Física Cuántica Y Teoría Del Estado Sòlido

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Física cuántica y teoría del estado sólido 
 
Ondas mecánicas 
 
Experiencia de deformación de una barra infinita: 
x . Sea una barra infinita colocada sobre el eje 
 Sea la deformación longitudinal de la barra en el punto ( ;y x t ) x para en tiempo t 
 Sea ( ) ( ) ( )
0
lim
x
y x y
x
x
x x
ξ
Δ →
∂ Δ
= =
∂ Δ
 la deformación específica de la barra por unidad de longitud en 
el punto x 
 Se llama módulo de Young 2
NE
m
⎡ ⎤
⎢⎣ ⎦⎥
 al coeficiente que mide la elasticidad de la barra 
 Sea ( ) ( )x E xτ ξ= ⋅ la tensión en la barra, la fuerza por unidad de superficie 
 Sea ρ la densidad volumétrica de masa de la barra. 
La relación entre el esfuerzo y la deformación es una función lineal 
 Realizando el análisis de cuerpo libre para un trozo de barra xΔ ubicado en la posición x queda 
 ( ) ( )( )
F m a
x x x Sτ τ
= ⋅
+ Δ − ⋅ Sρ= ⋅
( ) ( )
2
2
2
2
yx
t
x x x y
x t
τ τ
ρ
∂
⋅Δ ⋅
∂
+ Δ − ∂
= ⋅
Δ ∂
 
 Y, realizando el paso al limite resulta: 
 
( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
; ;1 Ecuación de D'alambert
y
x t
E y
x t
y yE
x x t
y y
x E t
y x t y x t
x v t
Ev
τ ρ
ξ
ρ
ρ
ρ
ρ
∂ ∂
= ⋅
∂ ∂
∂ ⋅ ∂
= ⋅
∂ ∂
∂ ∂ ∂⎛ ⎞⋅ = ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∂ ∂
= ⋅
∂ ∂
⎧∂ ∂
= ⋅⎪ ∂ ∂⎪
⎨
⎪ =
⎪⎩
 
 
 Si se repite el análisis para una cuerda con densidad lineal de masa μ tensionada con una fuerza 
se llegará a un resultado análogo: 
F
 
( ) ( )2 2
2 2 2
; ;1 Ecuación de D'alambert
y x t y x t
x v t
Fv
μ
⎧∂ ∂
= ⋅⎪ ∂ ∂⎪
⎨
⎪ =
⎪⎩
 
 Cualquier función de la forma ( )f x v t− ⋅ es solución de la ecuación de D’alambert, en efecto sea 
 z x v t= − ⋅
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2
2
1
1
1
1' ' ; ' ' ;
'
z x z t
z
f x v t f x v t
x v t
f z f z
x v t
f z f z
x x v t t
f z z x t f z z x t
x v t
v
f z
x
∂ − ⋅ ∂ − ⋅
= ⋅
∂ ∂
∂ ∂
= ⋅
∂ ∂
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂
= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∂ ∂
⋅ = ⋅ ⋅
∂ ∂
−∂
=
∂
( )
2v
( ) ( ) ( ) ( )
( )
'
1'' ' ; '' ' ;
''
z
zz x zz t
zz
f
t
f z z x t f z z x t
v
f z
∂
⋅
∂
−
⋅ = ⋅ ⋅
−
=
− v( )
v
( )
( ) ( )
''
'' ''
zz
zz zz
f z
f x v t f x v t
⋅
− ⋅ = − ⋅ 
 
 Se llama solución armónica a una función del tipo ( ) ( ), sinf x y A k x v t= ⋅ ⋅ − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 Se llama longitud de onda λ al valor que cumple ( ) ( ), , ; ;x t y x t y x tλ∀ ∀ = + 
 Se llama número de onda 
2k π
λ
⋅
= a la cantidad de ondas por unidad de longitud 
 Se llama período T al valor que cumple ( ) ( ), , ; ;x t y x t y x t T∀ ∀ = + 
 Se llama frecuencia 
1f
T
= al número de períodos por unidad de tiempo 
 Se llama velocidad angular 2 fω π= ⋅ a la velocidad de la fase de la onda 
 La llama velocidad de fase v a la velocidad con que se mueve en el espacio un punto de una fase 
dada de una onda sinusoidal 
 La solución armónica puede entonces tomar varias formas: 
 
( ) ( )
( ) [ ]
( ) ( )
; sin
; sin
; i k x t
y x t A k x v t
y x t A k x t
y x t A e ω
ω
⋅ − ⋅
= ⋅ ⋅ − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦
= ⋅ ⋅ − ⋅
= ⋅
 Usando la definición de período aplicada al caso de una onda armónica queda: 
 
( ) ( )( )
[ ]
2
sin sin
sin sin
2
2
A k x v t A k x v t T
k x v t kx v t k v T
k v T
k v
T
k v
π
π
π
ω
⎡ ⎤⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ +⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤
⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅⎢ ⎥
⎣ ⎦
⋅ = ⋅ ⋅
⋅
= ⋅
= ⋅
123
 
 Relación de dispersión: ( ) ( )k v k kω = ⋅ 
 Si v no depende de , entonces k ( )f kω = es una función lineal y se dice que estamos en 
presencia de un medio no dispersivo. 
 Si v tiene una dependencia de , entonces k ( )f kω = ya no es una función lineal y se dice que 
estamos en presencia de un medio dispersivo. 
 
