Tema 3 - Actividad 2 Apuntes de exposiciones

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Nombre del alumno: Antony Arturo García Pérez
Matrícula: 201DD687
Carrera: Ingeniería Industrial Modalidad Mixta
Nombre de la materia: Cálculo Vectorial
Nombre del docente: Heber Reséndiz Parra
Tema 3 - Actividad 2 Apuntes de exposiciones
Sabinas, Coahuila							14/09/2021
4.1 Definición de una función de varias variables.
Una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Esta es la definición matemática de una función. Existen funciones comunes que poseen una variable independiente (x) que cambia libremente sin depender de ningún parámetro y una variable dependiente (y) que cambia respecto a x. El cambio que sufre y está definido por una expresión algebraica que funge como regla. 
Se puede entender a una función como una máquina por la que entra algo y sale algo diferente, procesado:
La función genera resultados para y = f(x) dependiendo el valor que tome x. En el mundo real, estas funciones describen fenómenos que dependen de solo una variable. Por ejemplo, en cinemática, la rama de la física que estudia el movimiento sin preocuparse por las causas que lo provocan, la posición de un objeto se define por funciones que varían respecto al tiempo t. Son funciones de una única variable dependiente. Sin embargo, existen fenómenos de la naturaleza cuyo comportamiento no depende únicamente de un solo factor. Estas son funciones de varias variables. 
Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma definición de función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará regida por más de una variable independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres variables, generalmente llamadas z = f(x,y). La idea de relación es más compleja puesto que el valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los que les corresponde un valor de z.
4.2 Gráfica de una función de varias variables. Curvas y superficies de nivel.
Al igual que ocurría con las funciones de una variable, podemos aprender mucho sobre una función de dos variables dibujando su gráfica
Definición de gráfica La gráfica de una función de 2 variables es el conjunto de puntos (x, y, z) que satisfacen z = f (x, y), con (x, y) en el dominio de f. Puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio
La gráfica de una función de dos variables z = f( x, y) es la representación en el espacio 3 . De todas las combinaciones posibles de valores (x, y, z) siendo z la imagen de (x, y) por la función f.
Curvas de nivel 
Para una función de dos variables, z =f (x , y), la curva de nivel para z k = es el conjunto de todos los pares de valores (x, y) tales que su imagen es el valor k .
Superficies de nivel
Para el caso de funciones de tres variables, como ya lo comentamos, es imposible hacer su gráfica por lo que siguiendo la idea anterior buscamos obtener información de un conjunto de dimensión cuatro a partir de conjuntos tridimensionales, las superficies de nivel, que son una generalización de las curvas de nivel por lo que podemos dar la siguiente definición:
Dada la función w=f(x,y,z), sus superficies de nivel se definen como los conjuntos S={(x,y,z)/ f(x,y,z)=c} 
Observa que los conjuntos definidos son superficies y al igual que para las curvas de nivel, una función de tres variables tiene un número infinito de superficies de nivel por lo que en la práctica (otra vez) sólo se toman algunas que sean representativas. Así como las curvas de nivel sirven para señalar los puntos con la misma altitud, misma presión, etc., las superficies de nivel también tienen aplicaciones físicas. Por ejemplo, si V(x,y,z) representa el voltaje (o potencial) de un campo eléctrico en el punto (x,y,z), entonces las superficies de nivel V(x,y,z)=c se dicen superficies equipotenciales y representan a todos los puntos en el espacio con el mismo potencial.
Por otra parte, cualquier gráfica de una función z=f(x,y), es una superficie de nivel, basta considerar g(x,y,z)=z−f(x,y) y entonces la superficie de nivel g(x,y,z)=0 es la gráfica de z=f(x,y). Es por esto que a las gráficas de este tipo de funciones o de las ecuaciones de tres variables se les llama superficies.
