Trabajo Práctico II
MECÁNICA CUÁNTICA I I
Julián Gelabert

2. Mostrar que Lx conmuta con H, donde H es el definido por las ecuaciones A-8 y Lx definida por la componente x de la ecuación A-11 del capítulo X del Cohen Tannoudji Vol. 2
[Lx, H] = 0
3. Demostrar la ecuación (A-18) del capítulo X del Cohen Tannouidji Vol 2.
4. Responder si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos, justificando brevemente.
a) La suma de dos momentos angulares J1 y J2 que conmutan es un momento angular J.
b) Los autovectores de J construidos a partir de los autovectores de J1 y J2 sin acoplar son ortonormales.
c) Los autovectores de J construidos a partir de los autovectores de J1 y J2 acoplados son ortonormales.
5. Calcular, usando las propiedades de los coeficientes de Clebsch-Gordon, el factor c en
|sljm〉 = c |lsjm〉
Comentario: En notación coordenada la ecuación sería
[χsYl(θ, φ)]jm = c[Yl(θ, φ)χs]jm 4 trabajo práctico ii
Problema 1
De una forma más general, se define como un momento angular J a cualquier conjunto de observables, Jx, Jy, Jz, que satisfagan las llamadas relaciones de conmutación:
[Jj, Jk] = ih̄ ∑ l ejkl Jl para todos j, k, l = x, y, z (1)
Así, se introduce al operador J2 ≡ J2x + J2y + J2z como el cuadrado del momento angular J. Este operador es hermitiano puesto Jx, Jy y Jz lo son. Asumiremos que este operador es un observable.
Es fácil probar que J2 conmuta con las componentes de J:
[J2, Jx] = [J2x + J2y + J2z , Jx] = [J2x , Jx] + [J2y , Jx] + [J2z , Jx] (2)
Jx conmuta obviamente consigo mismo, luego lo hará con su cuadrado J2x . Los restantes términos en la Ec.(2) resultan:
[J2y , Jx] = Jy[Jy, Jx] + [Jy, Jx]Jy = −ih̄Jy Jz − ih̄Jz Jy
[J2z , Jx] = Jz[Jz, Jx] + [Jz, Jx]Jz = ih̄Jz Jy + ih̄Ji Jz
(3)
La suma de ambos conmutadores en la Ec.(3), que son los términos restantes en la Ec.(2), es en efecto cero.
Un argumento totalmente análogo se utiliza para mostrar que J2 conmuta con las demás componentes de J, es decir, [J2, Jy] = [J2, Jz] = 0 o, de manera compacta, [J2, J] = 0.
En la teoría general de los momentos angulares se definen los operadores de subida y de bajada como
J+ ≡ Jx + i Jy , J− ≡ Jx − i Jy (4)
Haciendo uso de las Ecs. (2) y (3) es directo ver que estos operadores conmutan con J2:
[J2, J±] = [J2, Jx ± i Jy] = [J2, Jx]± i[J2, Jy] = 0± i(0) = 0.
Finalmente, resta ver el valor del conmutador entre Jz y J+:
[Jz, J+] = [Jz, Jx] + i[Jz, Jy] = ih̄Jy + i(−ih̄Jx) = h̄(Jx + i Jy) = h̄J+
Problema 2
Siguiendo el desarrollo que hace Cohen en el capítulo X del Vol. II de su libro ’Quantum Mechanics’, se puede modelar un sistema de dos partículas sin espín en un potencial central V(r = |r|) las cuales solo interaccionan entre sí a través de un potencial v que solo depende de la distancia entre ellas
|r1 − r2| = √ (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
con el hamiltoniano
H = H1 + H2 + v(|r1 − r2|) (5)
donde
Hk = − h̄2 2µk ∆2k + V(rk)
con µK la masa de la k-ésima partícula y ∇2k el laplaciano respecto a las coordeandas de la k-ésima partícula.
Ya se demostró que las componentes del operador L1 asociado al momento angular L1 de la partícula 1 conmutan con su hamilto- niano:
[L1, H1] = 0 (6)
A su vez, como L1 y H2 actúan en espacios distintos (el espacio de partícula 1 y el espacio de la partícula 2, respectivamente), todas las componentes de L1 conmutan con el hamiltoniano de la otra partícula:
[L1, H2] = 0 (7)
Con argumentos análogos se llega a las mismas conclusiones para los conmutadores [L2, H2] y [L2, H1].
Se define entonces al momento angular total del sistema L como L = L1 + L2 (8)
Esta magnitud es de remarcable importancia. Por ejemplo, si se calcula el conmutador de una de sus componentes, por ejemplo Lx con el hamiltoniano del sistema dado por la Ec.(5) se obtiene:
[Lx, H] = [L1x + L2x, H1 + H2 + v(|r1 − r2|)]