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UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y
AGRIMENSURA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA - ESCUELA DE CIENCIAS
EXACTAS Y NATURALES
Trabajo Práctico II
MECÁNICA CUÁNTICA I I
Julián Gelabert
3
Problemas
1. Mostrar las siguientes identidades del capítulo VI del Cohen
Tannoudji Vol 1: [
J2, J+
]
= 0[
J2, Jz
]
= 0
[Jz, J+] = h̄J+
2. Mostrar que Lx conmuta con H, donde H es el definido por las
ecuaciones A-8 y Lx definida por la componente x de la ecuación
A-11 del capítulo X del Cohen Tannoudji Vol. 2
[Lx, H] = 0
3. Demostrar la ecuación (A-18) del capítulo X del Cohen Tan-
nouidji Vol 2.
4. Responder si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos,
justificando brevemente.
a) La suma de dos momentos angulares J1 y J2 que conmutan es
un momento angular J.
b) Los autovectores de J construidos a partir de los autovectores
de J1 y J2 sin acoplar son ortonormales.
c) Los autovectores de J construidos a partir de los autovectores
de J1 y J2 acoplados son ortonormales.
5. Calcular, usando las propiedades de los coeficientes de Clebsch-
Gordon, el factor c en
|sljm〉 = c |lsjm〉
Comentario: En notación coordenada la ecuación sería
[χsYl(θ, φ)]jm = c[Yl(θ, φ)χs]jm
4 trabajo práctico ii
Problema 1
De una forma más general, se define como un momento angular
J a cualquier conjunto de observables, Jx, Jy, Jz, que satisfagan las
llamadas relaciones de conmutación:
[Jj, Jk] = ih̄ ∑
l
ejkl Jl para todos j, k, l = x, y, z (1)
Así, se introduce al operador J2 ≡ J2x + J2y + J2z como el cuadrado
del momento angular J. Este operador es hermitiano puesto Jx, Jy y
Jz lo son. Asumiremos que este operador es un observable.
Es fácil probar que J2 conmuta con las componentes de J:
[J2, Jx] = [J2x + J
2
y + J
2
z , Jx] = [J
2
x , Jx] + [J
2
y , Jx] + [J
2
z , Jx] (2)
Jx conmuta obviamente consigo mismo, luego lo hará con su cua-
drado J2x . Los restantes términos en la Ec.(2) resultan:
[J2y , Jx] = Jy[Jy, Jx] + [Jy, Jx]Jy = −ih̄Jy Jz − ih̄Jz Jy
[J2z , Jx] = Jz[Jz, Jx] + [Jz, Jx]Jz = ih̄Jz Jy + ih̄Ji Jz
(3)
La suma de ambos conmutadores en la Ec.(3), que son los términos
restantes en la Ec.(2), es en efecto cero.
Un argumento totalmente análogo se utiliza para mostrar que
J2 conmuta con las demás componentes de J, es decir, [J2, Jy] =
[J2, Jz] = 0 o, de manera compacta, [J2, J] = 0.
En la teoría general de los momentos angulares se definen los
operadores de subida y de bajada como
J+ ≡ Jx + i Jy , J− ≡ Jx − i Jy (4)
Haciendo uso de las Ecs. (2) y (3) es directo ver que estos opera-
dores conmutan con J2:
[J2, J±] = [J2, Jx ± i Jy] = [J2, Jx]± i[J2, Jy] = 0± i(0) = 0.
Finalmente, resta ver el valor del conmutador entre Jz y J+:
[Jz, J+] = [Jz, Jx] + i[Jz, Jy] = ih̄Jy + i(−ih̄Jx) = h̄(Jx + i Jy) = h̄J+
�
Problema 2
Siguiendo el desarrollo que hace Cohen en el capítulo X del Vol.
II de su libro ’Quantum Mechanics’, se puede modelar un sistema
de dos partículas sin espín en un potencial central V(r = |r|) las
cuales solo interaccionan entre sí a través de un potencial v que solo
depende de la distancia entre ellas
|r1 − r2| =
√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
5
con el hamiltoniano
H = H1 + H2 + v(|r1 − r2|) (5)
donde
Hk = −
h̄2
2µk
∆2k + V(rk)
con µK la masa de la k-ésima partícula y ∇2k el laplaciano respecto a
las coordeandas de la k-ésima partícula.
Ya se demostró que las componentes del operador L1 asociado
al momento angular L1 de la partícula 1 conmutan con su hamilto-
niano:
[L1, H1] = 0 (6)
A su vez, como L1 y H2 actúan en espacios distintos (el espacio
de partícula 1 y el espacio de la partícula 2, respectivamente), todas
las componentes de L1 conmutan con el hamiltoniano de la otra
partícula:
[L1, H2] = 0 (7)
Con argumentos análogos se llega a las mismas conclusiones
para los conmutadores [L2, H2] y [L2, H1].