Para trazar una superficie de nivel se usan sus trazas con planos de la forma x=c, y=c y z=c. Las superficies de nivel más importantes son las llamadas superficies cuadráticas y es muy conveniente que las repases en cualquier libro de Geometría Analítica o de Cálculo. Dichas superficies son elipsoides, conos elípticos, paraboloides elípticos, paraboloides hiperbólicos, hiperboloides de uno y dos mantos, cilindros (o sábanas) elípticos, parabólicos e hiperbólicos.
4.3 Límite y continuidad de una función de varias variables.
Vowd
Límites de funciones de varias variables
Un límite es un número al que se aproxima una función cuando su argumento se aproxima también a otro número. En una función de dos variables del tipo y = f(x), cuando x se aproxima al valor de a, la función se acerca al valor L que corresponde al límite. La notación es así:
Cuando x tiende al valor de c, la funcion f tiende al valor de L. Algunos limites son obvios y corresponden al mismo valor de c evaluado en la función. Sin embargo, los límites no se usan en casos obvios sino en funciones más complejas donde el valor de una función puede ser desconocido o inaccesible. No se ahondará demasiado en este asunto.
En una función con varias variables, un límite funciona igual. La función f tiende a un valor L. Sin embargo, la tendencia no depende solo de una variable, sino los valores a los que se aproximan todas las variables independientes que componen a la función.
Por ejemplo, la función anterior es una función cualquiera de dos variables. En este caso, es el límite de dicha función cuando tanto x como y (variables independientes) tienden a 0. El valor de las tendencias pueden cambiar, pero es necesario considerar a ambas variables. 
Al igual que funciones de una variables independiente, los límites pueden existir o pueden no existir. En caso de que existan, puede ser que el procedimiento para encontrar el valor del límite no sea tan directo. Esto quiere decir, que al evaluar directamente los valores de las variables en la función, podría haber una indefinición matemática como 0/0. En tal situación, un procedimiento algebraico para simplificar la función podría ser suficiente, pero si aun así el resultado se indefine o la función es irreducible, se necesita un procedimiento especial.
Se tiene el límite de la función:
En este ejemplo, el límite se obtiene directamente por evaluación:
Continuidad
Se dice que una función es continua cuando puede dibujarse su gráfica sin separar el lápiz de la superficie sobre la que se dibuja. Pero esta definición es muy vaga por sí sola. Matemáticamente, para una función de dos variables, una función es continua en un valor de x = a si se cumplen las siguientes condiciones:
1. El límite cuando x tiende al valor de a existe. 
2. La función evaluada en a existe. 
3. El límite cuando x tiende al valor de a y la función evaluada en a son iguales. 
Pues resulta que en funciones de varias variables, la definición de continuidad es igual, pero aplica no para un valor de una sola variable, sino para un punto P( x, y ) sobre el cual quiera evaluarse la continuidad. Solo es necesario encontrar el límite, evaluar la función en el mismo punto y comparar valores. 
4.4 Derivadas parciales.
Las derivadas parciales juegan un papel muy importante en el área del Cálculo Vectorial o Cálculo Multivariable es importante tener en cuenta que para poder aprender las derivadas parciales, previamente se debe contar con conocimientos de cálculo de una sola variable. Pues son las mismas fórmulas, solo cambian ciertas reglas, pero las habilidades que el alumno desarrolla en cálculo son las mismas. 
Sea entonces la función:
Derivemos entonces, en este caso nuestra función z, se derivará de las 2 formas: respecto a "x", y despuésrespecto a "y", cabe mencionar que, el orden de la derivación no importa, por lo que vamos a derivar primeramente respecto a "x".
Si nos damos cuenta se derivó normalmente a x² , y a la variable "y" no la tocamos porque es una constante pero al final dónde tenemos "5y" ahí si afecto puesto que la derivada de una constante es cero.
Como resultado tenemos:
· Derivada parcial de "z" respecto a "x"
· Derivada parcial de "z" respecto a "y"
Ahora veamos la siguiente derivada, pero ahora respecto a "y".
