Mec_nica_Cu_ntica_II___Trabajos_Pr_cticos (3)

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y
AGRIMENSURA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA - ESCUELA DE CIENCIAS
EXACTAS Y NATURALES
Trabajo Práctico VIII
MECÁNICA CUÁNTICA I I
Julián Gelabert
3
Problemas
’Quantum mechanics’, C.
Cohen-Tannoudji.
Basandose en el capítulo XII del libro de Cohen-Tannoudji:
1. Dar los detalles para mostrar que la corrección del estado 2s
tomando W = W f es − 5128 mec2α4.
2. Partiendo de la base C17, obtener C20 y calcular explícitamente
C21 y C22.
4 trabajo práctico viii
Del estudio previo hecho sobre le átomo de hidrógeno es sabido
que la energía del mismo depende sólo del número cuántico princi-
pal n. De aquí que los niveles 2s (n = 2, l = 0) y 2p (n = 2, l = 1)
posean la misma energía, a ser,
− EI
4
= −1
8
µc2α2 (1)
Debido al espín del electrón y del protón, estos niveles están
degenerados. En particular, las componentes Sz y Iz de sus espínes
pueden tomar dos valores: mS = ±1/2, mI = ±1/2. Así, una
posible base para el nivel n = 2 será la dada por los kets{ ∣∣∣ n = 2 ; l = 0 ; mL = 0 ; mS = ± 12 ; mI = ± 12〉 } (2)
(correspondiente al subnivel 2s, de dimensión 4), y{ ∣∣∣ n = 2 ; l = 1 ; mL = −1, 0, 1 ; mS = ± 12 ; mI = ± 12〉 } (3)
(correspondiente al subnivel 2s, de dimensión 12). El nivel n = 2
por lo tanto posee una degeneración g = 16.
En concordancia con el Trabajo Práctico IV, lo que necesita para
ver los efectos de una perturbación W en el nivel n = 2 es diagona-
lizar la matriz que representa la restricción de W en este nivel.1 1 Los autovalores de esta matriz serán
las correcciones de las energías a
primer orden; los correspondientes
autoestados serán los autoestados del
hamiltoniano al orden cero.
La diferencia W entre el hamiltoniano exacto H y el hamiltoniano
no perturbado H0 contiene los términos de estructura fina:
W f = Wmv + WSO + WD
= − P
4
8m3e c2
+
1
2m2e c2
1
R
dV(R)
dR
L · S + h̄
2
8m2e c2
∆V(R)
(4)
donde R ≡ |R|, así como términos de la estructura hiperfina:
W = W f + Wh f (5)
Wh f es una corrección a los términos de estructura fina W f . Estos
no son de interés para este trabajo. Para más detalle ver capítulo XII
sección B− 2 de ’Quantum Mechanics’, de C. Cohen-Tannoudji.
Problema 1
El término Wh f es alrededor de 2000 veces más pequeño que
W f , por lo que no se lo considerará en este análisis. Hecha esta
aclaración, el siguiente desarrollo está hecho tomando W = W f .
De (4) se ve que W f no depende de I. De aquí que el espín del
protón puede ser ignorado en el estudio de la estructura fina. Esto
reduce la dimensión de la matriz a ser diagonalizada 16 a 8.
El operador L2 conmuta con las componentes de L, con S (L2 no
actúa en las variables de espín), con R (L2 actúa sólo en las varia-
bles angulares), y con P2. Por lo tanto, L2 conmuta con Wmv (que es
proporcional a P2), con WSO (que depende de R, L y S), y con WD
(que depende sólo de R). En conclusión, L2 conmuta con W f .
roman pico
Bien
5
Los estados 2s y 2p son autoestados de L2 asociados a distintos
autovalores2. De esta manera, W f , que conmuta con L2, no posee 2 0 y 2h̄2, respectivamente
elementos matriciales entre los estados 2s y 2p. La matriz 8× 8 que
representa la restricción de W f al nivel n = 2 se reduce entonces a
una matriz por bloques: un bloque 2× 2 referente al estado 2s, otro
6× 6 asociado a 2p, y el son entradas nulas3: 3 Que la dimensión del subespacio 2s
sea 2 es una consecuencia directa de
lo dos posibles valores, mS = ±1/2,
para Sz - se sigue ignorando Iz en este
desarrollo.