Se define entonces al momento angular total del sistema L como
L = L1 + L2 (8)
Esta magnitud es de remarcable importancia. Por ejemplo, si se
calcula el conmutador de una de sus componentes, por ejemplo Lx
con el hamiltoniano del sistema dado por la Ec.(5) se obtiene:
[Lx, H] = [L1x + L2x, H1 + H2 + v(|r1 − r2|)]
Cada conmutador por separado resulta
[L1x, H] = [L1x, v(|r1 − r2|)] =
h̄
i
(
y1
∂v
∂z1
− z1
∂v
∂y1
)
[L2x, H] = [L2x, v(|r1 − r2|)] =
h̄
i
(
y2
∂v
∂z2
− z2
∂v
∂y2
) (9)
pero como v puede ser considerado una función solamente de la
variable R ≡ |r1 − r2|,
∂v
∂y1
=
∂v
∂R
∂R
∂y1
=
∂v
∂R
∂|r1 − r2|
∂y1
=
∂v
∂R
y1 − y2
|r1 − r2|
∂v
∂y2
=
∂v
∂R
∂R
∂y2
=
∂v
∂R
∂|r1 − r2|
∂y2
=
∂v
∂R
y2 − y1
|r1 − r2|
(10)
y expresiones análogas se encuentran para ∂v/∂x1, ∂v/∂x2, ∂v/∂z1
y ∂v/∂z2. Usando estos resultados, se suman las expresiones en la
Ec.(9):
[Lx, H] = [L1x + L2x, v(R)]
=
h̄∂v
iR∂R
[
y1(z1 − z2)− z1(y1 − y2)
+ y2(z2 − z1)− z2(y2 − y1)
]
= 0
�
6 trabajo práctico ii
Problema 3
Considerese ahora otro sistema importante para estudiar: el de
una única partícula con espín no nulo. Asumiendo que la misma
está bajo el accionar de un potencial central V(r), su hamiltoniano
es conocido1 y se sabe que las tres componentes del momento an- 1 Ver
∮
A del capítulo VII del Vol. II del
libro de Cohen Tannoudji ’Quantum
Mechanics’.
gular L conmutan con el éste. Aún más, ya que los operadores de
espín conmutan con los operadores orbitales, las tres componen-
tes del momento angular de espín S también son constantes de
movimiento.
No obstante, correcciones relativistas introducen al hamiltoniano
el denominado término de acople espín-órbita de la forma:
HSO = ξ(r)L · S (11)
donde ξ(r) es una función conocida de la variable r. Cuando este
término se tiene en cuenta L y S dejan de conmutar con el hamilto-
niano. Por ejemplo,
[Sz, HSO] = [Sz, ξ(r)L · S]
= ξ(r)[Sz, LxSx + LySy + LzSz]
= ξ(r)([Sz, LxSx] + [Sz, LySy] + [Sz, LzSz])
= ξ(r)(Lx[Sz, Sx] + [Sz, Lx]Sx + Ly[Sz, Sy] + [Sz, Ly]Sy
+ Lz[Sz, Sz] + [Sz, Lz]Sz)
= ξ(r)[Lx(ih̄Sy) + (0)Sx + Ly(−ih̄Sx) + (0)Sy + Lz(0)
+ (0)Sz]
= ξ(r)(ih̄LxSy − ih̄LySx)
donde si hizo uso de las relaciones de conmutación de la Ec.(1) para
el momento angular S y el hecho que las componentes de S y L
conmutan entre sí.
�
Problema 4
a) La suma de dos momentos angulares J1 y J2 que conmutan es un
momento angular J.
Verdadero. Puesto que J1 y J2 son momentos angulares, las com-
ponentes de cada uno satisface por su cuenta las relaciones de
conmutación de la Ec.(1):
[J1i, J1j] = ih̄ ∑
l
ejkl J1l , [J2i, J2j] = ih̄ ∑
l
ejkl J2l
para todos índices j, k, l = x, y, z. Como J1 y J2 conmutan, basta
sumar estas ecuaciones y recordar que la componente k-ésima
del momento angular J es Jk = J1k + J2k para mostrar que J1 + J2
también es un momento angular:
[J1i + J2i, J1j + J2j] = [Ji, Jj] = ih̄ ∑
l
ejkl(J1l + J2l) = ih̄ ∑
l
ejkl Jl
7
b) Los autovectores de J construidos a partir de los autovectores de
J1 y J2 sin acoplar son ortonormales.
