Fisica Y Quimica - Fisica Bup

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© Julio Anguiano Cristóbal INTERACCIÓN GRAVITATORIA 
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Interacción gravitatoria. Ley de gravitación universal. 
Historia de las teorías acerca de los movimientos planetarios. Leyes de Kepler 
Ley de Newton de la gravitación universal. Bases de la Gravitación Universal. Conceptos de masa 
inercial y masa gravitatoria. 
Campo y potencial gravitatorios. Energía potencial gravitatoria de una masa puntual. 
Campo y potencial gravitatorios de una distribución de masas puntuales. 
Ley de Gauss para el campo gravitatorio. Aplicaciones del teorema de Gauss 
Campo gravitatorio terrestre. Variación de g con la altura. Energía potencial gravitatoria terres-
tre 
Satélites: velocidad orbital y velocidad de escape. 
Energía mecánica de un satélite en órbita. Velocidad de escape 
Trabajo sobre un satélite: a) para situarlo en una órbita de altura h y, b) para sacarlo de la in-
teracción gravitatoria terrestre. 
Problemas propuestos de Interacción Gravitatoria 
 
Interacción gravitatoria. Ley de gravitación universal.- 
Historia de las teorías acerca de los movimientos planetarios: 
Modelo geocéntrico: Considera la Tierra en el centro del Universo y las estrellas pegadas a una 
esfera celestial que rota alrededor de un eje que pasa a través de los polos Norte y Sur de la Tierra 
y de los polos celestiales Norte y Sur. Sin embargo, el movimiento retrógrado del planeta Marte no 
se comprendía con este modelo y fue el problema durante 2000 años. Hiparco (150 a.C.) propuso 
un sistema de círculos para explicar el movimiento retrógrado. Consideraba que un planeta ro-
tando en forma de epiciclos (círculo que se suponía descrito por un planeta alrededor de un cen-
tro que se movía en el deferente) alrededor de una curva deferente (círculo que se suponía descri-
to alrededor de la Tierra por el centro del epiciclo de un planeta). Posteriormente, Ptolomeo (100 
a.C.) introdujo refinamientos en el sistema epiciclos -deferente- que se utilizó hasta el siglo XVI. 
Modelo heliocéntrico: Nicolás Copérnico (1473-1543) desarrolló un modelo más sencillo para 
entender el Universo. Esto se debió a que con la obtención de nuevos datos observados y aplicar-
los al modelo geocéntrico era necesario introducir modificaciones a las trayectorias de los plane-
tas. Copérnico se plantea que las dificultades tenían su origen en la teoría y propone el modelo 
heliocéntrico que sirve para calcular las posiciones planetarias y que tiene como objetivo eliminar 
las dificultades del sistema de Ptolomeo. El sistema de Copérnico lo que hizo fue cambiar el sis-
tema de referencia, tomando el Sol como centro, que al tener una gran masa respecto de los otros 
planetas, hace que el nuevo sistema sea prácticamente inercial y, por tanto, más sencillo en su 
descripción. 
 En 1596 Johannes Kepler (1571-1630) publicó las leyes del movimiento planetario. Kepler 
analizó las observaciones astronómicas de su maestro Tycho Brahe (1546-1601), que personal-
mente no pudo demostrar el sistema copernicano, y publicó en 1609 un estudio elaborado del sis-
tema heliocéntrico pero considerando órbitas elípticas. Las leyes de Kepler nos proporcionan una 
descripción cinemática del movimiento planetario, pero no nos informan por qué los planetas se 
mueven en aquel camino y no en otro. La tercera ley se publicó diez años después de las dos pri-
meras. 
Leyes de Kepler: 
1) Un planeta describe una órbita elíptica alrededor del Sol, con el Sol en un foco de la elipse. 
2) La línea que conecta un planeta al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. 
3) Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos 
de los semiejes mayores de la elipse de sus órbitas. 
 En 1623, Galileo (1564-1642), que tuvo relación con Kepler, verificó con ayuda de un teles-
copio que los satélites de Júpiter cumplían leyes análogas a las de Kepler, respecto de éste plane-
ta. Sus trabajos colaboraron a la aceptación definitiva del Sistema Copernicano. 
Ley de Newton de la gravitación universal.- 
Las leyes de Kepler proporcionan una descripción de cómo se mueven los planetas, pero no expli-
can por qué se mueven en aquel camino y no en otro. Usando las tres leyes de Kepler Newton fue 
capaz de encontrar una expresión que describe la fuerza a la que están sometidos los planetas en 
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sus órbitas. En 1666 Isaac Newton (1642-1727) formuló la ley de Gravitación Universal que fue 
publicada en 1687 en su trabajo "Principios Matemáticos de la Filosofía Natural". 
 Enunciado de la ley de gravitación universal: “la interacción gravitatoria, entre dos cuer-
pos, se expresa por una fuerza atractiva y central, directamente proporcional al producto de las 
masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos”: 
r r2 3
Mm Mm rF G u G r u
rr r
= − = − ⇒ = 
 
 M ur F F m 
 El vector de posición tiene su origen en el centro de masas de una masa M y el extremo en el 
centro de masas de la otra masa m. La fuerza gravitatoria, tiene signo negativo, por ser atractiva 
y, por tanto, tiene sentido contrario al vector unitario que va de una masa a otra. 
Bases de la Gravitación Universal: 
1ª) Los planetas describen órbitas cerradas alrededor del Sol por lo que la fuerza es atractiva, ya 
que si fuese repulsiva la órbita no sería cerrada. 
2ª) Como el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales, es decir, su velocidad areolar es 
constante se ha de cumplir que el momento angular del planeta, respecto del Sol es constante. Lo 
que supone que el momento de la fuerza sea cero, luego la fuerza ha de ser central. 
Demostración: sea A el área barrida por el radio vector, luego el que su derivada respecto del 
tiempo (velocidad areolar) sea constante supone que el momento angular respecto del Sol sea 
constante 
r
dr
A=(r·dr)/2
 
1dA r dr
2
1 1 1dA drr r v L cte.
dt dt2 2 2m
= ×
= × = × = =
 
 Luego al cumplirse la segunda ley de Kepler se ha de cumplir que el momento angular sea 
constante, lo que implica que la fuerza ha de ser central: 
ext
ext
dL r F M
dt
L cte. M 0 r F
= × =
= ⇒ = ⇒
 
 La fuerza ha de ser paralela al radio vector y es lo que se llama una fuerza central. Por tan-
to, la fuerza que ejerce el Sol sobre un planeta es una fuerza atractiva y central, es decir, que ac-
túa a lo largo de la línea que une los dos cuerpos. 
 Otro aspecto, muy importante, es determinar la relación de la fuerza y del radio vector o dis-
tancia entre los dos cuerpos. Newton determinó, realizando una serie de cálculos matemáticos ba-
sados el análisis de las órbitas elípticas, que para que las órbitas elípticas de los planetas, obteni-
das por Kepler, sean posibles, la fuerza ha de ser proporcional al inverso del cuadrado de la dis-
tancia entre el Sol y la Tierra. 
 Si asumimos que la fuerza gravitatoria es una propiedad universal de toda la materia, po-
demos considerar que la fuerza está asociada con la “cantidad de materia” o masa gravitatoria, en 
cada cuerpo. Cavendish, en 1.798, determinó la constante de proporcionalidad, que se conoce 
con el nombre de constante de gravitación universal y que no depende del medio. 
3ª) Para comprobar la 3ª ley de Kepler, vamos a consideremos órbitas circulares, en las cuales se 
ha de cumplir que la fuerza centrípeta de la Tierra es igual a la fuerza gravitatoria 
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( )
2
22 2 2 3
22
2 2
Mv G
r 4v Mm Mm G v G T r
r r GMr 2v r
T
 =
  π= ⇒ = ⇒ = 
π = 
 
 Conceptos de masa inercial y de masa gravitatoria: 
La masa inercial se obtiene de 12 21 21
2 11 1 2 2
F F am
m am a m a
 = −
⇒ = −
= −
 
Si le damos a una masa un valor, se determinan las masas inerciales de las demás. 
La masa gravitatoria se obtiene de la fuerza peso peso rF mg u= − y la aceleraciónde la gravedad 
de la ley de gravitación universal T2 2
T
M mg G 9,8
R s
= ≈ , lo que nos indica que g0 es independiente de 
la masa m del cuerpo que cae. 
 Es un hecho muy probado que todos los cuerpos caen en la superficie de la Tierra con la 
misma aceleración. Este hecho es indicativo de que las masas gravitatoria e inercial son iguales. 
Si la masa gravitatoria mg fuese distinta de la masa inercial mi la fuerza gravitatoria en la superfi-
cie de la Tierra (peso) sería igual 
( ) ( )
T g gT
peso i 2 2 iT T
M m mMF m g G g G
mR R
= = ⇒ = 
Si la relación entre las dos masas no fuera la misma para todos los cuerpos la aceleración g0 será 
diferente para cada cuerpo, lo que es contrario a la experiencia. Las dos masas, son indistingui-
bles experimentalmente y, por tanto, la magnitud masa es para la masa inercial o la masa gravita-
toria. 
 La masa de la Tierra, se determina a partir de los datos experimentales conocidos: G, g0 y 
RT. El peso de un cuerpo, en la superficie de la Tierra, es la fuerza con que la Tierra lo atrae: 
2
T T
peso T2
T
g RM mF mg G M
GR
= = ⇒ = 
Campo y potencial gravitatorios.- 
 Se llama Campo Gravitatorio a la situación física por la cual al colocar una masa en dicho 
campo ésta experimenta una interacción o fuerza gravitatoria. Siendo el campo gravitatorio un 
campo vectorial de fuerzas. 
Campo gravitatorio creado por una masa M: Sea una masa M, en un punto del espacio, y colo-
camos otra masa, m, en diferentes posiciones del espacio alrededor de M. Debido a la interacción 
gravitatoria entre las dos masas, la masa m experimenta una fuerza en cada posición dada por la 
ley de gravitación universal. Es decir, que la interacción entre las masas, m y M, va a depender de 
sus posiciones relativas. Por lo que, en cada punto del espacio podemos definir un vector intensi-
dad del campo gravitatorio, creado por la masa M. 
En cada punto del campo vectorial gravitatorio, se define un vector llamado intensidad del cam-
po gravitatorio, que se define como la fuerza por unidad de masa que coloquemos en dicho pun-
to, siendo la unidad N·kg-1=m·s-2 : 
r2m 0
F Mg lim G u
m r→
= = − 
 g 
 M ur g 
 
