glosario matematico primera parte

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Guía Matemática 
 
Números racionales (Q): Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por Q.
Suma y resta de números racionales: para sumar y restar números racionales existen dos casos diferentes con los cuales podemos tratar, el primero es cuando poseen un denominador distinto entre los sumandos, y el otro es cuando tienen un denominador de igual valor y es por este por el que vamos a empezar. Cuando resolvemos la adición de números racionales y la sustracción de números racionales con igual denominador, simplemente se mantiene el denominador (que es valor ubicado en la parte inferior de la fracción) y sumamos o restamos los numeradores (en la parte superior de la fracción) según sea el caso:
Ejemplo:
 
Cuando tenemos denominadores de distinta valor, lo que tenemos que hacer es buscar una fracción equivalente, y encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores a través de multiplicaciones y divisiones que los igualen y formen fracciones equivalentes, tomando en cuenta que cualquier operación realizada debe también realizarse al numerador para no alterar el resultado, por ejemplo si multiplicamos el denominador por 4 para encontrar el mínimo común múltiplo también debemos multiplicar por 4 al numerador, veamos:
Ejemplo:
Multiplicación de número racionales en Q: en primer lugar, se multiplican los numeradores de todos los factores y a continuación el producto resultante se lo utiliza como numerador, luego se multiplican los denominadores y al resultado se lo ubica como denominador sin importar si el valor es igual o distinto, de esta manera:
Ejemplo:
División de números racionales: para dividir los números racionales, tomamos el numerador de la primera fracción y se lo multiplica por el denominador de la segunda fracción y este resultado será utilizado como numerador, a continuación se toma el denominador de la primera fracción y se lo multiplica por el numerador de la segunda fracción, y a ese resultado se lo ubica como denominador. Por lo tanto en el caso de la división, el orden de los cocientes si altera el resultado, veamos:
Ejemplo: 
 
Potenciación en Q: si es un número racional y n un natural, la potencia de elevado a la n es el producto de , n veces. Esto es = (n veces)
Ejemplo: 
Expresión decimal limitada: La expresión decimal de una fracción es el cociente de a ÷ b. Esta expresión es limitada cuando el cociente que se obtiene de dividir el numerador a entre el denominador b tiene finitas cifras decimales distintas de cero.
Ejemplos:
a) b) = -1,8 
Expresión decimal ilimitada: Una expresión decimal de una fracción es ilimitada cuando el número de cifras decimales en el cociente de a ÷ b es infinito.
Las expresiones ilimitadas pueden ser periódicas, cuando los decimales se repiten, y no periódicas cuando no se repiten. Las expresiones periódicas pueden ser puras, cuando poseen solo periodo, o mixtas si poseen anteperíodo y periodo.
Periódicas puras:
= 1,666 6... = 1,6 = 0,363 63…= 0,36
 ↓ ↓
 Periodo Periodo
Periódicas mixtas:
= 1,833 333…= 1,83 = 1,318 181…= 1,318
 ↓ →Periodo ↓ →Periodo
 Anteperíodo Anteperíodo 
Fracción generatriz de expresiones decimales limitadas: Para hallar la fracción generatriz, es decir, la fracción que genera una expresión decimal limitada , se toma como numerador todas las cifras de la expresión decimal sin considerar la coma , y como como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal .Si es posible, se simplifica la fracción resultante.
Ejemplos:
a) 12,34 = = c) 0,4 = = 
 
a. – 9,57 = d) 0,689 5 = = 
Fracción generatriz de expresiones decimales ilimitada pura: Para hallar la fracción periódica pura , se escribe como numerador la expresión decimal sin la coma menos la parte entera de la expresión, y como denominador un numero formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo . Si es posible, se simplifica la fracción resultante.
Ejemplos:
a) 0,3 = c) 0,23 = 
b) 1,45 = = = d) 12,875 = = 
Fracción generatriz de expresiones decimales ilimitados periódicos mixtos: para hallar la fracción generatriz de una expresión periódica mixta, se escribe como numerador la expresión decimal sin la coma, menos la parte entera junto con las cifras que conforman el periodo, y como denominador un unmero formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo.
Ejemplos:
a) 2,443 = = = 
b) b) 25,412 = = = = 
Ecuaciones en Q: para resolver ecuaciones con coeficientes racionales se sigue el mismo procedimiento que se aplica para resolver las ecuaciones en Z:
1) Se eliminan los denominadores; para ello, se multiplica cada uno de los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2) Se reducen los términos semejantes, es decir, se suman o se restan los términos que contienen a x en cada miembro y los términos constantes.
3) Se agrupan los términos que contienen a x en el primer miembro y los términos constantes en el segundo.
4) Se reducen los términos entre sí. 
5) Se despeja la x.
Guía de ejercicios:
1. Resuelve la siguientes operaciones:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2. Convierte las siguientes expresiones decimales a fracción generatriz:
a) 145, 9
b) 8, 4
c) 0, 9
d) 2,
e) 132,19
3. Aplica las propiedades de la potencia
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
4. Halla el valor de la variable en cada ecuación 
a) 
b) +
c) 
d) 
e) 
Números irracionales: Es el conjunto de números formado por los decimales infinitos no periódicos. Se denotan con la letra I.
Representación en la recta numérica:
a) Se expresa el número como la suma de los cuadrados de dos enteros. 
b) Se construye un triángulo rectángulo con catetos 1 y 1 e hipotenusa √2. 
 1
 1
c) Se traza la recta numérica con la misma escala, ya partir del 0 de la recta se traza con un compás la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo.
 
