Algebra lineal

Vista previa del material en texto

Si V={ P(x) / P(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn , ai ∈ R }.Demostrar que V es un 
espacio vectorial sobre el campo de los R y calcular la dim(V). 
 
 
Sean α,β ∈ R , f(x),p(x),g(x) ∈ P(x) 
 
i) condicion cerradura 
 
P.D. f(x)+g(x) ∈ P(x) 
 
 
f(x)+g(x)= ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) 
 
 = (a0+b0)+(a1x + b1x)+……+(anxn + bnxn) ∈ P(x) 
 
 
P.D αp(x)∈ P(x) 
 
 αp(x)= α ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)= αa0+αa1x+αa2x2+…+αanxn ∈ P(x) 
 
∴la suma y la multiplicación por escalar son cerrados 
 
ii) condición Asociativa. 
 
 P.D. f(x) + [g(x) + p(x)] = [f(x) + g(x)] + p(x) 
 
 
f(x) + [g(x) + p(x)]= ( a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + 
[(b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) + (c0+c1x+c2x2+c3x3+......+cnxn)] 
 
= a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn +[ (b0 + c0) + (b1x + c1x)+…..+ ( (bnxn + cnxn)] 
 
= (a0 + (b0 + c0)) + (a1x + (b1x + c1x))+…..+ (anxn + (bnxn + cnxn)) 
 
= ((a0+b0)+c0)+((a1x + b1x)+c1x)……+(anxn + bnxn)+cnxn) 
 
 
 
 
=[ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn ) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)] 
+(c0+c1x+c2x2+c3x3+......+cnxn) 
 
 = [f(x) + g(x)] + p(x) 
 
∴ se cumple la condición 
 
 
 
iii) Elemento neutro 
 
 ∃! e ∈ P(x) ∩ ∀ a ∈ P(x) , e(x) + p(x) = p(x) + e(x) = p(x) 
 
sea e(x) = 0 + 0x + 0x2 + ......+ 0xn 
 
e(x) + p(x) = (0 + 0x + 0x2 + ......+ 0xn) + (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn ) 
 
 = (0+a0) + (0x + a1x )+…..+(0xn + anxn) 
 
 = (a0 + 0) + (a1x + 0x)+….+(anxn + 0xn) 
 
 = a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn 
 
 = p(x) 
 
∴se cumple 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iv) Elemento inverso 
 
∀ p(x) ∈ P(x) ∃! p(x)-1 ∈ P(x)∩ p(x) + p(x)-1 = e(x) 
 
sea p(x)-1 = (-a0+(-a1)x+(-a2 )x2+(-a3 )x3+......+(-an )xn 
 
 p(x) + p(x)-1 = (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn ) + (-a0+(-a1)x+(-a2 )x2+(-a3 )x3+......+ 
 (-an )xn 
 
 = (a0 – a0) + (a1x - a1x)+…..+(anxn – anxn) 
 
 = 0+0x+….+0xn = e(x) 
 
 
∴se cumple 
 
 
v) P.D. (α+β) p(x) = αp(x) + βp(x) 
 
 
 (α+β) p(x) = (α+β) (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn ) 
 
 = [(α+β)a0 + (α+β)a1x+…+ (α+β)anx2] 
 
 =[αa0+βa0 + αa1x+βa1x+….+ αanxn+βanxn] 
 
 = [α(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )+β (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn )] 
 
 = αp(x) + βp(x) 
 
∴se cumple 
 
 
 
 
 
 
 
 
vi) P.D. α(βp(x)) = (αβ)p(x) 
 
 
 α(βp(x)) = α[β (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn)] = α(βa0 )+ α(βa1x)+…+ 
α(βanxn) 
 
 = (αβ)a0 + (αβ) a1x +…..+ (αβ)anxn
 
 =(αβ)(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) 
 
 =( αβ)p(x) 
 
∴se cumple 
 
 
 
 
vii) P.D. α[p(x) + f(x)] = αp(x) + αf(x) 
 
 
 
 α[p(x) + f(x)] = α[ (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn)] 
 