La intensidad del campo gravitatorio, producido por M, en un punto del espacio, es una magnitud 
vectorial, cuyo vector tiene su origen es ese punto del campo y la dirección y sentido hacia el cen-
tro de masas de la masa M. 
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 La intensidad del campo gravitatorio en un punto del campo gravitatorio depende del vec-
tor de posición de dicho punto, por lo que el campo gravitatorio es conservativo. Por lo tanto, 
la circulación del campo gravitatorio no depende de la trayectoria elegida sino de los puntos inicial 
y final y la circulación a lo largo de una trayectoria cerrada será cero. Decimos entonces que en 
cada punto del campo gravitatorio hay definido un potencial gravitatorio. 
Potencial gravitatorio: El potencial gravitatorio es la magnitud escalar asociada, en cada punto 
del campo vectorial gravitatorio conservativo, al vector intensidad del campo gravitatorio o campo 
gravitatorio g dr dU⋅ = − 
Demostramos que el campo gravitatorio es conservativo 
( )
ff f
r f i2i i i f i
M M M MC g dr G u dr G G G U U U
r r rr
C g dr 0
   = ⋅ = − ⋅ = − − = − − − − = − − = −∆       
= ⋅ =
∫ ∫
∫
 
M
 
 La Representación gráfica un campo gravitatorio se hace mediante las líneas de fuerza. Una lí-
nea de fuerza se dibuja de tal forma que en cada punto la dirección del campo es tangente a la lí-
nea que pasa a través del punto. Por convenio, las líneas de fuerza se dibujan de tal forma que su 
densidad es proporcional a la intensidad del campo. 
El campo gravitatorio, alrededor de una masa M, tiene las líneas de fuerza radiales y dirigidas 
hacia la masa M y las superficies de nivel o superficies equipotenciales del campo gravitatorio, 
debido a una masa M, tienen simetría esférica. 
Energía potencial gravitatoria de una masa puntual: 
 Si colocamos una masa, m, en un punto del espacio donde existe un campo gravitatorio, la 
fuerza que experimenta es el producto del valor de la masa m, que es escalar, por el vector inten-
sidad del campo gravitatorio en ese punto: F mg= . La fuerza tiene la dirección y sentido de la in-
tensidad del campo gravitatorio en ese punto. Al ser el campo gravitatorio conservativo, la fuerza 
gravitatoria, es una fuerza conservativa. Por lo que en cada punto de un campo vectorial de fuer-
zas gravitatorias, podemos definir un potencial escalar, asociado a dicha fuerza, llamado energía 
potencial gravitatoria. 
 Deducción: 
f
por g
i
f f
por r p(g)2 ii f i
f
por g p(g) sobre
i
W F dr
Mm Mm Mm MmW G u dr G G G E m U
r r rr
W F dr E W
= ⋅
   = − ⋅ = − − = − − − − = −∆ = − ∆       
= ⋅ = −∆ = −
∫
∫
∫
 
 La energía potencial gravitatoria p(g) MmE G mUr= − = , es una propiedad del sistema de 
dos partículas y no de una de ellas. No hay forma de dividir esta energía y saber cuanto le corres-
ponde a una partícula y cuanto a la otra. Sin embargo, si una de las masas es muy superior a la 
otra (M>>m) se habla de la energía potencial de la menor m. 
Campo y potencial gravitatorios de una distribución de masas puntuales: 
 Si tenemos una distribución de masas puntuales M1, M2, M3, ...Mn, para hallar el campo y el 
potencial gravitatorios, en un punto del espacio, aplicamos el Principio de Superposición: El 
campo gravitatorio producido, por un conjunto discreto de masas, en un punto del campo, es la 
suma vectorial de los campos gravitatorios debidos a cada una de las masas, en ese punto. El po-
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tencial gravitatorio, en el mismo punto del campo, se obtiene por la suma escalar de los potencia-
les gravitatorios debidos a cada una de las masas 
 
1 2 i
n n
21 i
1 2 i r r r2 2 2
1 2 ii 1 i 1
n n
21 i
1 2 i
1 2 ii 1 i 1
MM Mg g g ... g G u G u ... G u
r r r
MM MU U U ... U G G .... G
r r r
= =
= =
    
= + + = = − + − + = −            
    = + + = = − + − + = −    
    
∑ ∑
∑ ∑
 
 La fuerza gravitatoria obedece el principio de superposición, que nos dice que la fuerza to-
tal sobre una partícula, de masa m, situada en un punto es la suma de las fuerzas ejercidas sobre 
ella por todas las demás partículas consideradas al mismo tiempo; la energía potencial para un 
sistema de partículas será la suma de las energías potenciales de cada par de partículas: 
( )
( )
n
1 2 i
i 1
n
p 1 2 i
i 1
F m g g ... m g mg
E m U U ... m U mU
=
=
= + + = =
= + + = =
∑
∑
 
Ley de Gauss para el campo gravitatorio.- 
 La ley del físico Gauss (1777-1855) relaciona los campos en una superficie Gaussiana (su-
perficie cerrada) y la masa que hay dentro de la superficie. 
 Concepto de flujo del campo gravitatorio: el flujo (de fluir) del campo gravitatorio, a través de 
una superficie, se define como el producto escalar de la intensidad del campo gravitatorio por el 
vector superficie (es un vector cuya magnitud es igual al área y cuya dirección es normal al plano 
del área). Luego el flujo del campo depende de tres factores: del valor de la magnitud intensidad 
del campo, del valor del área de la superficie y del ángulo entre los vectores respectivos (o de las 
orientaciones relativas). 
 
-
+
S
dS
dS
g
 
 Expresiones del flujo a través de una superficie plana, S, y a través de una superficie irregular, 
que la dividimos en diferenciales de superficie dS: 
n
1 1 i in
i 1
g S g S cos
g dS ... lim g dS g dS
→∞
=
Φ = ⋅ = ⋅ ⋅ θ
Φ = ⋅ + = ⋅ = ⋅∑ ∫∫
 
 El flujo del campo gravitatorio, a través de una superficie, nos mide la cantidad de líneas del 
campo gravitatorio que pasan por esa superficie. El flujo total, a través de una superficie Gausia-na esférica de radio R, en cuyo interior hay una masa total M será: 
( )
n
i in
i 1
2
r r2
lim g dS g dS
Mg S G u 4 R u 4 GM
R
→∞
=
Φ = ⋅ = ⋅
 Φ = ⋅ = − ⋅ π = − π 
 
∑ ∫∫
 
Demostración infinitesimal: 
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( )
[ ] [ ]
r r2
2 2
0 00 0
Md g dS G u rd rsen d ·u GMsen d d
r
g dS GM sen d d GM cos 4 GM
π π π π
 Φ = ⋅ = − ⋅ θ θ φ = − θ θ φ 
 
Φ = ⋅ = − θ θ φ = − − θ φ = − π∫∫ ∫ ∫
 
y
z
x r·senθ ·dØ
Ø
θ
dr
r
r·dθ
 
Enunciado de la ley de Gauss: “El flujo del campo gravitatorio a través de una superficie cerrada 
es igual a 4 GMΦ = − π , siendo M la masa dentro de la superficie o una distribución de masas cuya 
suma es Mtotal.” 
En el caso de una superficie cerrada (superficie gaussiana), el flujo, a través de ella, puede ser ce-
ro o negativo: a) Si el flujo es cero quiere decir que entran en la superficie cerrada, el mismo nú-
mero de líneas del campo gravitatorio que salen, es decir, en su interior no hay fuentes del campo 
que son las masas. b) Si el flujo del campo gravitatorio es negativo quiere decir que salen, de la 
superficie cerrada, menos líneas del campo gravitatorio que entran. Es decir, en su interior hay 
fuentes del campo que son las masas. 
Aplicaciones del teorema de Gauss: Cuando hemos calculado el campo y el potencial gravitato-
rio en un punto determinado, hemos supuesto que las masas son puntuales o de tamaños mu-
cho más pequeños que las distancias al punto. Ahora bien, si los tamaños de las masas no se 
pueden despreciar frente a las distancias, para calcular el campo gravitatorio y el potencial gravi-
tatorio en un punto del campo, es más sencillo utilizar el teorema de Gauss. Ejemplos: a) Halla el 
campo gravitatorio, de una masa M, en un punto exterior a ella y a una distancia r de su centro 
de masas. 
 
M
ur r dS
Esfera imaginaria de radio r
R
 
En primer lugar, consideramos una esfera imaginaria de radio r, tomando la distancia r desde el 
centro de masas de M hasta el punto exterior. El flujo a través de la esfera imaginaria vendrá da-
do por el teorema de Gauss 
2
r
r2
g S g 4 r u 4 GM
GMg u
r
Φ = ⋅ = ⋅ π = − π
= −
 
El campo gravitatorio en el exterior de la masa M es inversamente proporcional al cuadrado de la 
distancia desde su centro de masas. 
b) Halla el campo gravitatorio, de una masa M esférica, de radio R, en un punto de su interior y a 
una distancia r de su centro de masas. 
 
 
 
 
 
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M
R
r
Esfera imaginaria
de radio r
g rR
0
lineal
r
1/r²
 
Consideremos una esfera imaginaria de radio r. Siendo r la distancia desde el centro de masas de 
M hasta el punto interior, y siendo m la masa que hay dentro de la esfera imaginaria. El flujo a 
través de la esfera imaginaria vendrá dado por el teorema de Gauss 
2
r
i r2
g S g 4 r u 4 Gm
mg G u
r
Φ = ⋅ = ⋅ π = − π
= −
 
Si la esfera es homogénea su densidad permanece constante: 
3
3 3 34 4
3 3
3
3
i 2 2 3
M m rm M
R r R
rM
m R Mrg G u G u G ur r rr r R
ρ = = ⇒ =
π π
= − = − = −
 
El campo gravitatorio en el interior de la masa M es directamente proporcional a la distancia des-
de su centro de masas. 
Si se considera la Tierra homogénea, de masa MT, y dejamos caer un cuerpo, de masa m, hacia su 
centro de la Tierra. La velocidad con la que llega será calculada de la siguiente forma, si vi=0; 
ri=RT; rf=0 
c p
f
f f
2T T
i r3 3i i T T i
2 2 2T T
c f T T3 3
T T
T
f
T
W E E
M r M1W mg dr mG u dr mG r
2R R
M m M m1 1 1W E mv 0 0 G R G R
2 2 2R R
M mv G
R
= ∆ = −∆
 
= ⋅ = − ⋅ = −  
  
 
= ∆ = − = − − = 
  
=
∫ ∫
 
Campo gravitatorio terrestre. Satélites.- 
 El movimiento de los satélites viene regido por el campo gravitatorio terrestre. Para analizar-
lo, vamos a estudiar el campo gravitatorio terrestre considerando cómo varía éste con la altura, 
cómo varía la energía potencial gravitatoria y posteriormente analizaremos el movimiento de los 
satélites artificiales. 
Campo gravitatorio terrestre; variación de g con la altura: 
 A mayor altura sobre la superficie terrestre la intensidad del campo gravitatorio terrestre 
disminuye. Sean MT y RT la masa y el radio de la Tierra. Si aplicamos el teorema de Gauss para el 
cálculo del campo gravitatorio a una distancia r>RT del centro de masas de la Tierra y exterior a 
ella, es decir, r=RT+h, siendo h la distancia desde la superficie terrestre o altura: 
 
