COLOQUIO 3

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UNL. FBCB. 
QUÍMICA ANALÍTICA II AÑO 2018 
COLOQUIO 3 
CIFRAS DE MÉRITO 
 
CALIBRACIÓN UNIVARIADA 
Cuando se va a cuantificar una sola sustancia, el incremento en la señal analítica, se produce por el 
incremento de la concentración de dicha sustancia, esto significa que la única variable independiente es la 
concentración, por lo que este tipo de calibración se llama univariada. 
Para encontrar la relación matemática entre la concentración del analito y la señal analítica generalmente se 
realiza un ajuste lineal por cuadrados mínimos. 
 
REGRESIÓN LINEAL 
Las etapas que deben seguirse en un análisis mediante recta de calibrado son: 
 Determinación del extremo superior del rango lineal (rango de concentraciones de trabajo). 
 Preparación de patrones. 
 Medición de la respuesta instrumental de los patrones. 
 Estimación de los parámetros de la regresión. 
 Cálculo de las cifras de mérito del método. 
 Predicción en muestras incógnitas. 
 
Las expresiones matemáticas que se presentan a continuación y su empleo en el análisis univariado están 
tomadas, en general, del trabajo de referencia clásico de Danzer y Currie, preparado para la Unión 
Internacional de Química Pura y Aplicada (IUPAC). 
 
Medición de la respuesta de los patrones 
Una vez preparados los patrones de concentración conocida, se miden sus respuestas analíticas, 
incluyendo réplicas de cada medición. Cada patrón se mide por triplicado. 
Es importante establecer la siguiente nomenclatura: si se emplean 6 patrones, cada uno por triplicado, 
entonces el número de niveles diferentes de concentración (p) es 6, el número de réplicas (n) es 3 y el 
número total de puntos de la recta de calibrado (m) es 18. 
 
Estimación de los parámetros de la regresión 
Para aplicar el método estadístico de cuadrados mínimos al realizar una regresión lineal se deben tener en 
cuenta los siguientes supuestos (Figura 1): 
2 
 
1. Se producen errores sólo en la variable y . 
2. El error en la señal tiene una distribución normal. 
3. Existe homoscedasticidad. 
4. La recta pasa por el centroide )Y,X( 
 
 
Figura 1. Homoscedasticidad y recta que pasa por el centroide. 
El análisis de los datos de calibrado mediante regresión lineal implica el cálculo de la pendiente (A) y 
ordenada al origen (B) de la recta ajustada a la ecuación y = A x + B. 
Además debe calcularse el parámetro Sy/x, el cual es el desvío estándar de los residuos de la regresión y 
está dado por: 
 
 
 (1) 
 
Donde: yi es la respuesta experimental de cada patrón de calibrado. 
 i representa la respuesta estimada en cada punto, esto es, i = A xi + B. 
 
En la ecuación se emplean m – 2 grados de libertad, ya que hay m datos disponibles, y 2 parámetros 
estimados en la regresión (A y B). 
Estos parámetros estadísticos también dan una idea de la bondad de la regresión. Es deseable que Sy/x 
sea lo más pequeña posible; no obstante su valor está limitado por el ruido instrumental. 
 
Predicción en muestras incógnita 
Los valores de A y B se requieren para realizar predicciones en muestras incógnitas, a través de la 
ecuación: 
Y inc = A.X inc + B (2) 
2m
)y(y
SS
m
1i
2
ii
fitx/y
3 
 
 
De la que puede obtenerse la concentración estimada del analito en la muestra: 
Xinc = (YInc – B) / A (3) 
 
Donde: YInc es un promedio de las respuestas obtenidas para un determinado número de réplicas de la 
incógnita (habitualmente tres). 
 
Sin embargo, un resultado no es tal si no está acompañado por su correspondiente nivel de incertidumbre: 
Cincógnita = Ccalculada ± ∆C (4) 
 
Para informar Xinc con su incertidumbre asociada, y establecer su número correcto de cifras significativas, 
es necesario calcular el error estándar en la concentración predicha S(Xinc), lo cual se lleva a cabo 
mediante la siguiente expresión: 
 
 
 (5) 
 
 
Donde: Sy/x o Sfit es el desvío estándar de los residuos de la regresión dado por la ecuación (1). 
A es la pendiente de la recta de regresión. 
n es el número de réplicas de la muestra incógnita. 
m es el número total de patrones de calibrado. 
YInc es el promedio de las respuestas de las réplicas de la incógnita. 
 es el promedio de las respuestas de los patrones de calibrado. 
 
