PAIEP_Areas_Longitud_Polar_APT_2019 - Davinson Diaz

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Área - Longitud con Curvas Polares
Objetivo de aprendizaje:
Aplicar las técnicas de integración y las sumas de Riemann, para calcular Áreas y
Longitud de arco, donde se involucren curvas dadas en coordenadas polares. Además, de
inducir el comportamiento de curvas paramétricas para el cálculo de la longitud.
Debo saber:
Sistema de Coordenadas Polares.
Graficación de Curvas Polares.
Simetrías en Curvas Polares.
Técnicas de Integración.
Teorema Fundamental del Cálculo.
Sea f : [α,β] −→ R una función continua tal que: r = f(θ). Consideremos entonces la
región:
R = {(r, θ) : α ≤ θ ≤ β ∧ 0 ≤ r ≤ f(θ)}
cuya área se quiere calcular. Para ello, consideremos una partición del intervalo [α,β]
(funciona con una partición cualquiera, por tanto podemos considerar una partición
uniforme), dada por:
P = {α = θ0 < θ1 < θ2 < · · · < θn = β}
donde para cada subintervalo de la forma: [θk−1, θk], para cada 1 ≤ k ≤ n, tomamos un
rk = f(θk), lo que genera un punto sobre la curva polar dada: Qk(f(k), θk), para cada
1 ≤ k ≤ n.
Z OBSERVACIÓN b
Recordemos que el área de un sector circular,
es proporcional al ángulo θ usado. A saber, pa-
ra θ = 2π el área encerrada es π · r2. Entonces,
para un ángulo θ cualquiera, tenemos que:
ASector Circular =
1
2
· r2 · θ
Al tomar la diferencia de dos sectores circulares
para ángulos θ1 y θ2, tenemos que:
ASC =
1
2
· r2 · (θ2 − θ1)
2 Áreas y Longitudes en Curvas Polares
Para la subdivisón en sectores circulares, tenemos que:
si definimos a ∆θ = θk− θk−1, para todo k = 1, 2, . . . , n,
Entonces, el área del k-ésimo sector está dada por:
Ak =
1
2
· [f(θk)]2 · ∆θ
Donde claramente, tenemos que una aproximación del
área buscada es justamente,
A ≈
n∑
k=1
Ak =
n∑
k=1
1
2
· [f(θk)]2 · ∆θ
Tomando límite n la expresión anterior cuando n→∞, obtenemos la fórmula requerida.
Definición (Áreas Polares).
Sea r = f(θ), la ecuación en coordenadas polares de
una curva y supongamos que f es una función continua
para θ ∈ [α,β]. Se define el área de la región limitada
por la curva y las semirectas (rayos) de ecuaciones
θ = α y θ = β, como la integral:
AR =
1
2
∫β
α
[f(θ)]2 dθ
Problema Resuelto 1.
Determine el área de la región acotada por el cardioide r = 2+ 2 cos θ.
Solución.
Como el cardioide presenta una simetría con respecto al eje polar,
podemos establecer que:
AR =
1
2
∫ 2π
0
[2+ 2 cos θ]2 dθ =
∫π
0
[2+ 2 cos θ]2 dθ
Entonces, desarrollando el producto notable nos queda:
[2+ 2 cos θ]2 = 4+ 8 cos θ+ 4 cos2 θ
de donde:
AR =
∫π
0
[4+ 8 cos θ+ 4 cos2 θ]dθ = 4
∫π
0
dθ+ 8
∫π
0
cos θdθ+ 2
∫π
0
[1+ cos 2θ]dθ
= 4π+ 8
[
sen θ
∣∣∣π
0
+ 2
[
θ+
sen 2θ
2
∣∣∣∣π
0
= 6π
�
3
Problema Resuelto 2.
Demuestre que el área de la circunferencia r = 2 sen θ, es justamente π.
Solución.