Números reales: es el conjunto de números formado por la unión de los números irracionales con los números racionales, es decir: R= I U Q. Se denota con la letra R.
· Aproximación en R: Consiste en Encontrar un número con las cifras pedidas que esté muy próxima al número dado.
· Por defecto: Buscamos el número con un determinado número de cifras que es inmediatamente menor al dado. Ejemplo: Con 2 cifras decimales 1,3456 =1,34.
· Por exceso: Es el número con las cifras decimales fijadas inmediatamente mayor. Ejemplo: Con 3 cifras decimales 2,4494897 =2,45.
Adición en R:
· Suma de dos números racionales: Si es necesario se aproximan los sumandos a cierta cantidad de decimales, se alinean las cifras por la coma, y luego se suman las cifras de derecha a izquierda. Ejemplo: 
· Suma de un numero racional y uno irracional: se debe aproximar el numero irracional a cierta cantidad de cifras decimales, se alinean los números por la coma y se suman las cifras de derecha a izquierda. Ejemplo: .
 
 Entonces, 
· Suma de dos números irracionales: Se aproximan las cifras decimales a cierta cantidad de decimales, se alinean las cifras por la coma, y se suman las cifras de derecha a izquierda. Ejemplo: 
 
 Entonces,
Sustracción en R: se alinean los números porla coma y se restan las cifras de derecha a izquierda. Si las expresiones decimales son ilimitadas se emplea la aproximación. Ejemplo: 
 Entonces, 
 
Multiplicación en R: si las expresiones decimales de uno o ambos factores son ilimitadas, se utilizan aproximaciones, se multiplican éstas y se obtiene el resultado. Ejemplo:
División en R: para dividir dos números reales con expresión decimal limitada se procede de la manera ya conocida. Si la expresión decimal del dividendo, divisor o ambas es ilimitada, se utilizan aproximaciones. Ejemplo: 
Potenciación en R: 
· Con exponente entero positivo: 
· Con exponente entero 
· negativo: 
· Con base negativa:
· , si el exponente es un entero par ˃ 0.
· , si el exponente es un entero impar 0.
· Con exponente cero: =1.
· Con exponente uno: =.
· Multiplicación de potencias de igual base: se coloca la misma base y se suman los exponentes: 
· División de potencias de igual base: se coloca la misma base y se restan los exponentes:
· Potencia de un producto: 
· Potencia de una potencia: 
· Potencia de un cociente: 
Operaciones combinadas en R: los ejercicios con potencias combinan las operaciones de suma, producto y cociente con varias propiedades de las potencias. Se recomienda analizar e interpretar la estructura algebraica de la expresión, determinar el orden en el que se van a ejecutar las operaciones e identificar qué propiedades se va a aplicar. Ejemplo:
Radicales: La radicación es la operación inversa de la potenciación. Esto significa que si a un número p se le extrae la raíz enésima y luego el resultado se eleva a la potencia de exponente n, el resultado es igual a p. Entonces p → →→p.
· Raíz enésima de un número: , donde: n es el índice de la raíz, y es la cantidad subradical o radicando, si se cumple que 
· Cálculo de una raíz cuadrada
La raíz cuadrada de un número real no negativo es un número real , positivo o negativo. Tal que: 
· Exacta:
1) Se separan las cifras del número dado en grupos de dos cifras comenzando por la derecha. El último grupo puede tener dos o tres cifras.
2) Se extrae la raíz cuadrada más próxima por defecto del primer grupo, y éste será el primer número de la raíz.
3) Esta cifra se eleva al cuadrado y se resta del primer grupo.
4) A la derecha de ésta diferencia se baja el segundo grupo y se separa la cifra de la derecha. 
5) Se duplica la raíz hallada y el resultado se escribe en la casilla que está debajo de la raíz.
6) Se dividen la dos primeras cifras del nuevo resto entre el doble de la raíz hallada. Éste cociente representará la cifra siguiente de la raíz. Luego se resta.
7) Se baja el siguiente grupo y se repite el proceso.
· Inexacta: Se aplica el mismo como en el caso de la exacta, hasta llegar al último grupo y obtener un número distinto a cero.
Potenciación en R con exponente racional: toda potencia con exponente fraccionario se puede escribir como un radical; en éste caso el numerador del exponente corresponde al exponente de la base y el denominador es el índice de la raíz. 
Propiedades:
· Raíz de un producto: La raíz enésima del producto es igual al producto de la rauz enésima de por la raíz enésima de .
· Raíz de un cociente: la raíz enésima de un cociente es igual al cociente de la raíz enésima de entre la raíz enésima de .
 .
· Potencia de una raíz: Se eleva la cantidad subradical a dicha potencia y se conserva el mismo índice de la raíz.
 