 =α[(a0+b0) )+(a1x + b1x)+……+(anxn + bnxn)] 
 
 =αa0 + αb0 + αa1x + αb1x+….+αanxn + αbnxn
 
 =α (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + α(b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) 
 
 
 =α p(x) + αf(x) 
 
∴ se cumple 
 
 
 
 
 
 
viii) ∀ x ∈ P(x) , 1*p(x) = p(x) 
 
 
 1*p(x)= 1*(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) 
 
 =1*a0+1*a1x+1*a2x2+1*a3x3+......+1*anxn
 
 = a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn = p(x) 
 
 
∴se cumple 
 
 
 
ix) Suma Conmutativa 
 
 f(x) + g(x) = g(x) + f(x) 
 
 
 f(x) + g(x) =(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) + (b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) 
 
 =((a0+b0)+((a1x + b1x)+……+(anxn + bnxn)) 
 
 =((b0+a0)+((b1x + a1x)+……+(bnxn + anxn) 
 
 =(b0+b1x+b2x2+b3x3+......+bnxn) + (a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) 
 
 = g(x) + f(x) 
 
⇒ como se cumplen las nueve propiedades 
∴P(x) es un espacio vectorial 
 
la dimensión de un espacio vectorial es el numero de vectores de una base del 
espacio vectorial. 
 P(x) =(a0+a1x+a2x2+a3x3+......+anxn) = [ a0 a1………..an] 
∴dim(V)=n 
 
 
 
 
Dado W ={P(x) / grado P(x)≤}, verificar que {α1 α2 α3} es una base de W donde 
: α1 =-3x , α2 = 1+x2 , α3 =x2-5 
 
 
¿Es generador? 
 
 Sean β1 ,β2 ,β3 ∈ R y a0 + a1x + a2x2 ∈ P(x) 
 
a0 +a1x + a2x2 = β1 (-3x) + β2 ( 1+x2) + β3 (x2-5) 
 
 
 
 
 β2 - 5β = a0 
 
-3,β1 =a1 
 
β2 + β3 =a2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∴si es generador 
 
 
 
 
es linealmente independiente? 
 
 
(a0,a1,a2) = (0,0,0) 
 
⇒ ∴α1 = α2 = α3= 0 
 
∴ es una base para P(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demostrar que si {v1, v2,.......,vn} es base de V y si 
 
 U1 = v1 
 U2 = v1 + v2 
 . 
 . 
 un = v1 + v2 +.......+ vn 
entonses {u, u,.......,un} es base de V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si V= { p(c) / grado p(x) ≤ 4 } y si A = { p(x) ∈ V/ p(4) =p(2) =0}, 
demostrar que A es un sub espacio de V 
 
 
• ¿ 0 ∈ A? Si 
• ¿ α(x+y) ∈ A ? 
 
 
sea α ∈ R, x,y ∈ A 
 
α[(a0 + a3 x3 + a4x4) + (a5 + a8 x3 + a9x4)] 
 
= α[(a0 + a5) + (a3 + a8 )x3 + (a4 + a9 )x4] ∈ A 
 
∴ A es un subespacio de P(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tema 3 - Matrices 
 
 CONCEPTOS 
 MATRIZ, ESPACIO VECTORIAL 
 MATRIZ, ANILLO UNITARIO 
 RANGO DE UNA MATRIZ 
 DESCOMPOSICION LU 
 
 
 9
 
 
MATRIZ 
Llamamos matriz de dimensión ó de orden m x n sobre un cuerpo K a toda disposición de elementos aij , 
ordenados en m filas y n columnas encerrados entre paréntesis ó corchetes. 
Se denotan: A = (a i j ) 
Dos matrices son iguales si los elementos de igual posición coinciden. 
Llamamos submatriz de una matriz A a aquella resultante de eliminar en A algunas filas y/o columnas 
Llamamos matriz cuadrada de dimensión n a una matriz n x n. El cto de mat.cuadradas es Mn
La matriz identidad de dim. n es aquella que tiene unos en la diagonal y el resto ceros. In
 
 
 
