Reglas de integración - Maria Vimos

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Reglas de integración 
Formas Integración 
∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶 
 
∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = {
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶 𝑛 ≠ −1
𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶 𝑛 = −1
 
∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑎𝑥𝑑𝑥 =
𝑎𝑥
ln 𝑎
+ 𝐶 , 𝑎 ≠ 1, 𝑎 > 0 
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 ∫ sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 𝑥 + 𝐶 
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 ∫ csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 = − csc 𝑥 + 𝐶 
∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 𝑥 + 𝐶 ∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = ln|cos 𝑥| + 𝐶 
∫ csc2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶 ∫ cot 𝑥 𝑑𝑥 = ln|𝑠𝑒𝑛 𝑥| + 𝐶 
∫
1
√𝑎2 − 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 (
𝑥
𝑎
) + 𝐶 ∫
1
𝑎2 + 𝑥2
𝑑𝑥 =
1
𝑎
𝑡𝑎𝑛−1 (
𝑥
𝑎
) + 𝐶 
∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 𝑑𝑥 = cosh 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 𝑑𝑥 = senh 𝑥 + 𝐶 
∫
1
𝑥 √𝑥2 − 𝑎2
𝑑𝑥 =
1
𝑎
𝑠𝑒𝑐−1 (
|𝑥|
𝑎
) + 𝐶 =
1
𝑎
𝑐𝑜𝑠−1 (
𝑎
|𝑥|
) + 𝐶 
 
 
Teorema de la Regla de la Cadena para antiderivación 
Sea g una función diferenciable y sea el contradominio de g algún intervalo 
I. Suponga que f es una función definida en I que F es una antiderivada de 
f en I. Entonces ∫ 𝑓(𝑔(𝑥))[𝑔´(𝑥)𝑑𝑥] = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝐶 
 
Teorema Regla de la Potencia de Funciones 
Si g es una función diferenciable y n es un número racional, entonces 
∫ 𝑓[𝑔(𝑥)]𝑛[𝑔´(𝑥)𝑑𝑥] =
[𝑔(𝑥)]𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶 𝑛 ≠ −1 
Ejemplo: 
∫ √5𝑥 + 3 𝑑𝑥 = ∫(5𝑥 + 3)
1
2𝑑𝑥 
𝑔(𝑥) = 5𝑥 + 3 
𝑔´(𝑥) = 5𝑑𝑥 
 
∫(5𝑥 + 3)
1
2𝑑𝑥 = 
1
5
∫(5𝑥 + 3)
1
2(5𝑑𝑥) =
1
5
(5𝑥 + 3)
1
2
+1
1
2 + 1
+ 𝐶
=
2
15
(5𝑥 + 3)
3
2 + 𝐶 
 
Teorema Sustitución en Integrales indefinidas 
Sea g una función derivable y supóngase que F es un antiderivada de f. 
entonces, si 𝑢 = 𝑔(𝑥) 
∫ 𝑓(𝑔(𝑥))[𝑔´(𝑥)𝑑𝑥] = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝐶 
Ejemplos: 
∫
𝑒3𝑥 + 1
𝑒2𝑥
 𝑑𝑥 = ∫
𝑒3𝑥
𝑒2𝑥
𝑑𝑥 + ∫
1
𝑒2𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑒−2𝑥𝑑𝑥 
 
𝑢 = 𝑒𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 
∫ 𝑒−2𝑥𝑑𝑥 = ∫(𝑒𝑥)−2𝑑𝑥 = ∫(𝑒𝑥)−3 𝑒𝑥𝑑𝑥 = ∫(𝑢)−3 𝑑𝑢
= (
𝑢−3+1
−3 + 1
) + 𝐶 = (
𝑢−2
−2
) + 𝐶 = −
1
2
𝑢−2 + 𝐶 
Devolver el cambio 
 
∫ 𝑒−2𝑥𝑑𝑥 = −
1
2
(𝑒𝑥)−2 + 𝐶 
Respuesta 
∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑒−2𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 −
1
2
(𝑒𝑥)−2 + 𝐶 = 𝑒𝑥 −
1
2𝑒2𝑥
+ 𝐶 
 
 
∫
𝑒3𝑥 + 1
𝑒2𝑥
 𝑑𝑥 
 
𝑢 = 𝑒𝑥 
ln (𝑢) = ln (𝑒𝑥) 
ln (𝑢) = x 
1
𝑢
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
∫
𝑢3 + 1
𝑢2
(
1
𝑢
 𝑑𝑢) = ∫
𝑢3 + 1
𝑢3
𝑑𝑢 = ∫(𝑒𝑥)−3 𝑒𝑥𝑑𝑥
= ∫(𝑢)−3 𝑑𝑢 = (
𝑢−3+1
−3 + 1
) + 𝐶 = (
𝑢−2
−2
) + 𝐶
= −
1
2
𝑢−2 + 𝐶 
Devolver el cambio 
∫ 𝑒−2𝑥𝑑𝑥 = −
1
2
(𝑒𝑥)−2 + 𝐶 
 
