Reporte de Exposiciones

Vista previa del material en texto

Nombre del alumno: Antony Arturo García Pérez
Matrícula: 201DD687
Carrera: Ingeniería Industrial Modalidad Mixta
Nombre de la materia: Álgebra Lineal
Nombre del docente: Daniela de León Zavala
Reporte de Exposiciones
Sabinas, Coahuila							02/10/2021
Transformaciones lineales
El equipo 1 nos presentó el tema de las transformaciones lineales, al comienzo inicio comentándonos algo a cerca de la historia de estas, nos mencionó a cerca de la los grandes contribuidores que tuvo la Ciencia tales como Rene descartes, Leibniz, Gabriel Cramer, Hermann Grassmann y James Joseph Sylvester, mencionándonos sus aportes a este tema. Seguido a esto nos presentó a cerca de las definiciones que tienen las transformaciones lineales, donde nos comentaron que una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su condominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. ... F: V→W F: V → W es una transformación lineal si y sólo si: F (u+v)=F (u)+F (v) ∀u, v∈V.
Luego nos comentaron a cerca de las propiedades que estas tienen; 
Supongamos una transformación lineal T de V en W, en la cual los vectores v y u pertenecen a V, entonces se cumplen las siguientes propiedades:​
Propiedad 1​
T (0) = 0​
Donde 0 es el vector nulo.​
Propiedad 2​
T (-v) = – T (v)​
Propiedad 3​
T (u  – v) = T (u) – T (v)​
Después nos hablaron a cerca de los diferentes tipos de transformaciones lineales que existen: 
Después nos presentaron cómo las trasformaciones lineales existen en diferentes ámbitos laborales: Las transformaciones lineales desempeñan un papel muy importante en matemáticas, física, ingeniería, procedimiento de imágenes, gráficas en computadoras y muchas otras áreas de la ciencia y la vida diaria.​
Núcleo e imagen de una transformación lineal
Nos presentaron la definición de la transformación lineal esto que nos es esencial para entender el núcleo e imagen de una transformación lineal.
Nos comentaron que Las transformaciones lineales intervienen en muchas situaciones en Matemáticas y son algunas de las funciones más importantes. En Geometría modelan las simetrías de un objeto, en Algebra se pueden usar para representar ecuaciones, en Análisis sirven para aproximar localmente funciones y nos dieron la definición de (núcleo de una transformación lineal) donde nos dijeron que sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈L (V, W). El núcleo (kernel, espacio nulo) de T se define como el pre imagen completa del vector nulo: ... (Imagen de una transformación lineal es un subespacio vectorial del condominio).
Nos dieron la definición de núcleo
El núcleo es un subespacio. Características. Todos los vectores que están dentro del núcleo cuando salen aplica la transformación se transforma en el cero pero es el cero del espacio de llegada, entonces cuando los transformamos están cumpliendo una condición porque se convierten o transforman al cero del espacio de beta o subespacio de llegada.
Todos los vectores van al subespacio de llegada. Es decir donde quedan localizados todos a aquellos que llegaron del subespacio de llegada, es decir, todos los beltas que pertenecen o llegan a belta del subespacio de alfa
Nos hablaron de ciertos conceptos clave,
Nos dieron a comprender que es una transformación lineal
Nos mostraron que la transformación lineal implica dos espacios:
I. Espacio de salida
II. Espacio de llegada
La transformación lo que hace toma un vector del espacio de salida
→ devolviendo un vector por medio de una ecuación en el espacio de llegada
→ asociados a las transformaciones lineales se definen dos subespacios vectoriales
El primero se llama núcleo de la transformación. Se localiza en el espacio de salida.
El segundo la imagen que esta es el subespacio de llegada.
Nos dieron la definición de imagen de una transformación lineal
¿Cuál es la imagen de una transformación lineal?
La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del condominio que son imágenes de, al menos, un vector del dominio. La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del condominio. El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
Definición de una imagen
Sea T V W una transformación lineal. Se llama imagen de T (Im (T)) al conjunto de vectores y e W tales que existe x e V con T (x) = y
Por último nos plantearon dos ejercicios donde se involucraban los conceptos de núcleo e imagen, uno de ellos donde lo demostraba de manera matricial y el otro de manera algebraica
Representación matricial de una transformación lineal​
Nos hablaron de lo qué es la representación matricial. Nos comentaron que una representación matricial es la manera en que los pixeles se distribuyen en una maya, esto aplica en las imágenes y figuras geométricas y es un principio básico del software para la manipulación de los mismos, esto nos permite también aplicar colores.​
Ejemplo de una ecuación matricial de escalas de grises​
Después nos comentaron lo qué es la transformación lineal
Donde nos dijeron que, una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su condominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. O sea una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de W es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones:
F: VW es una transformación lineal si y sólo si:
1. F (u + v) = F (u) + F (v) Vu, ve V
2. F (k.v) = k. F (v) Vo Є V, Vk єR
Y nos dieron las Propiedades de transformación lineal​
Propiedad 1
La imagen del vector nulo del dominio O y es el vector nulo del condominio 0:
T (0v) = 0
Demostración:
T (0v) = T (0.v) = 0.7 (v) = 0.w = 0w
Propiedad 2
La imagen del vector-v es igual al opuesto de la imagen de v:
T (-v)=-T (v)
Demostración:
|T (-) = 7 (-1.v) =-17 (v) =-T (v)
Propiedad 3
Consideremos vectores del espacio vectorial V:
V1, V2,..., U, EV
Tomemos una combinación lineal en el dominio:
Donde o E R.
