Vectores_en_el_espacio_y_Producto_Cruz - Diego Chavez

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Vectores en el espacio
Mat. Kevin Chamorro
Universidad Yachay Tech
Junio 22, 2022
Urcuqúı - Ecuador
Yachay Tech Álgebra Lineal kchamorro@yachaytech.edu.ec 1 / 33
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1 Vectores en el espacio
2 Producto cruz
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1 Vectores en el espacio
2 Producto cruz
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Introducción
Una terna ordenada de números reales: (a, b, c) (vector) constituyen el espacio R3.
Para representar un punto en el espacio, se comienza eligiendo un punto en R3. Este punto es el
origen. Después, se dibujan 3 rectas perpendiculares entre śı, a las que se llaman eje x, el eje y y
el eje z.
Los ejes se pueden seleccionar de diferentes formas, pero la más común tiene los ejes x y y horizontales
y el eje z vertical.
Las flechas de los ejes indican la dirección positiva de los ejes.
Los tres ejes en nuestro sistema determina 3 planos coordenadas xy , xz , yz .
Cualquier punto P en R3 de una sola manera:P = (x , y , z)
▶ x es la distancia dirigida del plano yz a P (medida en la dirección positiva del eje x a lo largo de una
recta paralela al eje x).
▶ y es la distancia dirigida desde el plano xz hasta P (medida en la dirección positiva del eje y y a lo
largo de una recta paralela al eje y).
▶ z es la distancia dirigida desde el plano xy hasta P (mediad en la dirección positiva del eje z y a lo
largo de una recta paralela al eje z).
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Distancia entre dos puntos en R3
Teorema
Sean P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) dos puntos en el espacio. Entonces la distancia PQ entre P y Q
está dada por
PQ =
√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
Example
Calcule la distancia entre los puntos (3,-1,6) y (-2,3,5) .
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Vector en R3
Definición
Sean P y Q dos puntos distintos en R3. Entonces el segmento de recta dirigido PQ es el segmento
de recta que se extiende de P a Q. Dos segmentos de recta dirigidos son equivalentes si tienen la
misma magnitud y dirección.
Vector en R3
Un vector en R3 es el conjunto de todos los segmentos de recta dirigido equivalentes a un segmento de
recta dirigido dado, y cualquier segmento dirigido PQ en ese conjunto se llama una representación del
vector.
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Magnitud de un vector R3
Magnitud
Por conveniencia se elige P en el origen para poder describir el vector v= 0Q mediante las coordenadas
x , y , z del punto Q. Entonces la magnitud de v = |v | =
√
x2 + y2 + z2
Example
Sea v = (1, 3,−2). Encuentre |v |.
Solución:|v | =
√
12 + 32 + (−2)2 =
√
14
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Suma de vectores y multiplicación por un escalar en R3
Definición
Sean u = (x1, y1, z1) y v = (x2, y2, z2) dos vectores, y sea α un número real (escalar). Entonces se define
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
αu = (αx1, αy1, αz1)
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Vector Unitario
Definición
Un vector unitario u es un vector con magnitud 1. Si v es un vector diferente de cero, entonces u = v|v |
es un vector unitario que tiene la misma dirección que v .
Example
Encuentre un vector unitario que tenga la misma dirección que v = (2, 4,−3).
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Dirección en R3
En R2 la dirección se obtiene con el ángulo que forma con el eje x positivo.
En R3 no podemos especificar el ángulo que forma el vector con el eje positivo puesto que tenemos
muchos vectores en el espacio que van a tener este mismo ángulo.
Para definir esta dirección tendremos que definir otros ángulos, llamados ángulos directores.
Figura: El vector v forma un ángulo α con el lado positivo del eje x , β con el lado positivo del eje y y γ con el
eje positivo del eje z .
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Dirección en R3
Definición
La dirección de un vector v en R3 se define como el vector unitario u = v|v | .
Cosenos Directores
Si v es un vector unitario, entonces |v | = 1 y cosα = x0, cosβ = y0, cos γ = z0.
Por definición, cada uno de estos tres ángulos cae en el intervalo de [0, π]. Los cosenos ángulos se
denominan cosenos directores del vector v .
cos2 α+ cos2 β + cos2 γ =
x20 + y
2
0 + z
2
0
|v |2
=
x20 + y
2
0 + z
2
0
x20 + y
2
0 + z
2
0
= 1
Por lo tanto, obtenemos el vector unitario en la misma dirección del vector dado por:
u = (cosα, cosβ, cos γ)
Observación: Si v = (a, b, c) y |v | ≠ 1, entonces los números a, b y c se llaman números directores del
vector v .
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Cálculo de los cosenos directores de un vector en R3
Example
Encuentre los cosenos directores del vector v = (4,−1, 6).
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Cálculo de un vector en R3 dados su magnitud y cosenos directores
Example
Encuentre un vector v de magnitud 7 cuyos cosenos directores son 1√
6
, 1√
3
y 1√
2
.
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Vectores base i , j , k en R3
Cualquier vector en el espacio se puede escribir en términos de los vectores base i ,j y k.
i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1)
Aqúı, i , j y k son vectores unitarios. El vector i está sobre el eje x , j sobre el eje y y k sobre el eje z . En
la figura se puede ver un bosquejo. Si v = (x , y , z) es cualquier vector en R3, entonces
v = (x , y , z) = (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, 0, z) = x i + y j + zk
Esto es, cualquier vector v en R3 se puede escribir de manera única en términos de los vectores i , i , k .
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Ángulo entre vectores
Teorema
Si φ denota el ángulo positivo más pequeño entre dos vectores u y v diferentes de cero, se tiene
cosφ =
u · v
|u||v |
Example
Calcule el coseno del ángulo entre u = 3i − j + 2k y v = 4i + 3j − k .
Solución: u · v = 7, |u| =
√
14 y |v | =
√
26, por lo que cosφ 7√
(14)(26)
= 7√
364
≈ 0,3669 y
φ ≈ 68,5◦ ≈ 1,2rad.
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Vectores Paralelos y Ortogonales
Definición
Dos vectores u y v diferentes de cero son:
1 Paralelos si el ángulo entre ellos es cero o π.
2 Ortogonales (o perpendiculares) si el ángulo entre ellos es π2 .
Teorema
Si u ̸= 0, entonces u y v son paralelos si y sólo si v = αu para algún escalar α ̸= 0.
Si u y v son diferentes de cero, entonces u y v son ortogonales si y sólo si u · v = 0.
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Proyección en R3
Definición
Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces la proyección de u sobre v es un vector denotado
por proyvu, que se define por
proyv u =
u · v
|v |2
v
La componente de u en la dirección de v es
u · v
|v |
y es un escalar.
Nota:
v
|v |
es un vector unitario en la dirección de v .
Teorema
Sea v un vector diferente de cero. Entonces para cualquier otro vector u el vector
w = u − (u · v)
|v |2
v
es ortogonal a v .
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Cálculo de una proyección en R3
Example
Sean u = 2i + 3j + k y v = i + 2j − 6k . Encuentre proyv u
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Cálculo de una proyección en R3
Example
Sean u = 2i + 3j + k y v = i + 2j − 6k . Encuentre proyv u
Solución: En este caso, (u·v)|v |2 =
2
41 y proy u =
2
41 i +
4
41 j −
12
41k . La componente de u en la
dirección v es (u·v)|v | =
2√
41
.
Observe que, igual que en el plano, proy, u es un vector que tiene la misma dirección que v si
u · v > 0 y la dirección opuesta a la de v si u · v < 0.
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1 Vectores en el espacio
2 Producto cruz
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ProductoVectorial o Producto Cruz de Dos Vectores
Hasta el momento el único producto de vectores que se ha considerado ha sido el producto escalar o
producto punto. Ahora definiremos un nuevo producto, llamado producto vectorial o producto cruz,
que está definido sólo en R3.
Definición
Sean u = a1i + b1j + c1k y v = a2i + b2j + c2k , dos vectores en R3, entonces se define el producto
vectorial de los vectores u y v , y que denotamos por u × v , como un nuevo vector que se calcula por:
u × v = (b1c2 − c1b2) i + (c1a2 − a1c2) j + (a1b2 − b1a2) k
Notemos que el resultado del producto vectorial es un vector, mientras que el resultado del producto
escalar es un escalar.
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Ejemplo: Cálculo del producto cruz de dos vectores
Sean los vectores u = i − j + 2k y v = 2i + 3j − 4k , entonces el producto vectorial de ambos vectores
viene dado por:
w = u × v = [(−1)(−4)− (2)(3)]i + [(2)(2)− (1)(−4)]j+
+ [(1)(3)− (−1)(2)]k =
= −2i + 8j + 5k
=⇒ u × v = −2i + 8j + 5k
Por otra parte, al hacer el producto escalar de los vectores u y w , y el producto escalar de los vectores v
y w, obtenemos:
u · w = (i − j + 2k) · (−2i + 8j + 5k) = −2− 8 + 10 = 0
v · w = (2i + 3j − 4k) · (−2i + 8j + 5k) = −4 + 24− 20 = 0
Por lo tanto el vector u × v es ortogonal tanto al vector u como al vector v , como se vera luego.
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El siguiente teorema muestra una manera sencilla de calcular el producto vectorial usando determi-
nantes.
Teorema
Sean u = a1i + b1j + c1kyv = a2i + b2j + c2k , dos vectores en R3, entonces el producto vectorial de
los vectores u y v se puede calcular como.
u × v =
∣∣∣∣∣∣
i j k
a1 b1 c1
a2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣
Demostración.