Respuesta 
∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑒−2𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 −
1
2
(𝑒𝑥)−2 + 𝐶 = 𝑒𝑥 −
1
2𝑒2𝑥
+ 𝐶 
 
 
∫ 𝑥 √5 − 3𝑥2
3
 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥(5 − 3𝑥2)
1
3 𝑑𝑥 
 
𝑢 = 5 − 3𝑥2 
𝑑𝑢 = −6𝑥𝑑𝑥 
∫ 𝑥(5 − 3𝑥2)
1
3 𝑑𝑥 =
1
−6
∫ −6𝑥(5 − 3𝑥2)
1
3 𝑑𝑥 = −
1
6
∫(𝑢)
1
3 𝑑𝑢
= −
1
6
(
𝑢
1
3+1
1
3 + 1
) + 𝐶 = −
1
6
(
𝑢
4
3
4
3
) + 𝐶
= −
3
24
√𝑢4
3
+ 𝐶 
 
Devolver el cambio 
 
∫ 𝑥 √5 − 3𝑥2
3
 𝑑𝑥 = −
1
8
√(5 − 3𝑥2)4
3
+ 𝐶 
 
 
∫ √𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑑𝑥 
 
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 
 
∫ √𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢
1
2 𝑑𝑢 =
𝑢
1
2+1
1
2 + 1
+ 𝐶 =
𝑢
3
2
3
2
+ 𝐶 =
2
3
√𝑢3 + 𝐶 
 
Devolver el cambio 
∫ √𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑑𝑥 =
2
3
√𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 𝐶 
Problemas: 
El costo marginal de producir x centenas de juguetes es de (20 + 𝑥3 +
3
𝑥2
) (𝑥2 −
2𝑥−3) y el costo total de producir 2 centenas es de $500. Determinar la 
función del costo total y estimar el costo de producir 5 centenas. 
𝐶(𝑥) = ∫ (20 + 𝑥3 +
3
𝑥2
) (𝑥2 − 2𝑥−3)𝑑𝑥 
∫ (20 + 𝑥3 +
3
𝑥2
) (𝑥2 − 2𝑥−3)𝑑𝑥 
 
𝑢 = 20 + 𝑥3 + 3𝑥−2 
𝑑𝑢 = 3𝑥2 − 6𝑥−3 𝑑𝑥 
𝑑𝑢 = 3(𝑥2 − 2𝑥−3) 𝑑𝑥 
1
3
∫ (20 + 𝑥3 +
3
𝑥2
) 3(𝑥2 − 2𝑥−3)𝑑𝑥 =
1
3
∫ 𝑢 𝑑𝑢 =
1
3
(
𝑢1+1
1 + 1
) + 𝐶
=
1
3
(
𝑢2
2
) + 𝐶 =
1
6
𝑢2 + 𝐶 
Devolver el 
cambio 
∫ (20 + 𝑥3 +
3
𝑥2
) (𝑥2 − 2𝑥−3)𝑑𝑥 =
1
6
(20 + 𝑥3 +
3
𝑥2
)
2
+ 𝐶 
 
 
𝐶(𝑥) =
1
6
(20 + 𝑥3 +
3
𝑥2
)
2
+ 𝐶 
500 =
1
6
(20 + (2)3 +
3
(2)2
)
2
+ 𝐶 
500 =
1
6
(20 + 8 + 0,75)2 + 𝐶 = 
500 = 137,76 + 𝐶 
𝐶 = 500 − 137,76 
𝐶 = 362,24 
 
𝐶(𝑥) =
1
6
(20 + 𝑥3 +
3
𝑥2
)
2
+ 362,24 
 
𝐶(5) =
1
6
(20 + 53 +
3
52
)
2
+ 362,24 
𝐶(5) = 3872,21 
 
Problema: 
El número de individuos infectados con el COVID-19 está aumentando a razón 
de 𝑝(𝑡) = (3𝑡2 − 5)𝑡 individuos por día t, días desde el primero de marzo de 
2020. En esta fecha había 1962 individuos infectados. ¿Cuál es el número 
total de individuos infectados al tiempo t? 
Total de individuos 𝑝(𝑡) = ∫(3𝑡2 − 5)𝑡𝑑𝑡 
 