( )
2
T
T T
2 2
T
g S g 4 r u 4 GMr
M Mg G u G ur rr R h
Φ = ⋅ = ⋅ π = − π
= − = −
+
 
Energía potencial gravitatoria terrestre: La energía potencial gravitatoria de una masa, m, en el 
campo gravitatorio terrestre disminuye con la altura h. 
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ff f
T T T T
por r p(g)2i i f ii
T T
p(g)
T
M m M m M m M mW F dr G u dr G G G E
r r rr
M m M mE G G
r R h
    = ⋅ = − ⋅ = − − = − − − − = −∆       
= − = −
+
∫ ∫
 
Satélites: velocidad orbital y velocidad de escape.- 
 Cuando un satélite está girando alrededor de la Tierra describiendo una órbita circular está 
sintiendo la fuerza gravitatoria. La fuerza gravitatoria es atractiva y perpendicular al despla-
zamiento, por tanto, la fuerza gravitatoria no realiza trabajo sobre el satélite y éste no varía 
su energía cinética. 
 Al no variar la energía cinética del satélite no cambia el módulo de su velocidad. Sin embar-
go, el satélite está sometido a una fuerza, la gravitatoria, y ha de experimentar una aceleración 
que se invierte en cambiar la dirección de la velocidad. 
Velocidad orbital: 
( )
f
por c t t
i
T
g r t n n n centrípeta2
2
orbT
n r r2
T T
orb
T
d v
W E F dr 0 v cte a 0 u
dt
M mF G u ma m a a ma F F
r
vMa G u u
rr
M Mv G G
r R h
= ∆ = ⋅ = ⇒ = ⇒ = =
= − = = + = = =
= − = −
= =
+
∫
 
 Existe una relación entre velocidad orbital, altura y periodo. Un satélite a una altura ha de 
tener una velocidad orbital única y un periodo fijo. 
( )
( )
orb T
T
orb
2 2v r r R h
T T
2 R h
T
v
π π= ω ⋅ = ⋅ = ⋅ +
π +
=
 
Energía mecánica de un satélite en órbita: Un satélite, de masa m, girando alrededor de la Tie-
rra, a una distancia r del centro de masas de la Tierra, es decir, a una altura h sobre la superficie 
tiene una energía mecánica total que es la suma de la energía cinética y de la energía potencial 
gravitatoria: Emecánica = Ecinética + Epotencial(gravitatoria) 
( )
2 T T T T T
m orb
T
M m M M m M m M m1 1 1 1E mv G mG G G G
2 r 2 r r 2 r 2 R h
= − = − = − = −
+
 
 La energía mecánica total es la suma de la energía cinética, que es siempre positiva, y de 
la energía potencial gravitatoria, que es negativa. La energía potencial gravitatoria es el doble, en 
valor absoluto, que la energía cinética por lo que la energía mecánica total del satélite en órbita es 
negativa. 
 Newton, haciendo los cálculos necesarios, demostró: 
1º) Si la energía mecánica total del satélite en órbita fuese cero, la órbita no sería una elipse (ór-
bita cerrada) sino una parábola. Por tanto, el satélite se escaparía del campo gravitatorio te-
rrestre. Esto ocurre cuando la energía cinética, en valor absoluto, es igual que la energía po-
tencial gravitatoria. 
2º) Si la energía mecánica total del satélite en órbita fuese mayor que cero, la órbita sería una 
hipérbola. Es decir, si la energía cinética del satélite en órbita fuese mayor, en valor absoluto, 
que la energía potencial gravitatoria la energía del satélite sería positiva y se escaparía del 
campo gravitatorio. 
Velocidad de escape: 
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 Para que un satélite se escape de la superficie de la Tierra hemos de conseguir que la 
energía mecánica total sea cero. Por tanto, la velocidad de escape de la superficie de la Tierra 
se calculade la siguiente forma: 
2 T
m esc
T
2
2 T T
esc T
T T
escape T
M m1E 0 mv G
2 R
M Rv 2G 2g 2g R
R R
v 2g R
= = −
= = =
=
 
 Es independiente de la masa del satélite, aunque el empuje requerido para acelerarlo, que 
será el producto de la masa por la aceleración necesaria para alcanzar dicha velocidad, y obtener 
esa velocidad sí depende de la masa. En la práctica, se necesita una velocidad menor, debido a 
que la Tierra está girando y, si lanzamos el satélite en el sentido de giro de la Tierra, es decir, en 
sentido Oeste-Este ya lleva una velocidad relativa, y la de escape sería menor. Y, si el lanzamiento 
se hace cerca del Ecuador mayor será esa velocidad relativa. 
 Si el satélite se encuentra girando en una órbita, a una altura h sobre la superficie de la 
Tierra, entonces la velocidad de escape de dicha órbita y la energía adicional para que escape 
de la acción del campo gravitatorio terrestre sería: 
( )
( ) ( )
( )
2 T
m esc
T
2
2 T T
esc
T T
2
T
escape
T
M m1E 0 mv G
2 R h
M m Rv 2G 2g
R h R h
Rv 2g
R h
= = −
+
= =
+ +
=
+
 
Trabajo sobre un satélite: 
 Para colocar un satélite, en una órbita determinada, el trabajo que tienen que realizar los 
motores sobre el satélite, es decir, en contra de las fuerzas del campo gravitatorio, se invierte en 
incrementar su energía mecánica total: 
( )
( ) ( )
f f f f
neto neta g motor g m p(g) motor
i i i i
neto c p(g) motor
motor c p(g) c p(g) c p(g)f i
W F dr F F dr F dr F dr E W
W E E W
W E E E E E E
= ⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = −∆ +
= ∆ = −∆ +
= ∆ + ∆ = + − +
∫ ∫ ∫ ∫
 
El trabajo motor que hay que aplicar a un satélite desde la superficie de la Tierra para si-
tuarlo en una órbita de altura h: 
( ) ( )
( ) ( )
motor c p(g) c p(g)f i
2 T T T T
motor orb
T TT T
W E E E E
M m M m M m M m1 1W mv G G G G 0
R RR h R h2 2
= + − +
   = − − − = − + >   + +  
 
El trabajo motor que hay que aplicar a un satélite desde una órbita de altura hi para situarlo 
en otra órbita superior de altura hf: 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
motor c p(g) c p(g)f i
2 2T T
motor orb orb
T Tf i
T T
motor
T Tf i
W E E E E
M m M m1 1W mv G mv G
R h R h2 2
M m M m1 1W G G
R h R h2 2
= + − +
   
= − − −   + +   
   
= − − −   + +   
 
© Julio Anguiano Cristóbal INTERACCIÓN GRAVITATORIA 
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El trabajo motor que hay que aplicar a un satélite situado en la superficie de la Tierra para 
sacarlo de la interacción gravitatoria terrestre: 
 En la superficie de la Tierra consideramos la velocidad inicial cero y hay que alcanzar la ve-
locidad de escape 
( ) ( )
( )
motor c p(g) c p(g)f i
2 2T T
motor esc esc
T Tf i
T T
motor º Tf
T Ti
W E E E E
M m M m1 1W mv G 0 G mv
R R2 2
M m M mW 0 0 G G g R m
R R
= + − +
   = − − − =   
   
 = − − = = 
 
 
El trabajo motor que hay que aplicar a un satélite situado en una órbita a una altura h para 
sacarlo de la interacción gravitatoria terrestre: 
 En una órbita, a una altura h sobre la superficie de la Tierra, la velocidad inicial es la velo-
cidad orbital y para salir hay que alcanzar la velocidad de escape 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
motor c p(g) c p(g)f i
2 2 2 2T T
motor esc orb esc orb
T Tf i
2
2 T T º T
motor orbf
T T Ti
W E E E E
M m M m1 1 1 1W mv G mv G mv mv
R h R h2 2 2 2
M m M m g R m1 1 1W 0 mv G G
R h R h2 2 2 R h
= + − +
   
