INTEGRACION POR PARTES - Maria Vimos

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MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 
Integración por partes 
El método de integración por partes permite resolver integrales de funciones 
que pueden expresarse como el producto de una función por la derivada de 
otra. Para ello se partirá de la regla para derivar un producto de dos 
funciones. 
Es decir: 
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]´ = 𝑓´(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥) 
Integramos a ambos lados 
∫[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]´ 𝑑𝑥 = ∫[𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥) + 𝑓´(𝑥)𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 
𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓´(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 
Despejando 
∫ 𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − ∫ 𝑓´(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 
Ejemplos: 
∫ 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓´(𝑥) = 1 
𝑔´(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 
 
∫ 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥𝑥 − ∫ 1 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶 = 𝑒𝑥(𝑥 − 1) + 𝐶= 
 
 
∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 
𝑓(𝑥) = ln 𝑥 
𝑓´(𝑥) =
1
𝑥
 
𝑔´(𝑥) = 1 𝑔(𝑥) = 𝑥 
 
∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ ln 𝑥 − ∫ 𝑥 (
1
𝑥
) 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝐶 = 𝑥(ln 𝑥 − 1) + 𝐶 
 
 
∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓´(𝑥) = 1 
𝑔´(𝑥) = cos 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − ∫ 1 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶 
 
 
∫ 𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑓´(𝑥) = 2𝑥 
𝑔´(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 
 
∫ 𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥 − 2 ∫ 𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓´(𝑥) = 1 
𝑔´(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 
∫ 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑒𝑥 − ∫ 1 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶 
∫ 𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥 − 2[𝑥 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥] + 𝐶 = 𝑥2 𝑒𝑥 − 2𝑥 𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥 + 𝐶
= 𝑒𝑥[𝑥2 − 2𝑥 + 2] + 𝐶 
 
∫ 𝑥9(6 − 3𝑥5)
1
2 𝑑𝑥 
𝑢 = 6 − 3𝑥5 
𝑑𝑢 = −15𝑥4𝑑𝑥 
 
−
1
15
∫ 𝑥5(−15𝑥4)(6 − 3𝑥5)
1
2 𝑑𝑥 = −
1
45
∫(6 − 𝑢)(𝑢)
1
2 𝑑𝑢 
𝑓(𝑥) = 6 − 𝑢 𝑓´(𝑥) = −1 
𝑔´(𝑥) = 𝑢
1
2 𝑔(𝑥) =
2
3
𝑢
3
2 
 
−
1
45
∫(6 − 𝑢)(𝑢)
1
2 𝑑𝑢 = −
1
45
[(6 − 𝑢)
2
3
𝑢
3
2 +
2
3
∫ 𝑢
3
2𝑑𝑥]
= −
1
45
[
2
3
(6 − 𝑢)𝑢
3
2 +
2
3
𝑢
5
2
5
2
] + 𝐶 = −
1
45
[
2
3
(6 − 𝑢)𝑢
3
2 +
4
15
𝑢
5
2] + 𝐶 
Devolvemos el 
cambio 
 
= −
1
45
[
2
3
(6 − (6 − 3𝑥5))(6 − 3𝑥5)
3
2 +
4
15
(6 − 3𝑥5)
5
2] + 𝐶 
−
1
45
[
2
3
(−3𝑥5)(6 − 3𝑥5)
3
2 +
4
15
(6 − 3𝑥5)
5
2] + 𝐶 
2
45
𝑥5√(6 − 3𝑥5)3 −
4
675
√(6 − 3𝑥5)5 + 𝐶 
 
 
Actividades y tarea 
INTEGRACIÓN POR PARTES 
∫ 𝑥 sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑑𝑥 
∫ cos 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑥5𝑒2𝑥 𝑑𝑥 ∫ ln (𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 
∫ 𝑥 sec2 𝑥 𝑑𝑥 ∫
𝑥𝑒𝑥
(𝑥 + 1)2
𝑑𝑥 ∫ 𝑥 tan−1 𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑥𝑒3𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