∫(3𝑡2 − 5)𝑡𝑑𝑡 
𝑢 = 3𝑡2 − 5 
𝑑𝑢 = 6𝑡 𝑑𝑡 
 
1
6
∫(3𝑡2 − 5)6𝑡𝑑𝑡 =
1
6
∫ 𝑢 𝑑𝑢 =
1
6
(
𝑢1+1
1 + 1
) + 𝐶 =
1
6
(
𝑢2
2
) + 𝐶
=
1
12
𝑢2 + 𝐶 
Devolver el cambio 
∫(3𝑡2 − 5)𝑡𝑑𝑡 =
1
12
(3𝑡2 − 5)2 + 𝐶 
 
𝑝(𝑡) =
1
12
(3𝑡2 − 5)2 + 𝐶 
𝑝(0) =
1
12
(3(0)2 − 5)2 + 𝐶 = 1962 
𝐶 = 1962 −
25
12
≈ 1960 
 
𝑝(𝑡) =
1
12
(3𝑡2 − 5)2 + 1960 
 
Se lanza una piedra hacia arriba a una velocidad de 50m/s 
1. Determinar la velocidad de la piedra en función del tiempo. 
2. ¿Con que rapidez y en qué dirección se mueve pasados de 7 segundos? 
3. Determinar la posición de la piedra en función del tiempo 
4. ¿Dónde estará pasado los 5 segundos? 
1. 𝑎(𝑡) = −9,8
𝑚
𝑠2
 
𝑣(𝑡) = ∫ −9,8 𝑑𝑡 = −9,8𝑡 + 𝐶 
𝑡 = 0, 𝑣(0) = 50 
𝑣(0) = −9,8(0) + 𝐶 = 50 
𝐶 = 50 
𝑣(𝑡) = −9,8𝑡 + 50 
𝑣(7) = −9,8(7) + 50 = −68,6 + 50 = −18,6
𝑚
𝑠
 
2. Después de 7 segundos la piedra está cayendo a una velocidad de 18,6 
m/s 
3. Para la posición es necesario hallar la antiderivada de la velocidad 
𝑠(𝑡) = ∫(−9,8𝑡 + 50) 𝑑𝑡 = −9,8 ∫ 𝑡 𝑑𝑡 + 50 ∫ 𝑑𝑡 = −9,8 
𝑡2
2
+ 50𝑡 + 𝐶 = −4,9𝑡2 + 50𝑡 + 𝐶 
𝑠(0) = 0 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 
𝑠(𝑡) = −4,9𝑡2 + 50𝑡 + 𝐶 
𝑠(𝑡) = −4,9𝑡2 + 50𝑡 
𝑠(7) = −4,9(7)2 + 50(7) = −109,9 𝑚 
La piedra está a 109,9 metros abajo del lugar donde fue lanzada 
ORGANIZADOR GRÁFICO 
 
PRÁCTICA 
N° de 
lista 
INTEGRALES Resuelva aplicando cambio de variable 
Ejemp
lo 
∫ 𝑥 √5 − 3𝑥2
3
 𝑑𝑥 
𝑢 = 5𝑥 − 1 
𝑑𝑢 = 5𝑑𝑥 
 
∫(5𝑥 − 1)
1
2 𝑑𝑥 =
1
5
∫(5𝑥 − 1)
1
2 5𝑑𝑥 =
1
5
∫(𝑢)
1
2 𝑑𝑢
=
1
5
(
𝑢
1
2
+1
1
2 + 1
) + 𝐶 =
1
5
(
𝑢
3
2
3
2
) + 𝐶
=
2
15
√𝑢3 + 𝐶 
Devolver el cambio 
∫ √5𝑥 − 1 𝑑𝑥 =
2
15
√(5𝑥 − 1)3 + 𝐶 
1 
∫(𝑥 − 2)5𝑑𝑥 
 
2 
∫ 𝑥2√𝑥3 + 4 𝑑𝑥 
 
 
3 
∫
𝑥
𝑥2 + 4
𝑑𝑥 
 
4 
∫
𝑥 + 1
9𝑥2 + 18𝑥 + 10
 𝑑𝑥 
 
5 
∫
𝑑𝑥
𝑥√2𝑥2 − 9
 
Cambio 
trigonométrico 
 
6 ∫
2𝑥2
2𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
 
7 
∫
𝑒𝑥
2 + 𝑒𝑥
𝑑𝑥 
 
8 
∫
𝑥3
𝑥4 + 4
𝑑𝑥 
 
 
9 ∫
𝑥
√3𝑥2 + 1
𝑑𝑥 
 
10 ∫
𝑥
𝑥2 + 4
 𝑑𝑥 
 
11 
∫
𝑥
√𝑥 + 3
𝑑𝑥 
 
12 ∫ 𝑥√𝑥 + 2 𝑑𝑥 
 
13 ∫
𝑥3
(4 + 𝑥2)
3
2
𝑑𝑥 
 
14 ∫ √1 − 4𝑥 𝑑𝑥 
 
16 ∫ 3𝑥√4 − 𝑥2𝑑𝑥 
 
17 ∫ 𝑥(2𝑥2 + 1)6𝑑𝑥 
 
18 
∫
𝑡𝑎𝑛𝑥
√sec2 𝑥 − 4
𝑑𝑥 
 
19 ∫
1
√16 + 6𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑥 
 
20 ∫(𝑥2 − 4𝑥 + 4) 
4
3𝑑𝑥 
 
21 ∫
𝑥3
(1 − 2𝑥4)5
𝑑𝑥 
 
22 ∫
5
√9 − 4𝑥2
𝑑𝑥 
 
24 ∫
𝑥3 + 7𝑥
𝑥 − 1
𝑑𝑥 
 
25 ∫
x3
(𝑥2 + 4)
3
2 
𝑑𝑥 
 
26 
∫
3 − 𝑥
√16 + 6𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑥 
 
27 ∫(x + 1)2√3 + 𝑥 𝑑𝑥 
 
28 ∫
3𝑥2 + 2𝑥
𝑥 + 1
𝑑𝑥 
 
29 
∫
𝑥 + 3
(3 − 𝑥)
2
3
𝑑𝑥 
 
30 
∫ 𝑥(𝑥2
+ 1)√4 − 𝑥4 − 2𝑥2𝑑𝑥 
 
31 
La función de costo 
marginal para un 
artículo particular 
está dada por 
𝐶´(𝑥) = 3(5𝑥 + 4)−
1
2. Si 
el costo general es 
de $10, determine 
la función de costo 
total. 
∫
3
√5𝑥 + 4
 𝑑𝑥 
 
32 
Para cierta 
mercancía la 
función de costo 
margina está dada 
por 𝐶´(𝑥) = 3(2𝑥 + 4)
1
2. 
Si el costo general 
es de cero, 
determine la 
función de costo 
total 
 
33 ∫
3𝑒2𝑥
√1 − 𝑒2𝑥
𝑑𝑥 
 
34 ∫
sec2(𝑙𝑛𝑥)
2𝑥
𝑑𝑥 
 
1-2-
20 
∫ sen x sen (cosx)𝑑𝑥 
 
3-4-
21 
∫ sec 𝑥 tan 𝑥 cos(sec 𝑥) 𝑑𝑥 
 
5-6-
22 
∫
x3
√1 − 2𝑥2
𝑑𝑥 
 
7-8-
24 ∫
(√𝑥
3
+ 2)
4
√𝑥2
3 𝑑𝑥 
 
9-10-
25 
Si x unidades son 
demandadas cuando 
el precio por 
unidad es de p 
dólares, obtenga 
una ecuación que 
contenga a p y x 
(la ecuación dedemanda) de una 
mercancía por la 
cual la función de 
ingreso marginal 
está dada por 
𝑅´(𝑥) = 4 + 10(𝑥 + 5)−2. 
 
11-
12-26 
La función de 
ingreso marginal 
para un artículo 
particular está 
definida por 𝑅´(𝑥) =
𝑎𝑏(𝑥 + 𝑏)−2 − 𝑐. 
Determine la 
función de ingreso 
total, y una 
ecuación que tenga 
a p y x (la 
ecuación de 
demanda) donde x 
unidades son 
demandadas cuando 
el precio por 
unidad es p 
dólares. 
 
13-
14-27 
∫
1 + cos 2𝑥
𝑠𝑒𝑛22𝑥
𝑑𝑥 
 
16-
17-28 
∫ x4√3𝑥5 − 5𝑑𝑥 
 
18-
19-29 
∫ 𝑥2(𝑥3 − 1)10𝑑𝑥 
 
30-
31-32 
Se lanza una piedra 
hacia arriba a una 
velocidad de 80m/s 
1. Determinar la 
velocidad de la 
piedra en función 
del tiempo. 
2. ¿Con que 
rapidez y en qué 
dirección se mueve 
pasados de 7 
segundos? 
3. Determinar la 
posición de la 
piedra en función 
del tiempo 
4. ¿Dónde estará 
pasado los 5 
segundos? 
 
33-34 
El número de 
individuos 
infectados con el 
COVID-19 está 
aumentando a razón 
de 𝑝(𝑡) = (5𝑡3 − 3𝑡) 
individuos por día 
t, días desde el 
primero de marzo de 
2020. En esta fecha 
había 1962 
individuos 
infectados. ¿Cuál 
es el número total 
de individuos 
infectados al 
tiempo t?