Resulta sencillo ver que esta es una circunferencia de centro
C(0, 1) y radio r = 1. ¿Cómo demostramos esto? Basta con
considerar:
r = 2 sen θ =⇒ r2 = 2r sen θ [Multiplicamos por r]
=⇒ x2 + y2 = 2y [Sistema Polar]
=⇒ x2 + y2 − 2y+ 1 = 1 [ Completaciónde Cuadrados
]
=⇒ x2 + (y− 1)2 = 1
Ahora bien, para obtener esta gráfica basta con recorrer desde θ = 0 hasta θ = π. En
consecuencia, por geometría el área es π. Veamos,
A =
1
2
∫π
0
[2 sen θ]2dθ = 2
∫π
0
sen2 θdθ =
∫π
0
[1− cos 2θ]dθ =
[
θ−
sen 2θ
2
∣∣∣∣θ=π
θ=0
= π
�
Definición (Áreas entre curvas).
Sean r = f(θ) y r = g(θ), las ecuaciones en coorde-
nadas polares de dos curvas, tales que: f(θ) ≥ g(θ),
para todo α ≤ θ ≤ β y supongamos que f y g son
funciones continuas para θ ∈ [α,β]. Se define el área
de la región limitada por la curvas y las semirectas
(rayos) de ecuaciones θ = α y θ = β, como la integral:
AR =
1
2
∫β
α
(
[f(θ)]2 − [g(θ)]2
)
dθ
Problema Resuelto 3.
Determine el área de la región que se encuentra dentro de la circunferencia r = 2 sen θ
y fuera del cardioide r = 2+ 2 cos θ.
Solución.
En principio, debemos ver donde se igualan estas funciones que haciendo una buena gráfica
es evidente, pero debemos resolver el problema en forma analítica, donde en realidad no
existe una manera única de resolver el problema. Por ejemplo, haremos análisis sobre la
independencia lineal de estas funciones y el hecho de que son cofunciones.
4 Áreas y Longitudes en Curvas Polares
Entonces, tenemos que:
2 sen θ = 2+ 2 cos θ =⇒ sen θ− cos θ = 1
Como las funciones seno y coseno son linealmente independientes,
las soluciones se obtienen cuando una de ellas se anula y la otra
obtiene su valor máximo o mínimo. A saber,
θ =
π
2
y θ = π
de donde:
AR =
1
2
∫π
π
2
(
[2 sen θ]2 − [2+ 2 cos θ]2
)
dθ =
1
2
∫π
π
2
(
4 sen2 θ− 4− 8 cos θ− 4 cos2 θ
)
dθ
=
1
2
∫π
π
2
(
−4[cos2 θ− sen2 θ] − 4− 8 cos θ
)
dθ = −2
∫π
π
2
[cos 2θ+ 1+ 2 cos θ]dθ
= −2
[
sen 2θ
2
+ θ+ 2 sen θ
∣∣∣∣π
π
2
= −2
[
π−
π
2
− 2
]
= 4− π
Nota: Si se pidiera calcular el área de la región dentro de las dos curvas, entonces el área
de la región estaría dada por:
AR =
1
2
∫ π
2
0
[2 sen θ]2dθ+
1
2
∫π
π
2
[2+ 2 cos θ]2dθ
=
1
2
∫ π
2
0
4 sen2 θdθ+
1
2
∫π
π
2
[4+ 8 cos θ+ 4 cos2 θ]dθ = 2(π− 1)
�
Z OBSERVACIÓN b
Para hallar los valores indicados, podemos resolver la ecuación trigonométri-
ca de forma algebraica.
2 sen θ = 2+ 2 cos θ =⇒ sen θ− cos θ = 1 [Simplificamos por 2]
=⇒ (sen θ− cos θ)2 = 1 [Elevando al cuadrado]
=⇒ sen2 θ+ cos2 θ− 2 sen θ cos θ = 1 [ ProductoNotable
]
=⇒ −2 sen θ cos θ = 0 =⇒ sen 2θ = 0 =⇒ 2θ = kπ , k ∈ Z
Ahora, si k = 0 tenemos que θ = 0 cuyo valor no funciona, ya que en este
ángulo no son iguales las curvas. Para k = 1 =⇒ π
2
y si k = 2 =⇒ θ = π.
5
Problema Resuelto 4.
Determine el área de la región acotada fuera de r = 2− 2 cos θ y dentro de r = −6 cos θ.
Solución.
Debemos encontrar los valores de θ, para los cuales estas curvas se igualan. En este caso,
igualamos las curvas y obtenemos:
2− 2 cos θ = −6 cos θ =⇒ 4 cos θ = −2 =⇒ cos θ = −1
2
=⇒ θ = 2π
3
y θ =
4π
3
AR =
1
2
∫ 4π
3
2π
3
[
(−6 cos θ)2 − (2− 2 cos θ)2
]
dθ
=
1
2
∫ 4π
3
2π
3
[
36 cos2 θ− 4+ 8 cos θ− 4 cos2 θ
]
dθ
=
1
2
∫ 4π
3
2π
3
[
32 cos2 θ+ 8 cos θ− 4
]
dθ
Luego, tenemos que:
AR =
[
8
(
θ+
sen 2θ
2
)
+ 8 sen θ− 4θ
∣∣∣∣ 4π3
2π
3
=
[
4θ+ sen 2θ+ 8 sen θ
∣∣∣ 4π3
2π
3
=
16π
3
+ sen
8π
3
+ 8 sen
4π
3
−
8π
3
− sen
4π
3
− 8 sen
2π
3
=
8π
3
+
√
3
2
− 8
√
3
2
+
√
3
2
− 8
√
3
2
=
8π
3
− 3
√
3
�
Problema Resuelto 5.
Calcular el área de la región acotada fuera de la circunferencia r = 2 sen θ y dentro del
cardioide r = 1+ sen θ.
Solución.
Como primer paso, se deben encontrar lo valores de θ, para los cuales se da la igualdad de
las funciones polares. Veamos,
1+ sen θ = 3 sen θ =⇒ 2 sen θ = 1 =⇒ sen θ = 1
2
=⇒ θ = π
6
Pero si se construye la gráfica, se puede notar que hay una simetría y existe otro punto de
corte, equivalente a: θ = π−
π
6
=⇒ θ = 5π
6
.
Esta situación, nos genera cuatro regiones que podremos reducir a dos usando la
simetría con respecto al rayo θ =
π
2
. Veamos a que hacemos referencia,
6 Áreas y Longitudes en Curvas Polares
AR = 2 (AR1 +AR2)
= 2
(
1
2
∫ 0
−π
2
[1+ sen θ]2 dθ+
1
2
∫ π
6
0
[(1+ sen θ)2 − (3 sen θ)2]dθ
)
=
∫ 0
−π
2
[
1+ 2 sen θ+ sen2 θ
]
dθ+
∫ π
6
0
[
1+ 2 sen θ− 8 sen2 θ
]
dθ
=
∫ 0
−π
2
[
3
2
+ 2 sen θ− cos 2θ
]
dθ+
∫ π
6
0
[−3+ 2 sen θ+ 4 cos 2θ]dθ
=
[
3
2
θ− 2 cos θ−
sen 2θ
2
∣∣∣∣θ=0
θ=−π
2
+
[
− 3θ− 2 cos θ+ 2 sen 2θ
∣∣∣θ=π6
θ=0
= −2+
3π
4
−
π
2
−
√
3+
√
3+ 2 =
π
4
�
Problema Resuelto 6.
Determine el área de la región encerrada entre las curvas de ecuaciones: r = 1+ cos θ y
r = 3 sen θ.
Solución.
Nuevamente, se deben encontrar los valores en los cuales las curvas son iguales. Para ello,
se debe resolver la siguiente ecuación trigonométrica:
1+ cos θ = 3 sen θ =⇒ (1+ cos θ)2 = (3 sen θ)2 =⇒ 1+ 2 cos θ+ cos2 θ = 9 sen2 θ
Usando el hecho de que: sen2 θ = 1− cos2 θ , se tiene que:
10 cos2 θ+ 2 cos θ− 8 = 0 =⇒ 5 cos2 θ+ cos θ− 4 = 0 =⇒ (5 cos θ− 4)(cos θ+ 1) = 0
lo cual nos proporciona dos soluciones:
cos θ =
4
5
y cos θ = −1
donde para la segunda, es evidente que θ = π , pero en el
primercaso, tenemos que el ángulo para el cual el coseno es 4
5
no
es tan trivial y para ello, se debe recordar el triángulo de ángulo
notable:
Donde tenemos que:
cos θ =
4
5
=⇒ θ = 37◦ =⇒ θ = 37π
180
7
Por tanto,
AR =
1
2
∫ 37π
180
0
[3 sen θ]2dθ+
1
2
∫π
37π
180
[1+ cos θ]2dθ
=
1
2
∫ 37π
180
0
[
9
2
(1− cos 2θ)
]
dθ+
1
2
∫π
37π
180
[
1+ 2 cos θ+
1
2
(1+ cos 2θ)
]
dθ
=
1
2
[
9
2
θ−
9
4
sen 2θ
∣∣∣∣ 37π180
0
+
1
2
[
3
2
θ+ 2 sen θ+
1
4
sen 2θ)
∣∣∣∣π
37π
180
=
[
9
4
θ−
9
4
sen θ cos θ
∣∣∣∣ 37π180
0
+
[
3
4
θ+ sen θ+
1
4
sen θ cos θ
∣∣∣∣π
37π
180
=
37π
80
−
27
20
+
3
4
π−
37π
240
−
3
4
−
3
20
=
127
120
π−
9
4
�
Problema Propuesto: Calcule el área de la región comprendida entre las circunferencias
r = 2 cos θ y r = 2 sen θ.
Problema Propuesto: Calcule el área de la región comprendida entre las circunferencias
r = 1 y r = 2 sen θ.
Problema Propuesto: Calcule el área de la región comprendida entre las curvas r = 2 y
r = 2(1− cos θ).
Problema Propuesto: Calcule el área de la región comprendida entre las curvas
r = 2(1+ cos θ) y r = 2(1− cos θ).
Problema Propuesto: Calcule el área de la región que es interior a la lemniscata
r2 = 6 cos 2θ y exterior a la circunferencia r =
√
3.
Problema Propuesto: Calcule el área de la región que es exterior a la lemniscata
r2 = 4 cos 2θ y exterior a la circunferencia r = 2 sen θ.
Problema Propuesto: Calcule el área de la región que es interior a la circunferencia
r = 3a cos θ y exterior al cardioide r = a+ a cos θ, con a > 0.
Problema Propuesto: Determine el área de la región encerrada por la rosa r = 4 sen 2θ.
8 Áreas y Longitudes en Curvas Polares
Longitud de Curvas Polares
Ahora bien, si se quiere medir una curva dada en coordenadas polares, debemos en
principio tratar de medir una curva plana dada en coordenadas paramétricas. Los resultados
que obtendremos se pueden extender a Rn, pero por ahora, nos concentraremos en R2.
Definición (Curvas paramétricas en el Plano).
Una curva paramétrica en el plano, es una aplicación (función vectorial) que trans-
forma números reales t ∈ [a, b] ⊆ R en puntos del plano, definida de la forma:
γ : [a, b] −→ R2
t 7−→ γ(t) = (f(t), g(t))
donde f, g : [a, b] −→ R, son funciones continuas. La imagen de γ es la curva en el
plano.
Si adicionalmente, pedimos que la curva sea regular, entonces diremos que γ es
derivable, lo que significa que f, g ∈ C 1(a, b) y donde f ′(t) y g ′(t) no se anulan para el
mismo valor de t ∈ [a, b]. Entonces, si consideramos una partición uniforme de [a, b], dada
por:
P = {a = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = b}
y consideramos los puntos sobre la curva de trayectoria γ generaos por estos puntos:
γ(t0), γ(t1), . . . , γ(tk−1), γ(tk), . . . , γ(tn), obtenemos que la longitud del k-ésimo segmento
es justamente:
d(Qk−1, Qk) = ‖γ(tk) − γ(tk−1)‖ =
√
[f(tk) − f(tk−1)]2 + [g(tk) − g(tk−1)]2
para cada k = 1, . . . , n. Como el Teorema de Lagrange vale para f y g en cada subintervalo
[tk−1, tk], obtenemos que existe wk ∈ [tk−1, tk], tal que:
f(tk) − f(tk−1) = f
′(wk)∆t y g(tk) − g(tk−1) = g ′(wk)∆t
de donde,
d(Qk−1, Qk) = ‖γ(tk) − γ(tk−1)‖ =
√
[f ′(wk)]2 + [g ′(wk)]2 ∆t
para cada k = 1, . . . , n.
9
Sumando todas estas longitudes, obtenemos que ña longitud de la poligonal, está dada
por:
LP =
n∑
k=1
d(Qk−1, Qk) =
n∑
k=1
‖γ(tk) − γ(tk−1)‖ =
n∑
k=1
√
[f ′(wk)]2 + [g ′(wk)]2 ∆t
Z OBSERVACIÓN b
Podemos notar que si γ es derivable, entonces es fácil ver que:
γ ′(t) = (f ′(t), g ′(t)), para todo t ∈ (a, b). Además,
‖γ ′(t)‖ =
√
[f ′(t)]2 + [g ′(t)]2
Por tanto,
d(Qk−1, Qk) = ‖γ(tk) − γ(tk−1)‖ =
√
[f ′(wk)]2 + [g ′(wk)]2 ∆t = ‖γ ′(wk)‖∆t
para cada k = 1, . . . , n y wk ∈ [tk−1, tk].
Teorema (Longitud de Arco).
Sea γ : [a, b] −→ R2, una curva paramétrica regular en R2. Entonces, la curva es
rectificable y además,
Lγ =
∫b
a
‖γ ′(t)‖dt =
∫b
a
√
[f ′(t)]2 + [g ′(t)]2dt
Demostración. La demostración se sigue de Riemann. �
Entendiendo, que toda curva en coordenadas polares es de la forma: r = f(θ), con
θ ∈ [α,β] y que bajo el sistema polar:{
x = r cos θ
y = r sen θ
=⇒ { x(θ) = f(θ) cos θ
y(θ) = f(θ) sen θ
de donde, r = f(θ) induce a una curva paramétrica γ(θ) = (x(θ), y(θ)) de parámetro θ
cuando hacemos la representación en el sistema polar.
En consecuencia,
‖γ ′(θ)‖ =
√
[x ′(θ)]2 + [y ′(θ)]2 =
√
[f ′(θ) cos θ− f(θ) sen θ]2 + [f ′(θ) sen θ+ (θ) cos θ]2
=
√
[f ′(θ)]2 cos2 θ+ [f ′(θ)]2 sen2 θ+ [f(θ)]2 sen2 θ+ [f(θ)]2 cos2 θ
=
√
[f ′(θ)]2 + [f(θ)]2
10 Áreas y Longitudes en Curvas Polares
Definición (Longitud en Coordenadas Polares).
Sea r = f(θ) una función polar tal que f ∈ C 1[α,β]. Entonces, la longitud de la curva,
es justamente:
L =
∫β
α
√
[f ′(θ)]2 + [f(θ)]2 dθ
Problema Resuelto 7.
Determine la longitud del cardioide r = 2+ 2 cos θ.
Solución.