= − − − = −   + +   
 
= − − = + = + + + 
 
 
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Problemas de Interacción Gravitatoria.- G=6,67·10-11 Nm2kg-2; RT= 6,37·106 m; g0=9,80 ms-2. 
1) Dos partículas, de masa m, están fijas en los puntos (a; 0) y (-a; 0). Calcular: a) campo gravita-
torio en un punto de la mediatriz del segmento que une ambas masas, en función de la ordenada 
del punto; b) velocidad de una tercera masa puntual m, inicialmente en reposo en el punto (0; b) 
al pasar por el origen. [a) gy=-(2Gmy)/(a2+y2)1,5; b) v=[4Gm((a2+b2)½-a)/(a(a2+b2)½)]½] 
2) Una masa puntual de 8 kg está situada en el punto (0; 0). Calcular: a) punto del eje OY en el 
que habría que colocar otra masa puntual de 6 kg para que una partícula libre, de 2 kg, se en-
cuentre en reposo en el punto (0;2) m; b) energía potencial gravitatoria de la partícula libre. [a) 
(0;2+(3)½) m ; b) - 9,96·10-10 J] 
3) Calcula: a) la altura sobre la superficie terrestre a la que el valor de g se ha reducido a la mitad; 
b) el potencial gravitatorio terrestre en un punto situado a 6.370 km de distancia de la Tierra. [a) 
2.638 km; b) U=-31,3 MJ/kg] 
4) Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie terrestre con una velocidad 
de 1.000 m/s. a) Calcular la altura máxima que alcanzará; b) repetir el cálculo despreciando la 
variación de g con la altura y comparar el resultado con el del apartado anterior. [a) 51.274,7 m ; 
b) 51.020,4 m] 
5) Calcula: a) el trabajo que hay que realizar para trasladar un cuerpo de 20 kg desde la superficie 
terrestre hasta una altura igual al radio de la Tierra; b) velocidad con que habría que lanzarlo pa-
ra que alcanzara dicha altura. [a) W=+6,26·108 J; b) 7.912 m/s] 
6) Un satélite artificial describe una órbita circular a una altura igual a tres radios terrestres so-
bre la superficie de la Tierra. Calcula: a) la velocidad orbital del satélite; b) la aceleración del mis-
mo. [a) 3.957 m/s=14.243 km/h; b) 0,61 m/s2] 
7) Un satélite se encuentra en órbita geoestacionaria. Calcula: a) la velocidad del satélite; b) el ra-
dio de la órbita. [a) 11.071 km/h; b) 42.167 km ó 36.000 km de altura] 
8) Calcula la velocidad de escape para un cuerpo situado en: a) la superficie terrestre; b) a una al-
tura de 2.000 km sobre dicha superficie. [a) 40.286 km/h; b) 35.145 km/h] 
9) Un objeto que pesa 686 N en la superficie de la Tierra se encuentra en la superficie de un pla-
neta cuyo radio es el doble del terrestre y cuya masa es 8 veces la de la Tierra. Calcular: a) peso 
del objeto en dicho lugar; b) tiempo de caída desde una altura de 20 m sobre la superficie del pla-
neta. [a) 1376 N; b) 1,4 s] 
10) Calcula el campo gravitatorio en el interior de la Tierra. Posteriormente, determina la veloci-
dad con la que llegaría un objeto que se deja caer desde la superficie de la Tierra, a través de un 
agujero a lo largo de un diámetro, al centro de la Tierra. ( ) 12 T Tv GM m R
−= 
11) Se desea situar un satélite artificial, de 50 kg de masa, en una órbita circular situada en el 
plano del ecuador y con un radio igual al doble del radio terrestre. Calcule: a) la energía que hay 
que comunicar al satélite y la velocidad orbital del mismo; b) la energía adicional que habría que 
aportar al satélite en órbita para que escape de la acción del campo gravitatorio terrestre.[a) 2,40 
GJ; 5,64 km/s; b) 8 GJ] 
12) Se desea situar un satélite artificial, de 100 kg de masa, en una órbita circular situada en el 
plano del ecuador y con un radio igual a 2,5·RT. Calcule: a) la energía que hay que comunicar al 
satélite y la velocidad orbital del mismo; b) la energía adicional que habría que aportar al satélite 
en órbita para que escape de la acción del campo gravitatorio terrestre. [a) 5 GJ; 5 km/s; b) 1,25 
GJ] 
13) Un meteorito de 1000 kg colisiona con otro, a una altura sobre la superficie terrestre de 6 ve-
ces el radio de la Tierra, y pierde toda su energía cinética. a) ¿Cuánto pesa el meteorito en ese 
punto y cuál es su energía mecánica tras la colisión?. b) Si cae a la Tierra, haga un análisis ener-
gético del proceso de caída. Con qué velocidad llega a la superficie de la Tierra. ¿Dependerá esa 
velocidad de la trayectoria seguida. Razone las respuestas. 
14) A una altura de 500 km giran dos satélites de masa 1000 kg, cada uno, describiendo la mis-
ma órbita circular, pero en sentido contrario, con lo que chocarán. Si la colisión es totalmente in-
elástica calcula: a) la energía mecánica inmediatamente despuésde la colisión; b) la velocidad con 
la que llegan al suelo si despreciamos el rozamiento con la atmósfera terrestre. Datos: g0=9,8 m·s-
2; RT=6,37·106 m. [a) -1,16·1011J; b) 3014 m/s] 
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15) Un satélite, de 1000 kg, está girando alrededor de la Tierra en una órbita circular a una altura 
de 350 km. a) ¿Cuál es la energía mecánica del satélite?. b) ¿Cuál es la energía que se ha gastado 
para colocarlo en dicha órbita?. Datos: G=6,67·10-11N·m2·kg-2; g0=9,8 m·s-2; RT=6370 km. [a) -
2,96·1010J; b) 3,28·1010J] 
16) Un cuerpo, inicialmente en reposo a una altura de 150 km sobre la superficie terrestre, se de-
ja caer libremente. a) Explique cualitativamente cómo varían las energías cinética, potencial y me-
cánica del cuerpo durante el descenso, si se supone nula la resistencia del aire, y determine la ve-
locidad del cuerpo cuando llega a la superficie terrestre. b) Si, en lugar de dejar caer el cuerpo, lo 
lanzamos verticalmente hacia arriba desde la posición inicial, ¿cuál sería su velocidad de escape?. 
Datos: G, RT y MT. 
 
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INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 
Interacción electrostática. Ley de Coulomb 
Campo y Potencial electrostáticos. Líneas del campo y superficies equipotenciales. 
Energía potencial electrostática. Ley de Gauss para el campo electrostático. 
Campo electrostático en la materia: conductores y dieléctricos. Polarización. 
Influencia del medio en la interacción electrostática; permitividad y constante dieléctrica 
Condensadores. Energía almacenada en un condensador cargado. Asociación de condensadores: 
serie y paralelo 
Estudio comparativo de los campos gravitatorio y electrostático. 
Campo magnético: origen y efectos 
Origen del campo magnético. Campo magnético producido por una carga eléctrica. 
Efectos del campo magnético. Fuerza magnética sobre una espira o sobre un hilo. 
Efectos del campo magnético sobre una espira rectangular. 
Fuerza magnética sobre una carga eléctrica en movimiento. Ejemplos de movimiento de partículas 
cargadas en un campo magnético. Dipolos magnéticos 
Análisis comparativo entre las interacciones eléctrica y magnética entre dos cargas en movimiento 
relativo 
Campo magnético producido por un hilo conductor por el que pasa una corriente eléctrica 
Relación entre el campo magnético de una corriente y el campo magnético de una carga en movi-
miento 
Ley de Ampère. Aplicaciones de la ley de Ampère 
Comparación entre los campos electrostáticos y magnético estacionario 
Fuerzas entre corrientes. Definición de Ampère 
Inducción electromagnética. Ley de Lenz-Faraday. Ley de Faraday-Henry de la inducción elec-
tromagnética 
Enunciado de la ley de Lenz. Autoinducción e inducción mutua. Transformadores 
Autoinducción. Energía almacenada en una bobina 
Inducción mutua. El Transformador. Detectores de metales 
Problemas propuestos de electromagnetismo 
Interacción electrostática. Ley de Coulomb.- 
 El origen de la interacción eléctrica son las cargas eléctricas. Los aspectos más importantes 
son: 
1) Existen dos tipos de interacción, atractiva y repulsiva, debido a que existen dos tipos de 
cargas eléctricas, positivas y negativas. 
2) La interacción atractiva se produce entre las cargas de distinto tipo y la interacción repulsi-
va entre las cargas del mismo tipo. 
3) Las cargas eléctricas son de naturaleza escalar y aditivas. En cuanto a la cuantificación de 
la carga eléctrica, se ha observado en la naturaleza, que son múltiplos de la carga elemental 
que es la carga del electrón, de valor -1,6·10-19 C. La conservación de la carga es un princi-
pio a considerar, ya que la carga eléctrica se puede mover a través de un objeto, pasar de un 
objeto a otro pero no se destruye. 
 Charles Augusto Coulomb (1736-1806) realizó una serie de experimentos para determinar la 
interacción entre dos cargas puntuales y llegó a la siguiente expresión, conocida como ley de 
Coulomb: “La interacción eléctrica entre dos partículas cargadas, en reposo o en movimiento rela-
tivo muy lento, es directamente proporcional al producto del valor de sus cargas e inversamente 
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, y su dirección es a lo largo de la línea 
que une las dos cargas. La interacción depende siempre del medio”. 
r
e e r e2 3
e
r
ru
rQq QqF K u K r
1 1r r K
4 4
 == = 
 = =
πε πε ε
 
 Las propiedades eléctricas del medio que se expresan por la constante e
1K
4
=
πε
, siendo 
rε = ε ε un parámetro (llamado permitividad) que depende de las propiedades eléctricas del medio, 
su valor es igual al producto de la permitividad del vacío por la constante dieléctrica del medio. 
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Campo y Potencial electrostáticos.- 
Concepto de campo electrostático creado por una carga puntual Q: Existe un campo electrostá-
tico en una región del espacio si al colocar una carga eléctrica ésta experimenta una fuerza eléc-
trica. La intensidad del campo electrostático creado por la carga puntual Q, en reposo, en un 
punto del espacio es una magnitud vectorial definida 
e r2q 0
F QE lim K u
q r→
= = 
 La intensidad del campo electrostático creado por una carga Q, en un punto del espacio, de-
pende del vector de posición de dicho punto. Por tanto, el campo electrostático es un campo con-
servativo ya que la Circulación del campo electrostático no depende de la trayectoria elegida sino 
de los puntos inicial y final. Es decir, la Circulación del campo electrostático a lo largo de una tra-
yectoria cerrada será cero. Y decimos que en cada punto del campo electrostático podemos definir 
un potencial electrostático. 
ff f
e r e e e e2i i f ii
f e
e
i
Q Q Q QC E dr K u dr K K K V
r r rr
E dr dV
C E dr V
C E dr 0
  = ⋅ = ⋅ = − = − − = −∆     
 ⋅ = −= ⋅ = −∆ ⇒ 
= ⋅ =
∫ ∫
∫ ∫
 
Concepto de potencial electrostático debido a una carga puntual Q: e
QV K
r
= 
Líneas del campo y superficies equipotenciales: 
-+
 
Energía potencial electrostática: 
 Si colocamos una carga eléctrica, q, en un punto del espacio, en el que existe un campo 
electrostático, experimenta una fuerza eléctrica que viene dada por eF qE= . Al ser el campo eléc-
trico conservativo, la fuerza eléctrica también es conservativa. 
 Por tanto, podemos definir en cada punto del campo eléctrico en el que coloquemos una car-
ga q una magnitud escalar llamada energía potencial del campo electrostático asociada a la carga. 
Si el campo electrostático está creado por una carga Q: 
( )
ff
por e r e e e p(e)2i f ii
e p ef
por e p(e)
i e
p(e) e
Qq Qq Qq QqW K u dr K K K E
r r rr
F dr dE
W F dr E
C F dr 0
QqE K
r
  = ⋅ = − = − − = −∆     
 ⋅ = −
= ⋅ = −∆ ⇒ 
= ⋅ =
=
∫
∫ ∫
 