SUMA DE MATRICES 
Dadas A = (aij ) y B = (bij ) dos matrices de la misma dimensión, se define la suma como: 
A + B = (c ij ) donde c ij = a ij + b ij
 
 
ESPACIO VECTORIAL Mm x n
(M m x n , +) es un grupo abeliano, porque cumple las propiedades: 
 Asociativa y Conmutativa con la suma 
 Elemento neutro: es la matriz nula. 
 Elemento simétrico: de A es su opuesta -A. 
La ley externa (lce) de K en M m x n : α A = α (a ij ) = (α a ij ) cumple los axiomas del punto 2.1 
 
Por ser grupo abeliano y cumplirse la lce, M m x n es un espacio vectorial sobre el cuerpo K 
 
 
BASE DEL ESPACIO VECTORIAL 
Se define Uij como la matriz de M m x n que tiene un uno en la posición ( i, j ) y cero en las restantes. 
Toda matriz puede escribirse de forma única como: 
 n m
 (a i j ) = Σ Σ a ij · Uij Por lo tanto las matrices m x n U ij son una base del espacio vectorial M m x n
 j = 1 i = 1 
 
Ej: a12 a13 1 0 0 1 0 0 0 0 
 = a11 + a 12 + a21 + a 22
 a21 a22 0 0 0 0 1 0 0 1 
 
 
 
 
PRODUCTO DE MATRICES 
Dadas A = (a i j ) de dimensión m x n y B = (bi j ) de dimensión n x r se define el producto como: 
A · B = (c i j ) donde c i j = a 11 b1k + a 12 b 21 + ... + a i n b n k , para i = 1..m, k = 1...r 
 
Ej.-3 0 2 4 3·2 + 0 · (-5) 3· 4 + 0 · 3 
 2 -1 -5 3 2·2 + (-1)(-5) 2· 4 + (-1)· 3 
 
 m x n n x r m x r 
 10
 
Propiedades del producto de matrices: 
(1) α ∈ K, α (A·B) = (α A)·B = A (α B) Asociativa 
(2) (A·B) · C = A· (B·C) Distributivas 
 A· (B+C) = A·B + A·C 
 
ANILLO UNITARIO Mm x n
(M m x n , +) es un grupo abeliano y (M m x n , ·) es asociativa y distributiva respecto de la suma. 
Y además tiene elemento neutro para el producto A · I = I · A = A 
Sin embargo el producto no es conmutativo 
 
Por ello (M m x n , +,·) es un anillo unitario y no abeliano 
 
TIENE DIVISORES DE CERO 
Los divisores de cero son aquellos elementos distintos de cero 1 0 0 0 0 0 
que al multiplicarlos dan cero • = 
 0 0 0 1 0 0 
M m x n es un anillo unitario con divisores de cero. 
 
 
MATRIZ REGULAR 
Una matriz cuadrada de orden n se dice que es REGULAR, INVERTIBLE ó INVERSIBLE si 
existe otra matriz, B ∈ M n , tal que A · B = B · A = In 
 
Decimos que B es la inversa de A si B = A-1 y viceversa. 
 
No toda matriz tiene inversa, por ejemplo, una matriz con una fila nula no tiene inversa. 
 
Si A,B ∈ M n son regulares ⇒ A·B es regular y (A · B)-1 = B-1 · A-1 
 
MATRICES TRIANGULARES 
Triangular superior/inferior: si los elementos que están debajo/encima de la diagonal son ceros. 
 
Si los elementos de encima y debajo de la diagonal son ceros se llama matriz diagonal. 
 
Los conjunto de las matrices triangulares superiores, inferiores y diagonales, son subespacios vectoriales 
y subanillos de M n
 
MATRIZ TRASPUESTA 
Dada A = (a i j ) de dimensión m x n se llama traspuesta de A a la matriz que resulta de intercambiar las 
filas con las columnas. 
 At = (b ij ), donde bi j = a i j i = 1...n, j = 1...m 
Una matriz cuadrada es simétrica si A = At
Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = -At 
 
Propiedades: 
1 > (A + B) t = At + