Trabajo Práctico VIII
MECÁNICA CUÁNTICA I I
Julián Gelabert r los detalles para mostrar que la corrección del estado 2s
tomando W = W f es − 5128 mec2α4.
2. Partiendo de la base C17, obtener C20 y calcular explícitamente
C21 y C22. 4 trabajo práctico viii
Del estudio previo hecho sobre le átomo de hidrógeno es sabido
que la energía del mismo depende sólo del número cuántico princi-
pal n. De aquí que los niveles 2s (n = 2, l = 0) y 2p (n = 2, l = 1)
posean la misma energía, a ser,
− EI
4
= −1
8
µc2α2 (1)
Debido al espín del electrón y del protón, estos niveles están
degenerados. En particular, las componentes Sz y Iz de sus espínes
pueden tomar dos valores: mS = ±1/2, mI = ±1/2. Así, una
posible base para el nivel n = 2 será la dada por los kets{ ∣∣∣ n = 2 ; l = 0 ; mL = 0 ; mS = ± 12 ; mI = ± 12〉 } (2)
(correspondiente al subnivel 2s, de dimensión 4), y{ ∣∣∣ n = 2 ; l = 1 ; mL = −1, 0, 1 ; mS = ± 12 ; mI = ± 12〉 } (3)
(correspondiente al subnivel 2s, de dimensión 12). El nivel n = 2
por lo tanto posee una degeneración g = 16.
En concordancia con el Trabajo Práctico IV, lo que necesita para
ver los efectos de una perturbación W en el nivel n = 2 es diagona-
lizar la matriz que representa la restricción de W en este nivel.1 1 Los autovalores de esta matriz serán
las correcciones de las energías a
primer orden; los correspondientes
autoestados serán los autoestados del
hamiltoniano al orden cero.
La diferencia W entre el hamiltoniano exacto H y el hamiltoniano
no perturbado H0 contiene los términos de estructura fina:
W f = Wmv + WSO + WD
= − P
4
8m3e c2
+
1
2m2e c2
1
R
dV(R)
dR
L · S + h̄
2
8m2e c2
∆V(R)
(4)
donde R ≡ |R|, así como términos de la estructura hiperfina:
W = W f + Wh f (5)
Wh f es una corrección a los términos de estructura fina W f . Estos
no son de interés para este trabajo. Para más detalle ver capítulo XII
sección B− 2 de ’Quantum Mechanics’, de C. Cohen-Tannoudji.
Problema 1
El término Wh f es alrededor de 2000 veces más pequeño que
W f , por lo que no se lo considerará en este análisis. Hecha esta
aclaración, el siguiente desarrollo está hecho tomando W = W f .
De (4) se ve que W f no depende de I. De aquí que el espín del
protón puede ser ignorado en el estudio de la estructura fina. Esto
reduce la dimensión de la matriz a ser diagonalizada 16 a 8.
El operador L2 conmuta con las componentes de L, con S (L2 no
actúa en las variables de espín), con R (L2 actúa sólo en las varia-
bles angulares), y con P2. Por lo tanto, L2 conmuta con Wmv (que es
proporcional a P2), con WSO (que depende de R, L y S), y con WD
(que depende sólo de R). En conclusión, L2 conmuta con W f . 5
Los estados 2s y 2p son autoestados de L2 asociados a distintos
autovalores2. De esta manera, W f , que conmuta con L2, no posee 2 0 y 2h̄2, respectivamente
elementos matriciales entre los estados 2s y 2p. La matriz 8× 8 que
representa la restricción de W f al nivel n = 2 se reduce entonces a
una matriz por bloques: un bloque 2× 2 referente al estado 2s, otro
6× 6 asociado a 2p, y el son entradas nulas3: 3 Que la dimensión del subespacio 2s
sea 2 es una consecuencia directa de
lo dos posibles valores, mS = ±1/2,
para Sz - se sigue ignorando Iz en este
desarrollo.
Wmv y WD no dependen de S, por lo que las representaciones
matriciales de sus operadores en el subespacio 2s son múltiplos de
la matriz identidad. Nos disponemos a hallar sus valores medios en
los estados |n = 2 ; l = 0 ; mS = ±1/2〉.
Sea el hamiltoniano no perturbado
H0 =
P2
2me
+ V , V = − e
2
R
(6)
es decir, el hamiltoniano de un electrón sujeto a un potencial cou-
lombiano. De aquí es directo ver que
P4 = 4m2e [H0 −V]2 ⇒Wmv = −
1
2mec2
[H0 −V]2 (7)
Tomando el valor medio de Wmv en los autoestados
∣∣ψn,l,m〉 de H0
devuelve, ya que H0 y V son hermíticos,
〈Wmv〉n,l,m = −
1
2mec2
[
(En)2 + 2Ene2〈1/R〉n,l + e4〈1/R2〉n,l
]
(8)
don