🔹 Resultado:
4.5 Incrementos y diferenciales.
INCREMENTO 
Cuando la variable independiente x pasa de un valor inicial  a un valor final , a la diferencia , representada por , se le llama incremento de la variable x, esto es: 
De la misma manera, cuando la función  pasa de un valor inicial  a un valor final , a la diferencia , representada por , se le llama incremento de la función, denotado por . Esto es: 
 
Gráficamente esto es:
4.6 Regla de la cadena y derivada implícita.
Wuven
Si “y” es una función de “u”, definida por y = f(u) y su derivada respecto de “u” existe, y si “u” es una función de “x” definida por u = g(x), y su derivada respecto de “x” existe, entonces “y” es una función de “x”, y = f(g(x)) , su derivada respecto de “ x ” existe y está definida por:
o sea, en otra notación
Para calcular la derivada de una función compuesta, se aplica la regla de la cadena, uno de los teoremas más importantes del Cálculo.
Ejemplos de funciones compuestas son los siguientes:
4.7 Derivadas parciales de orden superior.
Cwdovin
Podemos calcular derivadas parciales de orden superior teniendo en cuenta cual es la variable respecto a la cual estamos derivando. De esta forma, una vez que hemos calculado de la derivada de una función  respecto a la variable , es decir,  ; podemos calcular la segunda derivada respecto a la variable  y para esto usamos la siguiente notación:
De igual forma, podemos calcular la segunda derivada respecto a la variable y y usamos la siguiente notación:
Una vez que hemos calculado de la derivada de una función  respecto a la variable , es decir, ; podemos calcular la segunda derivada respecto a la variable  y para esto usamos la siguiente notación:
De igual forma, podemos calcular la segunda derivada respecto a la varaible y y usamos la siguiente notación:
Cuando estamos aprendiendo a calcular derivadas parciales y más aún, de orden superior; es normal que uno se enrede con tantas variables. Con el diagrama que veremos a continuación se puede entender con un poco más de claridad que variables debemos considerar al derivar:
4.8 Derivada direccional y gradiente.
Definición del gradiente de una función de 2 variables Sea Z = f (x, y) una función de x, y tal que existen fx y fy. El gradiente de f, denotado por ∇f (x, y) es el vector ∇f (x, y) = (fx (x, y), fy (x, y)). Otra notación usual para el gradiente es grado (x, y). Para cada punto (x, y), el gradiente ∇f (x, y) es un vector en el plano, (no en el espacio).
El gradiente ∇F es normal a las superficies de nivel Si F es diferenciable en (x0, y0, z0) y ∇F(x0, y0, z0) ̸= 0, entonces ∇F(x0, y0, z0) es normal a la superficie de nivel que pasa por (x0, y0, z0).
Es necesario darse cuenta de que ∇f (x, y) es un vector en el plano y ∇F(x, y, z) es un vector en el espacio. El vector gradiente marcará la dirección de máxima variación de la función en cualquier punto.
La derivada direccional es el producto escalar del gradiente por el vector unitario que determina la dirección.
Definición formal de derivada direccional Si f es una función diferenciables de x e y, su derivada direccional en la dirección del vector unitario ⃗u es
4.9 Valores extremos de funciones de varias variables.
Al igual que las funciones de una variable, las de varias variables también tienen extremos relativos y absolutos.
Un máximo (ó mínimo) absoluto es un valor para el que la función toma el mayor (ó menor) valor.
Un punto es un extremo relativo si es un extremo en un entorno de dicho punto. Es decir, si es un extremo con respecto a los puntos cercanos.
En esta sección estudiaremos analíticamente la existencia de extremos de funciones de dos variables en el dominio de la función (que consideramos abierto). Para ello usaremos cálculo diferencial.
Calculamos los puntos críticos
Calculamos las derivadas parciales de ff:
Los puntos críticos son aquellos que anulan a las derivadas parciales. Por tanto, igualamos a 0 las derivadas parciales para obtener un sistema de ecuaciones:
Resolvemos el sistema y obtenemos el punto crítico
Calculamos el Hessiano y aplicamos el teorema
Evaluamos las derivadas parciales segundas en dicho punto:
Por tanto, el Hessiano en dicho punto es