 La variación de energía potencial electrostática al cambiar de posición la carga q es igual al 
producto del valor de la carga q por la variación del potencial electrostático entre esos dos puntos: 
por p(e) eW E q V= −∆ = − ∆ 
Campo y potencial electrostáticos de una distribución de cargas puntuales: Si tenemos una 
distribución de cargas puntuales (Q1, Q2, Q3, ..., Qn), para calcular el campo eléctrico en un punto 
del espacio aplicamos el Principio de Superposición: 
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“El campo electrostático, producido por un conjunto discreto de cargas puntuales, en un punto 
del campo, es la suma vectorial de los campos electrostáticos debidos a cada una de las cargas 
1 2 i
n
21 i
1 2 e r e r e r2 2 2
1 2 ii 1
QQ QE E E ... K u K u ... K u
r r r=
= + + = + + = ∑ 
 Y, el potencial electrostático en el mismo punto es la suma de los potenciales debidos a cada una 
de las cargas 
n
21 i
e 1 2 e e e
1 2 ii 1
QQ QV V V ... K K ... K
r r r
=
= + + = + + = ∑ 
Ley de Gauss para elcampo electrostático: La ley de Gauss para el campo electrostático rela-
ciona los campos electrostáticos, en la superficie Gausiana que es una hipotética superficie cerra-
da, y las cargas encerradas por dicha superficie. Por otra parte, la ley de Gauss relaciona el flujo 
total de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada (superficie Gausiana) con la carga 
neta, qneta, que está dentro de dicha superficie. 
El enunciado de la ley de Gauss nos dice: “El flujo total de un campo eléctrico a través de una su-
perficie cerrada (superficie Gausiana) es igual a la carga neta, qneta, que está en el interior de dicha 
superficie dividido por la permitividad del vacío netaqΦ =
ε
.” 
 El flujo total de las líneas del campo eléctrico, a través de una superficie Gaussiana, nos 
mide la cantidad de líneas del campo que pasan a través de dicha esa superficie. El flujo puede 
ser cero, positivo o negativo. 
x Si el flujo es cero, quiere decir que entran en la superficie Gaussiana el mismo número de 
líneas del campo que salen. Es decir, que en el interior de la superficie la qneta es cero (o no 
hay cargas o la suma de las positivas y negativas es cero). 
x Si el flujo es positivo, o mayor que cero, quiere decir que salen de la superficie Gausiana 
más líneas del campo que entran. Es decir, que en el interior de la superficie la qneta es ma-
yor que cero o positiva. 
x Si el flujo es negativo, quiere decir que salen menos líneas del campo que entran. Es decir, 
que en el interior de la superficie Gaussiana la qneta es menor que cero o negativa. 
Determinación del flujo total a través de una superficie Gausiana: 
n
i in
i 1
lim E dS E dS
→∞
=
Φ = ⋅ = ⋅∑ ∫∫ 
y
z
x r·senθ ·dØ
Ø
θ
dr
r
r·d θ
 
( )
[ ] [ ]
r r2
2 2
0 00 0
Q Qd E dS u rd rsen d ·u sen d d
44 r
Q Q Q Qsen d d cos 4
4 4 4
π π π π
 
Φ = ⋅ = ⋅ θ θ φ = θ θ φ   πεπε 
Φ = θ θ φ = − θ φ = π =
πε πε πε ε∫ ∫
 
Ejemplos de aplicación de la ley de Gauss: 
a) Calcula el campo electrostático producido por la superficie de un conductor metálico plano car-
gado positivamente y uniformemente por toda la superficie, con una determinada densidad super-
ficial de carga, q Sσ = , que es la relación entre exceso de la carga total sobre la superficie y la su-
perficie del plano. Consideramos, como superficie Gausiana, un cilindro de bases superficiales, S, 
© Julio Anguiano Cristóbal INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 
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cuyo punto medio está en la superficie plana del conductor, y el flujo total por las dos bases (su-
perficies) del cilindro será 
S
S
S
+
+
+
+
 
superficie
total
Sq
E S E S 2 E S
E
2
σ
Φ = ⋅ + ⋅ = = =
ε ε
σ=
ε
 
El campo es independiente de la distancia al plano y es por tanto uniforme. 
b) Calcula el campo eléctrico producido por dos superficies planas, iguales y paralelas, que están 
uniformemente cargadas, una positivamente y la otra negativamente: en la zona comprendida en-
tre las dos 
 consideramos la superficie Gausiana en forma de cilindro, de bases S, en la zona entre los dos 
planos paralelos en la que los campos electrostáticos (el de la positiva y el de la negativa) tienen la 
misma dirección y sentido, luego el flujo a través de la zona media del cilindro será la suma de 
flujo de la positiva y de la negativa: 
21
total
S S 2 SqqE S E S 2 E S
E
+ −
σ σ σ
Φ = + = = + = + =
ε ε ε ε ε
σ=
ε
 
 La dirección del campo E va desde placa positiva a la negativa. 
( )
E dr dV
E d V V V V V− + + −
⋅ = −
⋅ = −∆ = − − = −
 
c) Campo electrostático debido a una distribución de carga esférica, Q, de radio a: 
- Para un punto exterior (r>a): 2total r r2
Q QE S E 4 r u E u
4 r
Φ = ⋅ = ⋅ π = ⇒ =
ε πε
 
- Para un punto interior (r<a) hay dos casos: 
1º.- Si toda la carga está en la superficie de la esfera cargada entonces el flujo a través de una su-
perficie imaginaria es cero, ya que no hay cargas en el interior, y el campo será cero en el interior 
de la esfera Φ=0, luego E=0. 
2º.- Si la esfera está uniformemente cargada, en el interior y en el exterior: 
E>0
E=0
σ
E=0
+Q -Q
V1 V2
d
1 2
S S
σ=Q/S
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3
3
3
3 3 34 4
3 3
r2
2
total r r
a
r r2 3
Q q rq Q
a r a
qE u
4 rqE S E 4 r u
Q QrE u u
4 r 4 a
ρ = = ⇒ =
π π
 = πεΦ = ⋅ = ⋅ π = ⇒ 
ε  = = πε πε
 
a
r r
E
ra 
Campo electrostático en la materia: conductores y dieléctricos.- 
Conductores: Se llaman conductores a aquellos materiales que contienen partículas cargadas y 
se pueden mover libremente a través de ellos o en su interior. Son ejemplo de conductores los me-
tales, las disoluciones electrolíticas (con iones) y los gases ionizados. En la presencia de un campo 
eléctrico las partículas cargadas, y que se pueden mover libremente, lo hacen de tal forma que las 
partículas cargadas positivamente van en el mismo sentido de las líneas del campo y las cargadas 
negativamente lo hacen en sentido contrario de las líneas del campo. 
En el caso de un conductor metálico las únicas partículas cargadas que se pueden mover libre-
mente son los electrones. 
E=0
-
-
-
- - +
+
+
++
-
+
 
 En presencia de un campo eléctrico, los electrones se acumulan sobre la superficie del conduc-
tor, hasta que el campo eléctrico que ellas producen dentro del conductor, cancela completamente 
el campo eléctrico externo en el interior del conductor. Por tanto, en un conductor situado dentro 
de un campo eléctrico y el cual está en equilibrio electrostático, es decir, sin movimiento de cargas 
el campo eléctrico dentro es cero. Y el campo eléctrico en la superficie del conductor en equilibrio 
es normal a la superficie. 
Dieléctricos: Los dieléctricos son materiales que no son conductores de la electricidad por no te-
ner electrones que se puedan mover libremente a través de ellos ni dejar que estos pasen por su 
interior. Son ejemplos de estos materiales la goma, el caucho, los plásticos y en general todos los 
compuestos cuyos átomos estén unidos por enlaces covalentes, es decir, en los que los átomos 
que están unidos están compartiendo los electrones exclusivamente entre ellos. 
Polarización: Los dieléctricos, al estar constituidos por electrones, pertenecientes a los átomos, 
se alteran ante la presencia de un campo eléctrico. 
- +
E
p=q·d
 
 Así, en los átomos aislados el centro de masas de los electrones (la carga negativa) coincide 
con el centro de masas de las positivas que es el centro del núcleo. Ahora bien, si colocamos unos 
átomos dentro de un campo eléctrico, el movimiento de los electrones se verá perturbado despla-
zando el centro de masas de los electrones (la carga negativa) hacia el origen del campo eléctrico y 
el centro de masas de las cargas positivas en el sentido del campo. Éste fenómeno se llama pola-
rización y se mide con la magnitud física, de carácter vectorial, llamada momento dipolar. 
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 El momento dipolar es el producto de la magnitud de la carga desplazada por el desplaza-
miento, siendo el sentido del vector de la carga negativa a la positiva p q d= ⋅ . Las moléculas 
también pueden adquirir un momento dipolar eléctrico inducido por un campo eléctrico externo. 
 Al no coincidir el centro de masas de las cargas positivas y de las negativas se les llama dipolos. 
Por lo que si un dieléctrico se coloca en el interior de un campo eléctrico sus átomos o moléculas 
llegarán a ser dipolos eléctricos orientados en la dirección del campo eléctrico externo aplicado. 
Muchas moléculas tienen un momento dipolar eléctrico permanente y se llaman polares, así el 
HCl tiene un momento dipolar de 3,43·10-30 C·m. En ausencia de un campo eléctrico externo, las 
moléculas polares están orientadas al azar y no se observa momento dipolar en el conjunto. Sin 
embargo, si se aplica un campo eléctrico los dipolos tienden a orientarse de tal forma que elpolo 
negativo se orienta hacia el origen del campo y el positivo en su mismo sentido. 
 Por tanto, un material dieléctrico en la presencia de un campo eléctrico se polariza. Y se de-
fine la polarización del material como el momento dipolar del medio por unidad de volumen. Si p 
es el módulo del momento dipolar inducido en cada átomo o molécula y hay n átomos o moléculas 
por unidad de volumen, la polarización P será: 
3 2
n
moléculas CP n p Cm
m m
P u
 = ⋅ ⋅ ≡ 
 
σ = ⋅
 
La componente de la polarización de un dieléctrico en la dirección de la normal a la superficie del 
cuerpo es igual a la carga por unidad de área sobre la superficie del cuerpo polarizado. Luego la po-
larización coincide con la densidad superficial de carga inducida por la polarización. 
 En general, el vector polarización de un dieléctrico depende de tres factores: a) del campo 
eléctrico aplicado; b) del tipo de material de que esté constituido el dieléctrico especificado por la 
susceptibilidad eléctrica; c) del medio físico en el que se encuentre, especificado por la permi-
tividad. Siendo eP E= ε χ . 
Influencia del medio en la interacción electrostática; permitividad y constante dieléctrica: 
Si colocamos un dieléctrico dentro de un campo eléctrico producido por dos placas metálicas uni-
formemente cargadas, dentro del dieléctrico se crea una polarización con una carga superficial 
que contrarresta al campo eléctrico externo: 
+
+
+
+
−σ
E
-
-
-
cargas
libres
+
+
+
polarización libre
σlibre
σ σp p
-
-
-
-
-
-
d
σneta= σlibre -P
+Q -Q
∆ V=E·d
εr
 
Por la ley de Gauss tenemos que el campo eléctrico entre las placas metálicas será: 
- sin el dieléctrico: libre libre libret
2Q 2 S
2E S E
σ σ
Φ = = = ⇒ =
ε ε ε
 
- con el dieléctrico neta libreneta libre polarización
neta libre
izquierda: P
derecha: P
σ = σ −
σ = σ + σ ⇒  σ = −σ +
 