A partir de la ecuación (5) se desprende que la incertidumbre en la predicción depende de cada muestra y 
no de la calibración en forma global, ya que para cada muestra incógnita hay un valor predicho de 
concentración (Xinc) y por lo tanto un valor asociado del desvío estándar S(Xinc). La forma de la ecuación 
(5) proviene de un análisis de la propagación de las distintas fuentes de error a la concentración predicha. 
Puede demostrarse que hay dos fuentes principales de incertidumbre: 1) la señal medida para la muestra 
incógnita y 2) las señales medidas para las muestras de calibrado. 
La primera contribuye con el término (1/n) dentro de la raíz cuadrada de la ecuación (1), y la segunda con 
los términos 
2)x(x
2)x(x
m
1
i
inc
 
 
2)x(x
2)x(x
n
1
m
1
A
fit
S
2)x(x2A
2)Y(y
n
1
m
1
A
fit
S
x
S
i
inc
i
inc
inc
4 
 
Que colectivamente reciben el nombre de leva (del inglés leverage). La leva (Figura 2) mide, de algún 
modo, la "distancia" de la muestra incógnita al centro de la calibración. Dado que la leva es mínima cuando 
la concentración de la muestra incógnita es igual al promedio de las concentraciones de calibrado (esto es, 
cuando Xinc = ), se concluye que el método posee su máxima precisión en este último caso. De ahí que 
se recomiende analizar muestras cuya concentración de analito sea cercana al centro de las 
concentraciones de calibrado. La extrapolación a concentraciones mucho mayores o menores que el 
promedio de la calibración aumenta la leva y con ello el error en la predicción. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Otra conclusión que puede extraerse de la ecuación (5) es que el efecto de la calibración sobre el error de 
predicción es también menor si n < m, es decir, cuando el número de patrones de calibrado es superior al 
de réplicas empleadas para predecir. 
 
Debe notarse finalmente que el intervalo de confianza para la concentración predicha puede calcularse 
multiplicando el valor del desvío estándar dado por la ecuación (1) por el correspondiente coeficiente de 
student, para un dado nivel de confianza (usualmente 95%) y un número de grados de libertad igual a (m – 
2). 
ΔC = S(Xinc). t 
Cifras de mérito del método 
Las cifras de mérito de un método analítico se utilizan regularmente con el propósito de calificar un 
determinado método y comparar sus propiedades analíticas con las provistas por otras técnicas. Incluyen, 
entre otras, las siguientes (Figura 3): 
Concentración
S
e
ñ
a
l 
A
n
a
lí
ti
c
a
0 1 2 3 4 5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
Figura 2. Representación de la leva. La leva mide, de algún modo, la "distancia" de la 
muestra incógnita al centro de la calibración. En la figura pueden observarse una serie de 
líneas: la línea central (llena) corresponde a la recta de regresión; las líneas de puntos, 
cercanas a la recta corresponden al intervalo de confianza de la regresión; y las líneas 
cortadas, más alejadas, corresponden al límite de predicción. 
 
 
5 
 
 Sensibilidad de calibración 
 Sensibilidad analítica 
 Límite de detección 
 Límite de cuantificación 
 Rango dinámico 
 Rango lineal 
 
Sensibilidad de calibración (SEN) 
La sensibilidad de calibración es igual a la pendiente de la recta de calibrado (Figura 3): 
SEN = A 
 
Indica la variación de respuesta producida por una unidad de variación de concentración del analito,y sus 
unidades son: señal x concentración-1 
 
 
 
 
 
 
 
Sensibilidad analítica (γ) 
La sensibilidad de calibración no es adecuada para comparar dos métodos analíticos cuando estos están 
basados en respuestas de diferente naturaleza (por ejemplo, absorbancia y fluorescencia, o absorbancia y 
medidas electroquímicas, etc.). Para ello es preferible utilizar la llamada sensibilidad analítica γ, definida por 
la relación entre la sensibilidad y el ruido instrumental: 
γ = SEN / Sy (6) 
 
 
donde: Sy es una medida conveniente del nivel de incertidumbre en la respuesta. Para estimarlo se utiliza 
la ecuación (7): 
Figura 3. Comparación de dos curvas de calibrado con diferente 
sensibilidad en la repuesta. Se representan dos rectas donde la 
correspondiente a la línea continua tiene mayor sensibilidad que la 
de línea de puntos, ya que su pendiente es mayor. 
6 
 
pm
)y(y
S
p
1i
2
i
n
1j
ij
y
 
 
(7) 
 
 
yij es el valor de la respuesta correspondiente a cada nivel y réplica y yi es el promedio de las respuestas 
de las réplicas para cada nivel de concentración. 
Otra forma de estimar el ruido instrumental es a partir del parámetro ya definido Sfit, es decir, es desvío 
estándar de los residuos de la regresión lineal. 
 
