Tema 3 - Actividad 1 Investigaciones

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Nombre del alumno: Antony Arturo García Pérez
Matrícula: 201DD687
Carrera: Ingeniería Industrial Modalidad Mixta
Nombre de la materia: Cálculo Vectorial
Nombre del docente: Heber Reséndiz Parra
Tema 3 - Actividad 1. Investigaciones
Sabinas, Coahuila							14/09/2021
Desarrolla una investigación de los siguientes temas:
Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades
El cálculo aplicado a las funciones Cartesianas puede ser extendido también para ser aplicable a las funciones vectoriales. Como ya sabemos una función vectorial, es en realidad, una función compuesta de varias funciones constituyentes. Cada una de estas funciones constituyentes es una función independiente que determina el efecto del cambio de variable en su dirección correspondiente, y el efecto general del cambio de variable puede ser conocido a través de la función compuesta, esta es la función vectorial.
Puesto que una función vectorial es una función compuesta, esta no puede ser diferenciada directamente, en lugar de diferenciarla, necesitamos diferenciar cada una de sus funciones constituyentes por separado. Las técnicas utilizadas para integrar una función Cartesiana se pueden aplicar para diferenciar una función vectorial debido a que las funciones constitutivas de la misma son funciones valoradas reales.
Asuma que es la función vectorial que será diferenciada para obtener dr/dt o . Aquí la diferenciación se lleva a cabo con respecto al tiempo ‘t’ porque una función valorada vectorial se define con respecto a la variable tiempo. Entonces la derivada de esta función se denota como
lim = [ (t + h) - (t)]/ h
Los conceptos del cálculo Cartesiano son aplicables aquí también, lo que significa que esta derivada de la función vectorial representaría la tangente a la curva de la función dada en algún punto.
Hay ciertas cosas que deben tenerse en cuenta mientras se diferencia la función: 1. (t) es real en el tiempo t sólo existe una derivada de en ‘t’.
2. Para un intervalo abierto (a, b) si el valor de (t) existe en cada punto, entonces podemos decir que la función dada es diferenciable para ese intervalo.
Al considerar los límites de un lado esta diferenciación se puede extender también al intervalo cerrado.
Derivadas de una función vectorial respecto de una variable escalar.
No está definida la derivada respecto de una variable vectorial.
Derivada del producto escalar.
Derivada del producto vectorial.
Derivadas de una función vectorial respecto de una variable escalar.
Sea a un vector cuyas componentes son función continua de una magnitud escalar t.
Entonces:
La derivada de un vector a respecto de un escalar t, es un vector, cuya dirección es tangente a la curva descrita por los extremos del vector a, en el punto considerado, y cuyas componentes son las derivadas, respecto del escalar, de las componentes de a.
Integración de funciones vectoriales y sus propiedades
Una función vectorial es una función definida en términos de la variable tiempo. El rango de esta función es multidimensional dado que la función está constituida por diversos componentes, donde cada uno de los componentes varía con respecto al tiempo en una de las direcciones. Por lo tanto, de manera informal una función vectorial puede denotarse como,
Aquí, cada una de las funciones individuales es una función vectorial de variable real en sí misma. Por lo tanto, el conjunto de funciones (p (t), q (t), r (t)) es una asignación de un intervalo cerrado en Rk, la cual es de rango dimensional k para la función dada. Las dimensiones de entrada y salida de una función vectorial son iguales, las cuales son un vector con alguna forma determinada.
La integración de la función se lleva a cabo mediante la integración de cada uno de los componentes individuales de la función. Por lo tanto la integración de la función vectorial se valora,
Aquí la integración se hace con respecto a ‘t’, la cual es la variable.
Asimismo la integración definida de la función también puede hacerse de la misma manera que una función ordinaria. Para que la integración definida sea llevada a cabo, los componentes completos de la función, y por lo tanto la función misma debe ser real en un intervalo cerrado [a, b]. Si el valor de ‘t’ está incrementandose monótonamente en el intervalo dado o podemos decir que, fi R(t) para i = 1 … k, entonces la integración definida de la función será,
El Teorema Fundamental del Cálculo también se ha modificado para una función valorada vectorial la cual establece que, sean F y f dos funciones diferentes que se trazan con el rango multidimensional Rk para un intervalo cerrado [a, b] también la derivada de F es equivalente a f, entonces
si, f R en [a, b].
Observemos ahora un ejemplo ilustrativo con el fin de tener una mejor comprensión acerca del tema. Calcule la función r(t), dada r’(t) = - y r(0) = + 2 .
Para determinar la función r(t) a partir de las ecuaciones anteriores tenemos que integrar ‘r(t). Pero antes vamos a escribir cada una de las dos funciones en sus formas vectoriales,
r’(t) = <1, −1, 0> r(0) = <0, 1, 2>
Ahora integremos r’(t) como,
r’(t) dt = dt - dt + dt r(t) = 
Ahora bien, si sustituimos estos valores en la ecuación 2, podemos obtener los valores reales de la constante de integración como,
r(0) = = <0, 1, 2> c1 = 0 c2 = 1 c3 = 2
La integral definida de una función vectorial continua r(t) se puede definir casi de la misma manera que para las funciones de valores reales, excepto que la integral es un vector. Entonces podemos expresar la integral de r en términos de las integrales de sus funciones componentes f, g, h.
Ejemplo
Límite de una función vectorial y continuidad.
Sea f una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en  , excepto posiblemente en , y sea L un número real.
Entonces:
Si para cada  existe un  tal que:
Siempre que
Problema. Verificar un límite a partir de la definición.
Solución. Comparando los parámetros
Por lo que, se necesita mostrar que para cada , existe un entorno  de  tal que , es decir, , se observa que
Lo cual implica que
Por lo tanto, se puede elegir , y el límite queda verificado.
Problema 2. Calcular el siguiente límite
Solución. Tomando el límite en el numerador y en el denominador
Evaluando el límite
Por lo tanto
Referencias
· https://derivadasparciales.wixsite.com/utppa/single-post/2017/02/03/derivaci%C3%B3n-de-funciones-vectoriales-y-sus-propiedades
· https://cursos.aiu.edu/Matematicas%20Superiores/PDF/Tema%203.pdf
· https://temasdecalculo.com/2017/11/27/3-2-derivacion-e-integracion-de-funciones-vectoriales-calculo-vectorial/.
· https://matematicasn.blogspot.com/2012/09/calculo-de-las-funciones-vectoriales.html
· http://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/Limites.pdf
· http://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/calculo3/continuidad.pdf