O
H
H-
+
+
p
p
ptotal
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( )
neta libre
libre e e r
libre libre
r
P
E
P E E E 1 E E E D
E
σ σ −
= =
ε ε
σ = + ε = ε χ + ε = ε χ + = ε ε = ε =
σ σ
= =
ε ε ε
 
 La magnitud D, llamada desplazamiento eléctrico, depende solamente de las cargas libres 
que crean el campo. Su dirección y sentido es el mismo que el del campo eléctrico E. 
 El desplazamiento eléctrico D, al depender sólo de las cargas libres es más operativo, ya que 
no hay forma directa de controlar la carga de polarización. Así, el desplazamiento eléctrico con di-
eléctrico y el desplazamiento eléctrico sin dieléctrico son iguales D=D0, pero el campo eléctrico de-
pende del dieléctrico: 
libre
r
r
D D
E E E
E E
E E
= = σ
ε = ε ε = ε
= ε
>
 
 El campo eléctrico depende de la constante dieléctrica rε , que varía desde 1 (para el vacío) 
hasta 310 (titanato de estroncio), siendo para el agua a 25ºC igual a 78,5. 
La diferencia de potencial entre dos puntos del campo también varía con el medio: 
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
r
r r
V V E d E d V V
V V V V 1
V VV V E d
+ − + −
+ − + −
+ −+ −
− = ⋅ = ε ⋅ − ⇒ − = ε − ⇒ ε = >
−− = ⋅
 
Condensadores.- 
 Concepto de capacidad de un conductor: “Se define la capacidad de un conductor como la 
relación entre su carga y el potencial C=Q/V siendo la unidad 1 faradio (1 F=1C/1V)”. 
 Consideremos una esfera conductora, de radio R, que contiene una carga Qlibre y rodeada del 
vacío, en primer lugar, y de un dieléctrico εr, posteriormente. La relación entre la carga Qlibre y el 
potencial eléctrico, en cada caso, en la superficie de la esfera conductora es constante e inde-
pendiente de la carga Qlibre. 
libre libre
r
librelibre
r
Q QC C
V VC 4 R; C 4 R 4 RQQ VV
4 R4 R
   = =      ⇒ = πε ⇒ = πε ε = πε   
   ==
   πε επε   
 
 El razonamiento anterior es válido para todos los conductores cargados de distinta geome-
tría. 
Concepto de condensador: Un condensador, o capacitor, está constituido por dos conductores 
aislados entre sí. Cuando un condensador se carga sus platos o conductores tienen igual carga 
pero opuesta. Cuando un conductor no está aislado su capacidad se afecta por la presencia de 
otros conductores que modifican su potencial. 
 Sea el condensador formado por dos conductores planos paralelos cargados con +Q y con -
Q. La capacidad del sistema que se llama capacitor o condensador depende de si hay entre los 
conductores un dieléctrico: 
libre libre
libre libre
r
Q S SC
V E d d
Q S SC C
V E d d
C C
σ ⋅
= = = ε
∆ ⋅
σ ⋅
= = = ε ε = ε
∆ ⋅
>
 
 Por tanto, si se introduce un dieléctrico en un condensador observamos que: a) disminuye el 
campo eléctrico en su interior (E<E0); b) disminuye la diferencia de potencial entre las placas 
(V<V0), y c) aumenta la capacidad del condensador (C>C0). 
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Energía almacenada en un condensador cargado: Cargar un conductor requiere gastar energía 
debido a que hay que vencer la repulsión entre las cargas y, por tanto, hay que hacer un trabajo 
sobre el sistema. Éste trabajo se manifiesta en el incremento de la energía potencial del conduc-
tor. Supongamos que, en un instante dado, una carga q’ se ha transferido desde un plato a otro. 
La diferencia de potencial V’ entre los platos en ese instante será q’/C. Si un incremento extra de 
carga dq’ se transfiere entonces el incremento de trabajo necesario será 
sobre p(e) 2Q
2
sobre
0
W E
q ' Q1 1 1W dq ' CV QVq ' C 2 C 2 2dW V 'dq ' dq '
C
= ∆
 ⇒ = = = =
= =
∫ 
Densidad de energía: es la energía potencial por unidad de volumen entre los platos del conden-
sador. Si consideramos un condensador de platos planos y paralelos de superficie S y siendo d la 
distancia entre los platos: 
2 2S1 1 2
p(e) r 22 2 d
r r2
E CV V 1 V 1U E
S d S d S d 2 2d
ε ε
= = = = ε ε = ε ε
⋅ ⋅ ⋅
 
 Asociación de condensadores: serie y paralelo.- Los condensadores en un circuito se pueden 
combinar de distintas formas, las más sencillas son en serie y en paralelo. Ahora vamos a calcular 
el condensador equivalente a una combinación determinada, es decir, la capacidad de un único 
condensador que tenga la misma capacidad que la combinación dada de condensadores. 
Serie: Consideremos dos condensadores de distinta capacidad, C1 y C2, conectados en serie a una 
batería, que mantiene una diferencia de potencial V que cruza los terminales de la combinación 
en serie. Esto produce las diferencias de potenciales V1 y V2 en los condensadores C1 y C2. Al estar 
en serie la carga de cada uno es la misma, pero como tienen distinta capacidad la diferencia de 
potencial entre los extremos de cada uno es distinta. Luego el condensador equivalente a los dos 
ha de tener la misma carga de cualquiera de ellos y la diferencia de potencial entre sus extremos 
ha de ser igual a la suma de las diferencias de potencial de cada uno 
total 1 2
total
total 1 2 eq
1 2 eq
V V V
Q Q Q Q
C C C C
1 1 1
C C C
∆ = ∆ + ∆
= + =
+ =
 
Paralelo: Consideremos dos condensadores de distinta capacidad, C1 y C2, conectados en paralelo 
a una batería. Los terminales de la batería están conectados a los platos de los dos condensado-
res. Como la batería mantiene una diferencia de potencial V entre los terminales, aplica la misma 
diferencia de potencial V a cada condensador. Al estar en paralelo la diferencia de potencial entre 
los extremos de cada uno es la misma, pero como tienen distinta capacidad la carga sobre cada 
uno es distinta. Luego el condensador equivalente a los dos ha de tener la misma carga de los dos 
y la diferencia de potencial entre sus extremos ha de ser igual a la de cada uno. 
total 1 2
eq 1 2
eq 1 2
Q Q Q
C V C V C V
C C C
= +
∆ = ∆ + ∆
= +
 
 Estudio comparativo de los campos gravitatorio y electrostático.- 
 
Característica de la fuerza Gravitatoria Electrostática 
Fuentes de la fuerza La masa Las cargas eléctricas (+ y -) 
Tipo de fuerza Central, conservativa y atractiva Central,conservativa y atractiva y repulsiva 
Relación entre fuerza-
fuentes 
Directamente proporcional al producto de las 
masas 
Directamente proporcional al producto de las 
cargas 
Relación entre fuerza-
distancia 
Inversamente proporcional al cuadrado de la 
distancia 
Inversamente proporcional al cuadrado de la 
distancia 
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Intensidad de la fuerza G=6,67·10-11 Nm2kg-2 Kvacío=9·109 Nm2C-2 
Influencia del medio en la 
fuerza No influye 
Inversamente proporcional a la constante di-
eléctrica 
Campo magnético: origen y efectos.- 
 La palabra magnetismo procede de una ciudad de Asia Menor llamada Magnesia donde se 
observaron, por primera vez, los fenómenos magnéticos. Los antiguos griegos observaron que cier-
tos minerales de hierro, tales como el imán o magnetita (Fe3O4), tienen la propiedad de atraer pe-
queños trozos de hierro. 
 La propiedad se manifiesta, en su estado natural, por el hierro, cobalto, manganeso y por 
muchos compuestos de estos metales. Esta propiedad no está relacionada con la fuerza gravitato-
ria ya que no la presentan todos los cuerpos y parece estar concentrada en determinados lugares 
del mineral. Tampoco está relacionada con la interacción electrostática, ya que no son atraídos, 
por estos minerales ni trozos de corcho ni de papel. 
 Las regiones del cuerpo donde el magnetismo parece estar concentrado son llamadas polos 
magnéticos. Un cuerpo magnetizado se llama un imán. La Tierra es un enorme imán. Por ejemplo, 
se observa que si una varilla imanada se deja girar libremente, en algún lugar de la superficie de 
la Tierra, siempre se orienta y de la misma forma hacia los polos geográficos, llamados Norte y 
Sur. Éste experimento también sugiere que hay dos tipos de polos magnéticos, que se designan 
con las letras N y S. 
 Si dos varillas imanadas se ponen cerca, los polos de igual nombre se repelen hasta enfren-
tarse los de distinto nombre. De tal forma que: “La interacción entre polos magnéticos iguales 
es repulsiva y entre polos magnéticos distintos es atractiva”. 
 Podríamos medir la intensidad de un polo magnético definiendo una masa magnética o una 
carga magnética, e investigando la dependencia de la interacción magnética con la distancia entre 
los polos. Sin embargo los físicos desconocían la naturaleza del magnetismo. 
 Por otra parte, una dificultad fundamental apareció cuando se quisieron hacer las medidas 
de intensidad, y es que experimentalmente ha sido imposible aislar un polo magnético o aislar un 
tipo de partícula que tenga un sólo tipo de magnetismo (N ó S), como sí ha ocurrido con las cargas 
eléctricas. 
Origen del campo magnético: 
 Los hechos experimentales que demostraban la conexión entre la electricidad y el magne-
tismo (electromagnetismo) son: 
1) En 1820, el danés C. Oersted descubrió que una corriente eléctrica, al pasar por un hilo 
conductor, producía un campo magnético a su alrededor. De tal forma que al pasar la co-
rriente eléctrica por el hilo que tiene cerca unos imanes perpendiculares al hilo los orienta 
dependiendo del sentido de la intensidad de corriente. Sin embargo, Oersted no determinó 
ninguna ley cuantitativa del descubrimiento ni dio una explicación correcta del fenómeno. 
Pero las noticias de su descubrimiento llegaron a Francia donde Biort y Savart interpretaron 
éste fenómeno. 
2) En el mismo año, de 1820, y a las pocas semanas de que Oersted publicara su descubri-
miento, Andre Marie Ampère (1775-1836) presentó los resultados de una serie de experi-
mentos en los que se ponía de manifiesto la interacción magnética entre hilos conductores 
por los que pasan distintas corrientes eléctricas. 
 La experiencia, ha demostrado que el magnetismo es una manifestación de las cargas eléctri-
cas en movimiento relativo a un observador. Por esta razón, las interacciones eléctricas y magnéti-
cas se deben considerar siempre bajo el nombre más general de interacción electromagnética. 
 Podemos decir que el origen del campo magnético son las corrientes eléctricas o las cargas 
eléctricas en movimiento relativo. 
 Como veremos a lo largo del tema, las interacciones eléctricas y magnéticas están muy rela-
cionadas, siendo sólo dos aspectos diferentes de una misma propiedad de la materia, sus cargas 
eléctricas. 
 Consideremos dos circuitos eléctricos, 1 y 2, con intensidades I1 y I2, siendo F12 y F21 las 
fuerzas respectivas de uno sobre otro. La F12 significa la fuerza ejercida sobre el circuito 1 debido 
al 2. La F21 significa la fuerza ejercida sobre el circuito 2 debido al 1: 
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I
O
r
r
dl
dl
I
Circuito 1
F
F
Circuito 2
21
12
1
2
2
1
r21
2
1
 
 La ecuación obtenida nos expresa la fuerza que un circuito, denominados 1 y 2, ejerce sobre 
otro por los que están pasando intensidades de corriente eléctrica I1 y I2, respectivamente. Siendo 
F21 la fuerza que ejerce sobre el circuito 2 el circuito 1 y F12 la fuerza que ejerce sobre el circuito 1 
el circuito 2: 
2
2 12
12 m 1 2 1 31 2 12
12 21
1 21
21 m 2 1 2 32 1 21
7 N
m A
dl r
F K I I dl
r
F F
dl r
F K I I dl
r
K 10
4
−
 ×
= ×
= − ⇒ 
× = ×

µ
= =
π
∫ ∫
∫ ∫ 
La constante 2
7 N
A
4 10−µ = π se le llama permeabilidad magnética del vacío. 
 La ecuación de interacción entre corrientes, obtenida por Ampère, es análoga a la de la ley 
de Coulomb de la interacción electrostática. La explicación de los hechos experimentales anterio-
res se debió a Biot y Savart que dijeron: 
1) Una corriente eléctrica al pasar por un circuito crea en el espacio que lo rodea un campo 
magnético de la misma forma que un imán. 
2) Un campo magnético interacciona con una corriente eléctrica. 
El valor del campo magnético lo dedujeron de las ecuaciones obtenidas por Ampère sobre 
las fuerzas entre corrientes. Por tanto, de las ecuaciones anteriores, se pueden separar los térmi-
nos correspondientes al circuito 1 y al circuito 2: 
2 12
12 1 1 m 2 1 1 1231 2 112
1 21
21 2 2 m 1 2 2 2132 1 221
dl r
F I dl K I I dl B
r
dl r
F I dl K I I dl B
r
 ×
= × = ×


× = × = ×

∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
 
Siendo 21B el campo magnético (inducción magnética) producido por el circuito 1 en el cir-
cuito 2, y 12B el campo magnético (inducción magnética) producido por el circuito 2 en el circuito 
1. 
 Por tanto, el campo magnético, en un punto, producido por una espira por la que pasa una 
intensidad de corriente, viene dado por la ley de Biot y Savart: 
 
 
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2 12 2 12
12 m 2 12 23 32 12 12
1 21 1 21
21 m 1 21 13 31 21 21
dl r dl r
B K I dB I
4r r
dl r dl r
B K I dB I
4r r
 × ×µ
= ⇒ =
π

× ×µ = ⇒ = π
∫
∫
 
 Algunos campos magnéticos: en la superficie de la Tierra es de 10-4 T, en el espacio interes-
telar es de 10-2 T, un electroimán 1,5 T y en la superficie de una estrella de neutrones 108 T. 
Campo magnético producido por una carga eléctrica: 
El campo magnético producido por una carga eléctrica q, que se mueve respecto de un 
punto O, con una velocidad v, viene dado por: 
r
3 2
v uv rB q q
4 4r r
µ µ ××
= =
π π
 
Es decir, una carga eléctrica en movimiento relativo al observador produce un campo 
magnético añadido a su campo eléctrico. 
La unidad de campo magnético B se denomina tesla (T), en honor de Nikola Tesla: 1T=1 
N/(1A·1m). Un tesla corresponde al campo magnético que produce una fuerza de un newton sobre 
una carga de un culombio moviéndose a una velocidad perpendicular al campo de un metro por 
segundo. 
En un punto determinado, el vector campo magnético es perpendicular al vector velocidad 
de la carga y al vector posición del punto respecto de la carga. 
Para cargas que se mueven con una velocidad muy inferior a la velocidad de la luz (v<<c): 
r2
r
r r2 2 2
qE u
4 r
v u q qB q v u v u v E
4 r 4 r 4 r
=
πεµ ×
= = µ × = µ ε × = µ ε ×
π π πε
 
 Por tanto, aunque una carga en reposo produce sólo un campo eléctrico, “una carga en 
movimiento relativo al observador, produce un campo eléctrico y un campo magnético”. Es-
tando los dos campos relacionados por la ecuación anterior. 
 Los campos eléctricos y magnéticos son simplemente dos aspectos de una propiedad fun-
damental de la materia, la carga eléctrica. Es más apropiado usar el término campo electromag-
nético para describir la situación física que implica cargas en movimiento. 
 Otra propiedad interesante es la siguiente: “dos observadores en movimiento relativo miden 
diferentes velocidades de la carga eléctrica en movimiento y por tanto también miden diferentes 
campos magnéticos”. 
En otras palabras, los campos magnéticos dependen del movimiento relativo de la 
carga y del observador. 
Efectos del campo magnético: 
Los efectos del campo magnético son las fuerzas magnéticas. 
Fuerza magnética sobre una espira o sobre un hilo conductor debido a un campo mag-
nético producido por otro hilo conductor: 
v
B
E
r
Campos E y B
q +
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m
m
1 r
1 2
F I dl B
dF Idl B
dl udB I
4 r
 = ×

 = ×
µ ×
=
π
∫
 
 
I
B
B
I
B
dF=I·dl·B
1
dl
 
 Los efectos del campo magnético sobre una espira rectangular son los siguientes: 
 Analizamos el dibujo con la espira rectangular cuyo plano no está colocado perpendicular-
mente al campo magnético B 
1) Sobre cada lado del rectángulo aparece una fuerza magnética de valor mdF Idl B= × 
2) Sobre los lados superior e inferior, las fuerzas son iguales pero de sentido contrario. 
3) Sobre los lados izquierdo y derecho, las fuerzas también son iguales, pero si la espira está 
girada, formando un ángulo, respecto al campo magnético B, aparece un par de fuerzas. 
4) El par de fuerzas, aplicado sobre la espira, genera un momento sobre la espira cuyo efecto 
es girar la espira hasta que esté perpendicular al campo magnético B. Lo que haría es que el 
vector superficie de la espira estuviese paralelo al campo magnético B hasta que el momento 
del par de fuerzas sea cero. 
 
F
F
F
I
I
I
I
B
B
BB
B
espira rectangular espira vista desde arriba
Galvanómetro 
Norte Sur
F
F
B
S
θ
F
S
 
 
El momento del par de fuerzas es: 
( )
( )
dM r dF r Idl B
M I r dl B IS B m B
= × = × ×
= × × = × = ×∫
 
 Siendo S la superficie de la espira y m el momento magnético de la espira. El par de fuerzas 
tiende a orientar el momento magnético de la espira m paralelamente al campo magnético B. 
 
 
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Fuerza magnética sobre una carga eléctrica en movimiento: 
“La fuerza ejercida por un campo magnético B, sobre una carga eléctrica, en movimiento, 
es proporcional a la carga eléctrica y a la componente de la velocidad de la carga en una dirección 
perpendicular a la dirección del campo magnético”. 
mF qv B= × 
 La dirección de la fuerza magnética es perpendicular al plano que forman los vectores velo-
cidad y campo magnético. Si la velocidad es paralela a la dirección del campo magnético la fuerza 
magnética es cero. 
Consideremos que la partícula se mueve en una región donde existen los campos eléctrico y mag-
nético la fuerza total, denominada fuerza de Lorentz, será: 
( )t e mF F F qE qv B q E v B= + = + × = + × 
 Conclusiones: 
1) La fuerza magnética siempre es perpendicular al desplazamiento y no realiza trabajo físico 
sobre la carga q: 
2 2
m c
1 1
F v W F dr F vdt 0 Em m⊥ ⇒ = ⋅ = ⋅ = = ∆∫ ∫ . 
2) Como no se aplica trabajo sobre la carga, no varía su energía cinética, y no se altera el mó-
dulo de su velocidad. 
3) La fuerza magnética está definida para cada punto del espacio, por donde pasa la carga, y el 
efecto físico sobre ella será que le produce una aceleración centrípeta y no tangencial: 
( )
2
c t m n t n n
d v vE 0 v cte 0 a 0 F ma m a a ma m u
dt R
  ∆ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = + = = 
  
 
4) El resultado sobre la carga es que ésta va a describir una trayectoria curvilínea sin cambiar 
el módulo de su velocidad. 
Ahora bien, si la partícula cargada se estuviera moviendo perpendicularmente a un 
campo magnético uniforme, es decir, con la misma intensidad y dirección en todos los puntos, 
entonces la fuerza es perpendicular a la velocidad y su efecto es cambiar la dirección de la veloci-
dad sin cambiar su magnitud y el resultado es un movimiento circular uniforme. 
( )
( )m
m n
2
m
F qv B qB v qB v m v q B
mF ma m v qB m
v B
vF q v B m
R
mvR
qB
   = × = − × − × = ω ×   ⇒ ⇒ ω = −   
= = ω × − = ω     

⊥
 = =

 =

 
 
 
Éste fenómeno, viendo la dirección de giro de la carga al entrar en un campo magnético, 
tiene aplicación para determinar si una partícula está cargada positiva o negativamente. 
 Si la partícula cargada se mueve inicialmente en una dirección que no es perpendicular al 
campo magnético, podemos separar la velocidad en dos componentes paralelo y perpendicular al 
campo. La componente paralela permanece constante y la componente perpendicular cambia con-
tinuamente en la dirección pero no en magnitud. 
q positiva
B está dirigido hacia arriba
· · · · · · · ·
· · · · · ·
q negativa
.
hacia dentro
hacia nosotros
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Ejemplos de movimiento de partículas cargadas en un campo magnético: 
Espectrómetro de masas (espectrógrafo de masas): 
 Se utiliza para separar iones por su masa distinta, como pueden ser los isótopos de un ele-
mento químico. Se aceleran los iones haciéndolos pasar por unas rendijas metálicas, una positiva 
y otra negativa, que tienen una diferencia de potencial, lo que contribuye a la variación de su 
energía cinética. Posteriormente, los iones se encuentran un campo magnético uniforme, que es 
perpendicular a su trayectoria, lo que hace que describan una semicircunferencia, en un sentido 
o en otro dependiendo de la carga, hasta chocar con una placa fotográfica. 
 Al pasar las placas metálicas el trabajo realizado por el campo eléctrico es igual al in-
cremento de la energía cinética de los iones: 
2
por c
1 2q VW E mv q V v
2 m
∆
= ∆ = = ∆ ⇒ = 
Al entrar en el campo magnético la fuerza magnética es igual a la fuerza centrípeta, ya que 
los iones giran describiendo una circunferencia: 
( )
2
m
2
v B
vF q v B m
R
q 2q Vv BR
m m
2 Vq
m BR
⊥
= =
∆
= =
∆
=
 