Wmv y WD no dependen de S, por lo que las representaciones
matriciales de sus operadores en el subespacio 2s son múltiplos de
la matriz identidad. Nos disponemos a hallar sus valores medios en
los estados |n = 2 ; l = 0 ; mS = ±1/2〉.
Sea el hamiltoniano no perturbado
H0 =
P2
2me
+ V , V = − e
2
R
(6)
es decir, el hamiltoniano de un electrón sujeto a un potencial cou-
lombiano. De aquí es directo ver que
P4 = 4m2e [H0 −V]2 ⇒Wmv = −
1
2mec2
[H0 −V]2 (7)
Tomando el valor medio de Wmv en los autoestados
∣∣ψn,l,m〉 de H0
devuelve, ya que H0 y V son hermíticos,
〈Wmv〉n,l,m = −
1
2mec2
[
(En)2 + 2Ene2〈1/R〉n,l + e4〈1/R2〉n,l
]
(8)
donde
En =
EI
n2
= − 1
2n2
α2mec2 , α =
e2
h̄c
(9)
Evaluando (8) en n = 2, l = 0, m = ±1/2 se obtiene4 4 Ver Apéndice I para los cálculos
explícitos de 〈1/R〉2,0 y 〈1/R2〉2,0.
〈Wmv〉2s = −
1
2mec2
[
(E2)2 + 2E2e2〈1/R〉2,0 + e4〈1/R2〉2,0
]
= −1
2
α4mec2
[(1
8
)2
− 21
8
1
4
+
1
4
]
= − 13
128
α4mec2
(10)
Por otro lado, que ∆(1/r) = −4πδ(r) permite escribir el valor
medio 〈WD〉 en los autokets
∣∣ψn,l,m〉 del hamiltoniano H0 como:
〈WD〉n,l,m =
h̄2
8m2e c2
4πe2|ψn,l,m(r = 0)|2 (11)
roman pico
Estaria bueno que los calculos explicitos esten aca. Son los que dan lugar al resultado en si.
roman pico
excelente
roman pico
bien
roman pico
Bien!
6 trabajo práctico viii
Para el caso de interés (n = 2, l = 0, mS = ±1/2):
〈WD〉2s =
h̄2
8m2e c2
e2|R2,0(0)|2 =
1
16
α4mec2 (12)
Finalmente, los cálculos de los elementos matriciales de WSO
involucran elementos matriciales ’angulares’ de la forma:
〈l = 0 , mL = 0|Lx,y,z|l = 0 , mL = 0〉
los cuales son nulos por el valor l = 0 del número cuántico l. Así:
〈WSO〉2s = 0 (13)
Por lo tanto, juntando (10), (12) y (13), se concluye que el valor
medio de W = W f en el subespacio 2s es
〈W f 〉2s = 〈Wmv〉2s + 〈WSO〉2s + 〈WD〉2s
= − 13
128
α4mec2 + 0 +
1
16
α4mec2 =
5
128
α4mec2
(14)
�
Problema 2
En el subespacio 2p, para representar al operador ξ2pL · S, donde
ξ(R) ≡ e
2
2m2e c2
1
R3
, (15)
varias bases pueden ser usadas. En particular, una base se obtiene
introduciendo el momento angular total
J = L + S (16)
Esta base es: { ∣∣∣l = 1 ; s = 12 ; J ; mJ〉 } (17)
construida a partir de los autovalores comunes a L2, S2, J2, Jz.5 5 Los únicos valores que puede tomar J
son J = 1/2 y J = 3/2.Tomando el cuadrado en ambos lados de (16) y recordando que
S y L conmutan se tiene:
J2 = L2 + S2 + 2L · S (18)
o bien,6 6 ξ2p es la restricción de ξ(R) al subes-
pacio 2p escrito en la representación
{|r〉}; es un número. Para más detalle
ver Apéndice II.
ξ2pL · S =
1
2
ξ2p(J2 − L2 − S2) (19)
Cada uno de los kets en (17) es autoestado de L2, S2, J2:
J2
∣∣∣1, 12 , J, mJ〉 = J(J + 1)h̄2 ∣∣∣1, 12 , J, mJ〉
L2
∣∣∣1, 12 , J, mJ〉 = 2h̄2 ∣∣∣1, 12 , J, mJ〉
S2
∣∣∣1, 12 , J, mJ〉 = 12(12 + 1)h̄2 ∣∣∣1, 12 , J, mJ〉
(20)
roman pico
Por que usamos esta base? Para que nos gastamos en hacer el cambio?
roman pico
Bien
roman pico
Excelente.