Límite de detección (LOD) 
Es la mínima concentración detectable de manera confiable por la técnica. En la definición moderna, el 
límite de detección (LOD) se calcula en función del desvío estándar de la concentración predicha para una 
muestra blanco (S0). Para estimar S0 se recurre a la ecuación (1), escrita del siguiente modo: 
 
(8) 
 
Si suponemos que se analiza una muestra por triplicado (lo más usual es n = 3) en la que el analito no está 
presente (Xinc = 0), la ecuación (8) se reduce a: 
 
(9) 
Aunque S0 será diferente si se emplea un número diferente de réplicas. En todo caso, es importante 
informar qué valor de n se considera en el cálculo de S0 y por lo tanto del LOD. 
 
En la práctica, se utiliza la siguiente ecuación para aproximar el límite de detección, definición que ha sido 
adoptada por IUPAC e ISO. 
 
LOD = 3,3 S0 (10) 
 
Límite de cuantificación (LOQ) 
Es la mínima concentración cuantificable en forma confiable. Este parámetro (LOQ) se toma como la 
concentración correspondiente a 10 veces el desvío estándar (en unidades de concentración) del blanco, 
con lo cual: 
LOQ = 10 S0 (11) 
2)x(x
2x
m
1
3
1
A
fit
S
S
i
0
2)x(x
2)x(x
n
1
m
1
A
fit
S
x
S
i
inc
inc
7 
 
Rango dinámico 
Se considera que va desde la menor concentración detectable (LOD) hasta la pérdida de relación entre 
respuesta y concentración. 
 
Rango lineal 
Se considera que el rango lineal comprende desde la menor concentración que puede medirse (LOQ) hasta 
la pérdida de la linealidad. 
 
 
Figura 4. Rangos dinámico y lineal de un método analítico. 
GUÍA DE PROBLEMAS 
 
PROBLEMA 1 
a) Graficar los datos y determinar mediante la ecuación de la recta la concentración de la muestra 
incógnita. Las señales obtenidas para la muestra incógnita se informan en la tabla. Calcular el ΔC y 
determinar la concentración con su respectivo error. 
 
b) Calcular las cifras de mérito: Sensibilidad analítica (γ), sensibilidad de calibración (SEN), límite de 
detección (LOD) y límite de cuantificación (LOQ). 
 
Concentración(ppm) 
(pp(p(ppm) 
Señal Analítica 
0 0,000 
0 0,000 
0 0,000 
1 0,150 
1 0,151 
Concentración(ppm) Señal Analítica 
0 0,000 
0 0,000 
0 0,000 
2 0,133 
2 0,134 
8 
 
1 0,155 
2 0,303 
2 0,305 
2 0,309 
3 0,452 
3 0,456 
3 0,453 
4 0,602 
4 0,604 
4 0,609 
5 0,759 
5 0,755 
5 0,755 
 
C Muestra 0,375 
C Muestra 0,370 
C Muestra 0,371 
 
2 0,136 
4 0,266 
4 0,267 
4 0,266 
6 0,400 
6 0,401 
6 0,399 
8 0,533 
8 0,535 
8 0,531 
10 0,669 
10 0,666 
10 0,663 
C Muestra 0,320 
C Muestra 0,325 
C Muestra 0,328 
 
 
 
PROBLEMA 2 
Se dispone de los siguientes datos analíticos (Método 1): 
Concentración (pmoles) Señal Analítica 
0 0 
0 0 
0 0 
100 0,187 
100 0,181 
100 0,184 
200 0,437 
200 0,451 
200 0,465 
400 0,944 
400 1,105 
400 1,025 
800 2,361 
800 2,169 
800 1,976 
1200 3,876 
1200 3,538 
1200 3,200 
1600 4,450 
9 
 
1600 5,401 
1600 4,926 
 
a) Realizar el gráfico señal analítica versus concentración. 
b) Determinar SEN y γ. El error estándar del estadístico (Sfit) es 0,226194. 
c) Determinar LOD, LOQ y Rango lineal. 
d) Para el mismo número de datos n y m, determine qué sucedería si los puntos de la variable 
independiente (x = conc.) son los siguientes: 0, 300, 600, 900, 1200 y 1500. Realice los 
cálculos necesarios y explique. (Dato = suponga Sfit constante 0,226194). 
e) Se llevó a cabo una nueva determinación analítica (Método 2), realizando un tratamiento 
químico de los estándares y la muestra que resultaron en un aumento de la respuesta y por lo 
tanto en un incremento de la sensibilidad del ensayo (A- pendiente de la recta de calibrado = 
0,009276). Suponiendo que el error estándar del estadístico se mantiene constante, calcule 
nuevamente las cifras de mérito LOD, LOQ y Rango Lineal. 
1. Explique por qué ocurre esta variación en las cifras de mérito. 
2. Indique cuál método elegirá finalmente (1 o 2) (explique brevemente).