· Raíz de una raíz: se multiplican los índices y se conserva la cantidad subradical.
Guía de ejercicios:
1) Representa en la recta numérica los siguientes números:
a. √11
b. √122
c. √5
d. √31
e. √17
2) Aproxima a la milésima por defecto y por exceso las siguientes cifras:
a. 6,8556546
b. 4,472136 
c. 5,1298
d. 9,82021
e. 12,6265
3) Efectúa las siguientes adiciones con aproximación a las milésimas:
a. +2,4313346
b. 
c. 
d. 
e. 
4) Realiza las siguientes sustracciones:
a. 7,324-3,9876
b. 1,318-2,345
c. 1,345-3,27
d. 0,0963-2,318
e. 1,41421-9,876
5) Aproxima a tres decimales y luego realiza las multiplicaciones:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
6) Aproxima a dos decimales y luego realiza las divisiones:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
7) Expresa las siguientes multiplicaciones en forma de potencia y resuélvelas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
8) Expresa en forma de potencias las siguientes raíces cúbicas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
9) Escribe en forma de raíces cúbicas las siguientes potencias:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Introducción de factores en un radical: para introducir factores dentro de un radical elevamos dicho factor a una potencia, cuyo exponente es el índice del radical.
Ejemplo:
Extracción de factores de un radical: para extraer un factor de un radical cunado m > n dividimos el exponente m del factor entre el índice n del radical, obteniéndose , luego la . Si la división es exacta, r =0.
Ejemplo:
Adición y sustracción de radicales semejantes: se opera con los coeficientes de los radicales y se mantiene el mismo radical.
Ejemplo:
 
Adición y sustracción de radicales no semejantes: se debe transformar los radicales mediante la amplificación y la simplificación a un radical común y se efectúa el procedimiento de la adición y sustracción de radicales semejantes.
Ejemplo:
 
Operaciones combinadas: se comienza cambiando los exponentes negativos a positivos y efectuamos las raíces de raíces y la potencia. Expresamos como radicales los exponentes fraccionarios y simplificamos los coeficientes.
Hallamos el m.c.i, lo dividimos entre cada índice y el cociente es el exponente de la cantidad subradical. Efectuamos el producto y el cociente de los radicales de igual índice y simplificamos.
Ejemplo:
 
Producto de radicales de diferentes índices: para multiplicar dos o más radicales de diferentes índices procedemos de la siguiente manera:
1. Calculamos el m.c.m. de los índices, al cual llamamos mínimo común índice. 
= m.c.i. (2,3)=6 
2. Amplificamos cada índice por el cociente resultante de la división del m.c.i. entre cada índice.
 
3. Multiplicamos los radicales de igual índice y simplificamos el resultado obtenido.
 
4. Extraemos la raíz de los radicandos que sea posible.
 
Cociente de radicales de igual índice: se coloca el mismo índice y dividimos las cantidades subradicales.
Ejemplo:
 
Cociente de radicales de diferentes índices: para calcular el cociente seguimos este procedimiento:
1. Calculamos el m.c.i. de los índices de los radicales dados.
 m.c.i. = 24 
2. Multiplicamos cada exponente por el cociente resultante de la división entre el m.c.i. y cada índice. 
 
3. Dividimos los radicales de igual índice y simplificamos el resultado.
 
Ecuaciones irracionales: para resolver ecuaciones irracionales se despeja el signo radical, luego, elevamos los dos miembros al índice del radical y despejamos la incógnita. Finalmente sustituimos el valor de x en la ecuación y resolvemos para verificarlo.
Ejemplo:
 
 
 
Racionalización de un denominador monomio: racionalizar consiste en eliminar los radicales del denominador de una fracción.
Para racionalizar multiplicamos el numerador y el denominador por un radical del mismo índice del radical del denominador.
Si el exponente de la base de la cantidad subradical no es múltiplo del índice, las bases del radical que añadimos deberán completar lo que les falte a las bases de la cantidad subradical para llegar al múltiplo más próximo del índice.
Si el exponente de alguna base es un múltiplo del índice del radical, no colocamos dicha base en el nuevo radical.
Ejemplo:
 
= 
Racionalización de un denominador binomio: para racionalizar el denominador binomio de una fracción, cuando el binomio contiene raíces cuadradas, multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción por la conjugada del denominador. Ejecutamos la operación resultante y luego simplificamos.
Ejemplo:
= 
Guía de ejercicios:
1. Introduce factores dentro de los siguientes radicales 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2. extraefactores de los siguientes radicales
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3. Escoge un numero positivo mayor que 1 y amplifica los siguientes radicales
a) 
b) 
c) 
d) 
4. Simplifica los siguientes radicales
a) 
b) 
c) 
d) 
5. Efectúa los siguientes cocientes y productos.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
6. Efectúa las siguientes operaciones combinadas
a) 
b) 
c) 
7. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
8. Racionaliza el denominador de las siguientes fracciones.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
9. Racionaliza en los casos que sea necesario y resuelve los ejercicios
a) 
b) 
c) 
d) 
e)