Desarrollando el determinante de la matriz 3× 3, obtenemos:∣∣∣∣∣∣
i j k
a1 b1 c1
a2 b2 c2
∣∣∣∣∣∣ = i
∣∣∣∣ b1 c1b2 c2
∣∣∣∣− j ∣∣∣∣ a1 c1a2 c2
∣∣∣∣+ k ∣∣∣∣ a1 b1a2 b2
∣∣∣∣
= (b1c2 − c1b2) i + (c1a2 − a1c2) j + (a1b2 − b1a2) k
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Ejemplo: Cálculo del producto vectorial de dos vectores usando
determinantes
Sean los vectores u = 2i + 4j − 5k y v = −3i − 2j + k , entonces el producto vectorial de ambos
vectores calculado el determinante viene dado por:
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Ejemplo: Cálculo del producto vectorial de dos vectores usando
determinantes
Sean los vectores u = 2i + 4j − 5k y v = −3i − 2j + k , entonces el producto vectorial de ambos
vectores calculado el determinante viene dado por:
u × v =
∣∣∣∣∣∣
i j k
2 4 −5
−3 −2 1
∣∣∣∣∣∣ = (4− 10)i + (15− 2)j + (−4 + 12)k =
= −6i + 13j + 8k
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Propiedades del producto vectorial
Teorema
Sean u, v y w , tres vectores en R3 y α un escalar, entonces:
1 u × 0 = 0× u = 0
2 u × v = −(v × u), conocida como la propiedad anticonmutativa del producto vectorial.
3 (αu)× v = α(u × v)
4 u × (v + w) = (u × v) + (u × w), que corresponde a la propiedad distributiva del producto
vectorial.
5 (u × v) · w = u · (v × w), que se conoce como el triple producto escalar de los vectores u, vyw .
6 u · (u × v) = v · (u × v) = 0, es decir, el vector u × v es ortogonal al vector u y al vector v .
7 Si ambos vectores u y v son vectores no nulos, entonces u y v son paralelos si y sólo si u × v = 0.
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Ahora, sabemos que u × v es un vector ortogonal al vector u como al vector v , y siempre habrá dos
vectores unitarios ortogonales al vector u como al vector v , como observamos en la Figura.
Los vectores n y −n, son ambos ortogonales a los vectores u y v , y son también conocidos como
los vectores normales.
Entonces nos hacemos la pregunta: ¿cuál de los dos vectores, n y −n, tiene la dirección del vector
u × v?.
La respuesta está pregunta está dada por la regla de la mano derecha. Si se coloca la mano derecha
de manera que el ı́ndice a punte en la dirección del vector u y el dedo medio en la dirección del
vector v , entonces el pulgar apuntará en la dirección del vector u × v , como se indica en la Figura.
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Magnitud vector u × v
Teorema
Si φ es el ángulo entre los vectores u y v , entonces la magnitud del vector u × v , viene dada por:
|u × v | = |u||v | senφ
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Demostración
Usando la ecuación del producto cruz de dos vectores, tenemos:
|u × v |2 = (b1c2 − c1b2)2 + (c1a2 − a1c2)2 + (a1b2 − b1a2)2
Al desarrollar cada uno de los cuadrados de la suma anterior y agrupando obtenemos:
|u × v |2 = |u|2|v |2 − (u · v)2
Pero en el tema de producto escalar, hab́ıamos visto que
u · v = |u||v | cosφ
Luego
|u × v |2 = |u|2|v |2 − |u|2|v |2 cos2 φ
= |u|2|v |2
(
1− cos2 φ
)
= |u|2|v |2 sen2 φ
Entonces, se concluye que:
|u × v | = |u||v | senφ
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Magnitud vector u × v (Interpretación Geométrica)
Figura: φ es el ángulo entre u y v , h|v| = senφ, de manera que h = |v | sen φ.
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Cálculo del Área de un paralelogramo en R3
Encuentre el área del paralelogramo con vértices consecutivos en P = (1, 3,−2),Q = (2, 1, 4) y
R = (−3, 1, 6).
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Cálculo del Área de un paralelogramo en R3
Encuentre el área del paralelogramo con vértices consecutivos en P = (1, 3,−2),Q = (2, 1, 4) y
R = (−3, 1, 6).
Solución:
Queremos encontrar el área del paralelogramo entonces tenemos:
u =
−→
PQ = i− 2j+ 6k
v =
−→
QR = −5i+ 2k
Luego, el área del paralelogramo viene dado por la magnitud del vector u× v =
−→
PQ ×
−→
QR, donde
u× v =
−→
PQ ×
−→
QR =
∣∣∣∣∣∣
i j k
1 −2 6
−5 0 2
∣∣∣∣∣∣ = −4i− 32j− 10k
entonces
área = |u× v| = |
−→
PQ ×
−→
QR| = | − 4i− 32j− 10k| =
=
√
(−4)2 + (−32)2 + (−10)2 =
√
1140
=⇒ área =
√
1140 unidades cuadráticas
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Gracias
kchamorro@yachaytech.edu.ec
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	Vectores en el espacio
	Producto cruz