Sabemos que r = f(θ) = 2 + 2 cos θ, para θ ∈ [0, 2π], de donde nos queda que:
f ′(θ) = −2 sen θ. Por tanto,
L =
∫ 2π
0
√
[2+ 2 cos θ]2 + [−2 sen θ]2 dθ = 2
∫π
0
√
4+ 8 cos θ+ 4 cos2 θ+ 4 sen2 θdθ
= 2
∫π
0
√
8+ 8 cos θdθ = 4
√
2
∫π
0
√
1+ cos θdθ = 4
√
2
∫π
0
√
1+ cos θ ·
√
1− cos θ√
1− cos θ
dθ
= 4
√
2
∫π
0
√
sen2 θ√
1− cos θ
dθ = 4
√
2
∫π
0
sen θ√
1− cos θ
dθ = 8
√
2
∫π
0
sen θ
2
√
1− cos θ
dθ
u = 1− cos θ =⇒ du = sen θdθ =⇒ { θ = 0 =⇒ u = 0
θ = π =⇒ u = 2
= 8
√
2
∫ 2
0
du
2
√
u
= 8
√
2
[√
u
∣∣∣u=2
u=0
= 8
√
2
√
2 = 16
�
Problema Resuelto 8.
Calcule el perímetro de la curva que delimita a la región que se encuentra dentro de la
circunferencia r = 2 sen θ y fuera del cardioide r = 2+ 2 cos θ.
Solución.
Apoyándonos en la gráfica del Problema 3, tenemos que la longitud de la curva está dada
por:
L =
∫π
π
2
√
[2 cos θ]2 + [2 sen θ]2 dθ+
∫π
π
2
√
[2+ 2 cos θ]2 + [−2 sen θ]2 dθ
= 2
∫π
π
2
dθ+ 2
√
2
∫π
π
2
√
1+ cos θdθ = π+ 4
√
2
∫π
π
2
sen θ
2
√
1− cos θ
dθ
u = 1− cos θ =⇒ du = sen θdθ =⇒ { θ = π2 =⇒ u = 1
θ = π =⇒ u = 2
= π+ 4
√
2
∫ 2
1
du
2
√
u
dθ = π+ 4
√
2
[√
u
∣∣∣u=2
u=1
= π+ 4
√
2
[√
2− 1
]
= π+ 8− 4
√
2
�
11
Problema Resuelto 9.
Determine la longitud de la espiral r = 2θ, donde θ ∈ [0, 4π].
Solución.
Sea f(θ) = 2θ =⇒ f ′(θ) = 2θ ln 2 y por tanto,√
[f(θ)]2 + [f ′(θ)]2 =
√
[2θ]2 + [2θ ln 2]2 = 2θ
√
1+ ln2 2
Finalmente,
L =
∫ 4π
0
√
[f(θ)]2 + [f ′(θ)]2dθ =
√
1+ ln2 2
∫ 4π
0
2θdθ
=
√
1+ ln2 2
[
2θ
ln 2
∣∣∣∣θ=4π
θ=0
=
(24π − 1)
√
1+ ln2 2
ln 2
�
Problema Resuelto 10.
Determine la longitud de la función r = sen3
(
θ
3
)
, para 0 ≤ θ ≤ 3π.
Solución.
Sea f(θ) = sen3
(
θ
3
)
=⇒ f ′(θ) = sen2 (θ
3
)
cos
(
θ
3
)
y por tanto,
√
[f(θ)]2 + [f ′(θ)]2 =
√[
sen3
(
θ
3
)]2
+
[
sen2
(
θ
3
)
cos
(
θ
3
)]2
= sen2
(
θ
3
)
Finalmente,
L =
∫ 3π
0
√
[f(θ)]2 + [f ′(θ)]2dθ =
∫ 3π
0
sen2
(
θ
3
)
dθ =
1
2
∫ 3π
0
(
1− cos
(
2θ
3
))
dθ
=
1
2
[
θ−
3 sen
(
2θ
3
)
2
∣∣∣∣∣
θ=3π
θ=0
=
3π
2
�
Problema Propuesto: De una fórmula para obtener el perímetro de la región del Problema
Resuelto 6.
ING-CALC-II/Aplicaciones en Coordenadas Polares/APT/2019/LATEX
	1 Áreas y Longitudes en Curvas Polares