 Como se obtiene la relación q/m en función de B, ∆V y R. Esta técnica se puede aplicar a 
electrones, protones y otras partículas cargadas, átomos o moléculas. Si medimos la carga inde-
pendientemente, podemos obtener la masa de la partícula. 
 El experimento con el espectrómetro de masas se usa también para obtener la variación del 
momento con la velocidad de una partícula que se mueve con diferentes velocidades. Se ha encon-
trado que, considerando que q permanece constante, p varía con la velocidad no de la forma p=mv 
sino como se expresa mediante la teoría de la relatividad: 
( )
relativa
propia 2v
c
pmvR
qB qB
p qBR
mv
p mv
1
= =
=
= =
−
 
 Por tanto, la carga eléctrica es invariante, es la misma para todos los observadores en mo-
vimiento relativo uniforme, pero el momento de la partícula varía en total acuerdo con las predic-
ciones de la teoría de la relatividad. 
Experimento de Thomson: 
 Este experimento, realizado por J. J. Thomson en 1897, sirvió para descubrir la naturaleza 
de los rayos catódicos. Llegó a la conclusión de que eran partículas cargadas negativamente y de-
terminó la relación qe/m. Hoy se aplican en los tubos de TV y en los osciloscopios. 
 Se hacen pasar los rayos catódicos entre dos placas de longitud a, una positiva y la otra ne-
gativa. Entre las placas existe un campo eléctrico E y los electrones se desvían de su trayectoria, 
formando un ángulo θ, hastaque impactan en la pantalla, a una distancia L de las placas. 
 
 Y +++++++++ 
 V0 a d 
 L 
 -- E 
 --------------- 
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2
xe
x
2 2
2
x a
xq1y Ex v tF q E m a 2 m v d qEa
1q Ly at mvdy qEaa E 2 tanm
dx mv=
     === =    
      ⇒ ⇒ ⇒ =     
=       =   θ = =      
 
 Si aplicamos también un campo magnético B, dirigido hacia el interior del papel, la fuerza 
magnética Fm que experimenta el electrón es hacia abajo. Que es en sentido contrario a la fuerza 
eléctrica Fe que experimenta el electrón. Si conseguimos que las dos fuerzas sean iguales Fm=Fe, 
la fuerza neta es cero y los rayos catódicos no se desvían de su trayectoria. De esta forma, calcu-
lamos la velocidad inicial v0 de las partículas cargadas que constituyen los rayos v0=E/B. Si sus-
tituimos este valor en la ecuación anterior podemos determinar la relación q/m para las distintas 
experiencias 
2
2
2
d qEa
q E q v B L mv
E dvq dEv
B m LEa LB a
 = =  
   ⇒   
=   = =    
 
Ciclotrón: 
 El ciclotrón es un aparato que sirve para acelerar partículas cargadas. 
 Desde el punto de vista electrostático se pueden acelerar partículas cargadas haciendo que 
pasen por una zona en la que exista una diferencia de potencial alta, pero para conseguir que una 
partícula cargada tenga una alta energía cinética (alta velocidad) se necesitan diferencias de po-
tencial muy altas. 
 Hemos visto que una partícula cargada en un campo magnético sigue un camino circular. El 
ciclotrón se dice que es un acelerador cíclico, es decir, que acelera cíclicamente o cada cierto 
tiempo, a una carga eléctrica que pasa muchas veces a través de una diferencia de potencial rela-
tivamente pequeña. 
 El ciclotrón consiste en una cavidad cilíndrica dividida en dos mitades (llamadas Dees por la 
forma) y situadas en un campo magnético uniforme paralelo a sus ejes. Las dos Dees están eléc-
tricamente aisladas una de la otra. 
 En el centro de la cavidad cilíndrica entre las dos Dees, en la que está hecho el vacío, se co-
loca la fuente de iones. Se aplica entre las Dees una diferencia de potencial alternativa del orden 
de 10 kV. 
Dipolos magnéticos: 
 Cuando una partícula cargada se mueve en una órbita cerrada, como un electrón en un 
átomo, produce un campo magnético en el que las líneas de fuerza dan vueltas con la órbita. Las 
líneas de fuerza siguen a la partícula en su movimiento, si la partícula se mueve muy rápidamen-
te el campo magnético es el promedio estadístico del campo producido en cada instante. Siendo el 
cálculo bastante complejo. 
 
 
 
 V B 
 
 
 Si la partícula se mueve con movimiento circular uniforme, la velocidad de la partícula es 
v r= ω , siendo ω la velocidad angular que es perpendicular al radio r. 
Por tanto, el campo magnético en el centro es igual a 2
qvB
4 r
µ
=
π
 . 
El momento angular de la partícula es L r p rmv= × = . Y, el campo magnético en O en 
función de L es igual a 
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2
3
qvB q L
4 r B
4 mrL r p rmv
µ = µ π ⇒ = 
π = × = 
 
Una partícula cargada describiendo una pequeña órbita, como un electrón atómico, consti-
tuye un dipolo magnético. Se define el momento magnético de la partícula cargada en una órbita 
cerrada y el campo magnético 
3
2 MqM L B2m 4 r
µ
= ⇒ =
π
 
Análisis comparativo entre las interacciones eléctrica y magnética entre dos cargas en mo-
vimiento relativo: 
 Considera dos cargas q y q’, en movimiento relativo y con velocidades relativas v y v’ respec-
to de un observador O. La fuerza eléctrica producida por q’ sobre q y medida por O es qE. El cam-
po magnético producido por q’ es del orden de magnitud de v’E/c2 y la magnitud de la fuerza so-
bre q es del orden de 
2
m
2
e
m e2 2 2
1B v ' E v ' E
F vv 'c
v 'E vv ' vv ' F cF qvB qv qE F
c c c
 = µ ε × = ×   ⇒ ≈ 
  = = = =    
 
 Si las velocidades de las cargas son pequeñas, en comparación con la velocidad de la luz, la 
fuerza magnética es muy inferior a la fuerza eléctrica. Sin embargo, si las cargas tienen una velo-
cidad del orden de 106 m/s, que es la velocidad de los electrones en los átomos, entonces la rela-
ción Fm/Fe es del orden de 10-4. 
Campo magnético producido por un hilo conductor por el que pasa una corriente eléctrica: 
 Queremos calcular el campo magnético producido por el hilo conductor, por el que pasa una 
corriente eléctrica de intensidad I, en un punto P que está a una distancia R desde el punto O que 
es el más cercano del hilo. 
Consideremos un hilo conductor recto de longitud infinita, en el eje Y, con la intensidad de 
corriente dirigida hacia el eje positivo. Sea un diferencial del hilo, dl, a una distancia l, sobre OY, 
del punto O, y que se encuentra a una distancia r del punto P. Se forma un triángulo rectángulo 
de cateto, sobre el eje OY, de longitud l, el cateto sobre el eje OX, de longitud R, y la hipotenusa de 
longitud r. Siendo θ el ángulo formado por el sentido de la corriente y el vector de posición desde 
dl hasta el punto P. El campo magnético, dB, producido por dl en P vendrá dado por la ley de 
Biot-Savart 
( )
( ) ( )
2
2
2
r
2
2R0 0r sen
2 2
cosR l Rsen senr
RR dl dtan(180 ) tan
senl
dl udB I
4 r Isen RB I d sen d
4 4 Rdl u sen senB I I dl
4 4r r
π π
∞ ∞
θ
−∞ −∞
θ   = −θ =    θ   ⇒   
   = θ− θ = − θ =
   θ   
 µ ×
= π  µ µθ
⇒ = θ = θ θ =  π πµ × µ θ θ = = π π 
∫ ∫
∫ ∫
I
2 R
µ
π
 
Relación entre el campo magnético de una corriente y el campo magnético de una carga en 
movimiento: 
 Supongamos un conductor de sección S , en el que hay n partículas cargadas por unidad de 
volumen, cada una con una carga q. Si les aplicamos un campo eléctrico se mueven, en la misma 
dirección, con una velocidad v . Las cargas que en el tiempo t∆ pasan a través de una sección 
son las que están dentro del volumen limitado por Sv t∆ . 
La carga Q qnSv t∆ = ∆ y la corriente I serán: 
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( )
( )
r r
2 2
r
2
qn Sv tQI qnSv
t t Idl jS dl jdV nqvdV
Ij qnv
S
Idl u qv uB ndV
4 4r r
qv uB
4 r
 ∆∆ = = = ∆ ∆ ⇒ = = =
 = =
µ × µ ×
= =
π π
µ ×
=
π
∫ ∫ 
Ley de Ampère.- 
 Considera una corriente rectilínea infinita de intensidad I. El campo magnético en un punto 
P a una distancia r desde la corriente es perpendicular a OP. 
 I 
 
 B 
 r 
 
 
IB ut2 R
IC fmm B dl 2 R I
2 R
µ
=
π
µ
= = ⋅ = π = µ
π∫
 
La circulación magnética es proporcional a la corriente eléctrica I, y es independiente del 
radio de la trayectoria cerrada. Por tanto, si dibujamos diversos círculos alrededor de la corriente 
I, la circulación magnética, alrededor de todos ellos, es la misma y es igual a Iµ . 
Haciendo un análisis más elaborado, se obtiene que la ecuación anterior es válida para 
cualquier forma de la corriente, y no necesariamente la rectilínea. Si tenemos varias corrientes I1, 
I2, I3,... unidas por una línea cerrada, cada corriente contribuye a la circulación del campo magné-
tico a lo largo de la línea cerrada. 
Por lo que se establece la ley de Ampère: “La circulación del campo magnético (fuerza 
magnetomotriz) a lo largo de una línea cerrada, que enlaza las corrientes I1, I2, ..., es igual al pro-
ducto de la permeabilidad magnética del vacío por la intensidad neta que pasa por el interior de la 
trayectoria cerrada”. 
( )1 2 3B dl I I I I ...⋅ = µ = µ + + +∫ 
 En el tema de electrostática usamos la ley de Coulomb para calcular el campo eléctrico 
causado por una distribución de cargas. Sin embargo, para distribuciones complejas utilizamos la 
ley de Gauss. La