Experiencia de perturvación de una fila infinita de masas separadas por resortes. 
 Supóngase que se tiene una fila infinita de masas puntuales todas ellas de masa y todas separadas 
una distancia . Las masas se encuentran unidas por resortes de masa despreciable con constante de Hooke 
m
a
β y la fuerza que ejerce el resorte se encuentra regida por la ley de Hooke F yβ= ⋅ , donde es el 
desplazamiento longitudinal de la maza puntual analizada. Si se coloca una referencia en algún lugar del 
sistema, entonces la posición de la n-ésima masa es 
y
nx n a= ⋅ . Se supondrá por simplicidad que una masa 
cualquiera solo recibe fuerzas de las masas vecinas. Aplicando las leyes de Newton a una masa cualquiera 
se tiene: 
n
 ( ) ( )
( )
2
1 1 2
2
1 1 22
n
n n n n
n
n n n
F m a
yy y y y m
t
yy y y m
t
β β
β
+ −
+ −
= ⋅
∂
⋅ − − ⋅ − = ⋅
∂
∂
⋅ − ⋅ + = ⋅
∂
 
 Remplazando aquí por la solución armónica ( )i k x ty A e ω⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ queda: 
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( )
2
1 1
2
1 1
2
2
2
i k n x t i k n x ti k n x t i k n a t
i k n a t
i k n a i k n ai k n a i t
i k n a i k a i k n a i k n a i k a i
A e A e A e m A e
t
eA e e e e m A
t t
A e e e e e e
ω ωω ω
ω
ω
β
β
β
⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −
∂
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅
∂
⎛ ⎞∂ ∂
⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )2
2
2 cos 2
2
i k n a tt
i k n a ti k n a i k a i k a i t
i k n a ti k n a i t
m A i e
t
A e e e e m A i e
t
A e k a e m A i e
A
ωω
ωω
ωω
ω
β ω
β ω
β
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
∂
= ⋅ ⋅ − ⋅
∂
∂
⋅ ⋅ + − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
∂
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ( )i k n a te ω⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⋅ ( )( )cos 1k a m A⋅ − = − ⋅ ( )2 i k n a te ωω ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⋅ ⋅
( )( )2
2
2 cos 1
2 2 sin
2
4 sin
2
k a
m
k a
m
k a
m
βω
βω
βω
⋅
= − ⋅ ⋅ −
⋅ ⎛ ⋅ ⎞⎛ ⎞= − ⋅ − ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⋅ ⋅⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 Aquí se ve que como la velocidad angular ω depende del número de onda , hay una diferencia 
entre la pendiente y la secante. 
k
 Velocidad de fase Velocidad de grupogv vk k
ω ω∂
= ≠ =
∂
 
 
( )
( )
1 4 sin
2
4 sin
2
sin 24
2 2
4 cos 2
2
g
g
g
v
k
v
k
k av
k m
k av
k m
k aav
m k a
av k
m
ω
ω
β
β
β
β
⎧ =⎪⎪
⎨ ∂⎪ =
⎪ ∂⎩
⎧ ⋅ ⋅⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎪ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎪
⎨ ⎛ ⎞∂ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎪ = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎩
⎧ ⋅⋅
= ⋅ ⋅⎪ ⋅⎪
⎨
⋅⎪ = ⋅ ⋅ ⋅⎪⎩
a
 
 Se interpreta la velocidad de grupo, como la velocidad a la que la onda propaga la energía a través 
del medio 
 Obsérvese que este medio a bajas frecuencias se comporta como no dispersivo 
 
[ ] ( )
( )
0 0
0 0
sin 24 4lim lim
2 2 2
4 4lim lim cos 2
2 2
k
g k
k aa av
m k a m
a av k a
m m
ω
ω
β β
β β
→ →
→ →
⎡ ⎤⋅⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅⎢ ⎥⋅⎣ ⎦
⎡ ⎤⋅ ⋅⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦
 
 
Batido de ondas 
 Analizaremos el caso de superponer dos ondas de distinta frecuencia en el mismo medio. 
 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 2 1 1 2 2
1 2
1 2
sin
sin
sin sin
2 2
2
i k x t i k x t i k x t i k x t
i k x t i k x t i k x t i k x
y A k x t
y A k x t
y y A k x t A k x t
A Ay y e e e e
i i
Ay y e e e e
i
ω ω ω
ω ω ω ω
ω
ω
ω ω
⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅
⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −
= ⋅ ⋅ − ⋅
= ⋅ ⋅ − ⋅
+ = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅
+ = ⋅ − + ⋅ −
⋅ ⋅
+ = ⋅ − + −
⋅
( )( )
ω
( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 2 2 2 21 2 2
t
i k x t i k x t i k x t i k x tAy y e e e e
i
ω ω ω ω
⋅
⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅+ = ⋅ − + −
⋅