Si aplicamos la transformación lineal F de V a W, teniendo en cuenta las propiedades enunciadas en la definición, resulta:
F (a1v1 + a₂0₂ + asus+...+0,₂) = 0₁F (U₂) + ₂F (1₂) +...+a, F (v₂)
Después nos comentaron para que sirve las transformaciones lineales:
Las transformaciones lineales intervienen en muchas situaciones en Matemáticas y son algunas de las funciones más importantes. En Geometría modelan las simetrías de un objeto, en Algebra se pueden usar para representar ecuaciones, en Análisis sirven para aproximar localmente funciones.​
Nos comentaron que Las transformaciones lineales trabajan con espacios vectoriales, formados por vectores. Muchas veces asociamos los vectores con fuerzas y otras magnitudes físicas, sin embargo en el procesamiento digital de imágenes, un pixel se puede representar por un vector.​
La imagen se puede manipular mediante transformaciones lineales convenientes para obtener los efectos deseados, por ejemplo proyectarse, rotarse, hallar la imagen especular o modificar su tamaño sin cambiar las dimensiones relativas.​
Aplicaciones de las transformaciones lineales
Al inicio nos comentaron lo que son las transformaciones lineales
Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales es decir el objetivo es  transformar un espacio vectorial en otro.​
Y en donde intervienen estas, diciéndonos que: 
Las transformaciones lineales intervienen en muchas situaciones​ en Matemáticas y son algunas de las funciones más importantes.​
Nos comentaron que En Geometría modelan las simetrías de un objeto, en Algebra se pueden usar para representar ecuaciones, en Análisis sirven para​ aproximar localmente funciones, por ejemplo.​
​Sean espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo. Una función transforma vectores de en vectores de​ Impondremos condiciones para que preserve las operaciones de​ suma de vectores y multiplicación por escalar.
Nos dijeron que las transformaciones lineales desempeñan un papel muyimportante en matemáticas, física, ingeniería, procedimiento de imágenes, gráficas en computadoras y muchas otras áreas de la ciencia y la vida diaria. Las transformaciones lineales son mapeos de importancia fundamental en el álgebra lineal y en sus aplicaciones. Son transformaciones entre espacios vectoriales que conservan la suma vectorial y la multiplicación por escalar.​
Nos hablaron a cerca de la Dilatación o expansión.
Donde nos comentaron que la expansión se realiza habitualmente para un cierto grado, es como realizar una operación de multiplicación de los elementos del conjunto de puntos con un término. Escalar hacia la dirección, donde tiene que ser expandido, sea para punto (2,3). Si el grado de expansión 2 es la dirección de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2,6)​
Y luego nos dieron un ejemplo dilatación o expansión​
· Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.​
· Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2​
· Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)​
· Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)​
También nos hablaron de la Contracción:​
Y nos dijeron que este es un procedimiento inverso de la expansión, el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. ​
La matriz escalar se representa con la letra (c) para que esta sea una matriz de contracción deberá ser menor que 1 y mayor que 0.​
Cada columna ya sea x, y, z representan 1 dimensión. ​
Conclusión propia a cerca de los temas vistos en la materia
Pienso que este es uno de los temas más importantes en el transcurso de la carrera de la Ingeniería, ya que pienso que el Álgebra nos sirve para resolver cualquiera de los problemas que se nos pueden presentar, más bien pienso que esto de las Matemáticas globalmente, ya que ellas están involucradas en nuestras vidas, y de qué manera, gracias a esta, podemos realizar cálculos que consideremos pertinentes para así lograr concretar el resultado de lo que sea que estemos buscando conseguir, por lo tanto pienso que este es uno de los temas más importantes de toda la carrera.
Por la parte laboral, pienso que para un Ingeniero Industrial, el álgebra Lineal nos sirve muchísimo, ya que esta la podremos implementar en la solución que los posibles problemas que se nos pueden presentar dentro de la industria, tales como el realizar los cálculos dentro de las áreas como las de control y automatización de la maquinaria que se tiene dentro de los planteles, así como conocer las características de las incógnitas cuando poseamos más de una variable.