 
 
13. Determinar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar la función
)2()( xarctgxf  en el intervalo [0,1]. 
14. Calcular dx
xx
x
 

4
1
2
2
 
 
15. Calcular el área que contiene al origen y está comprendida por las siguientes curvas: 
 
 
 
16. Determinar sin hacer la integral, si la siguiente proposición es V o F. Justificar: 
“Si  

x
dt
t
t
xF
2
1
6
)( entonces 
6
2
)('


x
x
xF ” 
 
2
1 2 3: 4 , : 2 y : 3 6 0C y x C y x C y x      
17. Hallar el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar la función
)()( 2xsenxf  en el intervalo 





2
,0

alrededor del eje y. 
18. Hallar el volumen del sólido generado por la curva 
xx
y
)9(
25
2 
 para x ≥ 4. 
 
 
19. Calcular el área que forman las curvas (hacer gráfico aproximado) 
y x
y x





3
4