Verdadero. Dados J1, J2 momentos angulares que conmutan, se
puede construir un C.C.O.C. sin acoplar (sumar) dichos momen-
tos. El C.C.O.C. en cuestión es el conjunto {J21, J1z, J22, J2z} y sus
autovectores en común son los vectores
|j1m1 j2m2〉 = |j1m1〉 |j2m2〉
que satisfacen simultáneamente las ecuaciones de autovectores
correspondientes:
J2k |j1m1 j2m2〉 = jk(jk + 1)h̄
2 |j1m1 j2m2〉
Jkz |j1m1 j2m2〉 = mk h̄ |j1m1 j2m2〉
(12)
Estos autovectores satisfacen las relaciones de ortonormalidad:〈
j′1m
′
1 j
′
2m
′
2
∣∣j1m1 j2m2〉 = ( 〈j′1m′1∣∣ 〈j′2m′2∣∣ )( ∣∣j′1m′1〉 ∣∣j′2m′2〉 )
=
〈
j′1m
′
1
∣∣j1m1〉 〈j′2m′2∣∣j2m2〉
= δj′1 j1
δm′1m1
δj′2 j2
δm′2m2
c) Los autovectores de J construidos a partir de los autovectores de
J1 y J2 acoplados son ortonormales.
Verdadero. Dados J1, J2 momentos angulares que conmutan, se
puede construir un C.C.O.C. acoplando (sumando) dichos mo-
mentos. El C.C.O.C. en cuestión es el conjunto {J21, J22, J2, Jz}, con
|J1 − J2| ≤ J ≡ J1 + J2 ≤ J1 + J2
y sus autovectores en común son los vectores
|j1 j2 jm〉 = |j1〉 |j2〉 |jm〉
que satisfacen simultáneamente las ecuaciones de autovectores
correspondientes:
J2k |j1j2 jm〉 = jk(jk + 1)h̄
2 |j1 j2 jm〉
J2 |j1 j2 jm〉 = j(j + 1)h̄2 |j1 j2 jm〉
Jz |j1 j2 jm〉 = mh̄ |j1 j2 jm〉
(13)
Estos autovectores satisfacen las relaciones de ortonormalidad:〈
j′1 j
′
2 j
′m′
∣∣j1 j2 jm〉 = ( 〈j′1∣∣ 〈j′2∣∣ 〈j′m′∣∣ )( ∣∣j′1〉 ∣∣j′2〉 |jm〉 )
=
〈
j′1
∣∣j1〉 〈j′2∣∣j2〉 〈j′m′∣∣jm〉
= δj′1 j1
δj′2 j2
δj′ jδm′m
�
8 trabajo práctico ii
Problema 5
Dadas las bases acopladas |j1 j2 jm〉 y no acopladas
∣∣j1mj2m2〉,
se definen a los coeficientes de Clebsch-Gordan a los coeficientes que
emergen cuando se expanden a los kets de la base acoplada en
términos de la base no acopladas:
|j1 j2 jm〉 = ∑
m1,m2
|j1m1 j2m2〉 〈j1m1 j2m2|j1 j2 jm〉 (14)
Estos coeficientes son muy importantes en la teoría de momentos
angular cuánticos. En particular, una de sus propiedades es:
〈j1m1 j2m2|j1 j2 jm〉 = (−1)j1+j2−j 〈j2m2 j1m1|j2 j1 jm〉 (15)
con j1, j2, j satisfaciendo la condición triangular: |j1 − j2| ≤ j ≤ j1 + j2.
Para el caso s = j1 y l = j2, las Ecs.(14) y (15) leen
|sljm〉 = ∑
ms ,ml
|smslml〉 〈smslml |sljm〉
〈smslml |sljm〉 = (−1)s+l−j 〈lmlsms|lsjm〉
Utilizando estas expresiones se obtiene el factor c buscado:
|sljm〉 = ∑
ms ,ml
|smslml〉 〈smslml |sljm〉
= ∑
ms ,ml
|smslml〉 (−1)s+l−j 〈lmlsms|lsjm〉
= (−1)s+l−j ∑
ms ,ml
|smslml〉 〈lmlsms|lsjm〉
= (−1)s+l−j
(
∑
ms ,ml
|sms〉 |lml〉 〈sms| 〈lml |
)
|lsjm〉
= (−1)s+l−j
(
∑
ms
|sms〉 〈sms|
)(
∑
ml
|lml〉 〈lml |
)
|lsjm〉
= (−1)s+l−j(1) |lsjm〉
= c |lsjm〉
con c = (−1)s+l−j.