7
Usando los resultados anteriores es fácil ver que
ξ2pL · S
∣∣∣1, 12 , J, mJ〉 = 12 ξ2p(J2 − L2 − S2) ∣∣∣1, 12 , J, mJ〉
=
h̄2
2
ξ2p
[
J(J + 1)− 2− 3
4
] ∣∣∣1, 12 , J, mJ〉 (21)
De (21) se ve claramente que los autovalores de ξ2pL · S sólo
dependen de J, no así de mJ , y los mismos son:
1
2
ξ2p
[1
2
(1
2
+ 1
)
− 2− 3
4
]
h̄2 = −ξ2p h̄2 = −
(α4mec2
48h̄2
)
h̄2 = −α
4mec2
48
para J = 1/2, y
1
2
ξ2p
[3
2
(3
2
+ 1
)
− 2− 3
4
]
h̄2 = ξ2p
h̄2
2
=
(α4mec2
48h̄2
) h̄2
2
=
α4mec2
96
para J = 3/2.
�
roman pico
Bien!
roman pico
Por que 1/2 y 3/2? Fuera de que sea lo que pedimos, por que J puede tomar esos valores? Toma otros?
8 trabajo práctico viii
Apéndice I
La función de onda asociada a los estados estacionarios del áto-
mo de hidrógeno es:
ψn,l,m(r) = Rn,l(r)Yml (θ, ϕ) (22)
donde Yml (θ, ϕ) es un armónico esférico. Para este trabajo es de
particular interés las expresiones de la función radial Rn,l(r) en los
subespacios 2s y 2p:
R2,0(r) = 2(2a0)−3/2
(
1− r
2a0
)
e−r/2a0
R2,1(r) = (2a0)−3/2(3)−1/2
r
a0
e−r/2a0
(23)
donde a0 es el conocido radio de Bohr:
a0 = 4πε0
h̄2
mec2
=
h̄2
mec2
(24)
Las funciones Yml están normalizadas, por lo tanto los valores
medios 〈Rq〉 de la q-ésima potencia del operador R asociado a
r ≡ |r| en el estado |n, l, m〉 se puede escribir de la siguiente forma:
〈Rq〉n,l,m =
∫ ∞
0
rq+2|Rn,l(r)|2dr (25)
Reemplazando las expresiones de Rn,l en los subespacios 2s y 2p da
origen a integrales de la forma
I(k, p) =
∫ ∞
0
rke−pr/a0 dr (26)
donde p y k son enteros. Unaprimera integración por partes de-
vuelve:
I(k, p) =
[
− a0
p
e−pr/a0 rk
]∣∣∣∞
0
+
ka0
p
∫ ∞
0
rk−1e−pr/a0 dr
=
ka0
p
I(k− 1, p)
(27)
Observando que
I(0, p) =
∫ ∞
0
epr/a0 dr =
a0
p
(28)
se deduce por inducción que:
I(k, p) = k!
( a0
p
)k+1
(29)
Aplicando este resultado, se hallan los valores medios 〈1/R〉2s y
〈1/R2〉2s de interés:
〈1/R〉2s =
4
8a0
∫ ∞
0
r
[
1− r
2a0
]2
e−r/a0 dr
=
1
2a0
[
I(1, 1)− 1
a0
I(2, 1) +
1
4a20
I(3, 1)
]
=
1
4a0
(30)
y
〈1/R2〉2s =
1
2a0
[
I(0, 1)− 1
a0
I(1, 1) +
1
4a20
I(2, 1)
]
=
1
4a20
(31)
9
Apéndice II
En representación coordenada {|r〉}, se tiene que ξ2p es:
ξ2p =
e2
2m2e c2
∫ ∞
0
1
r3
|R2,1(r)|2r2dr (32)
Introduciendo la expresión para R2,1(r) de (23) se obtiene:
ξ2p =
e2
2m2e c2
∫ ∞
0
1
r
∣∣∣(2a0)−3/2(3)−1/2 ra0 e−r/2a0
∣∣∣2dr
=
e2
2m2e c2
1
24a50
I(1, 1) =
e2
2m2e c2
1
24a50
(a20) =
1
48h̄2
α4mec2
(33)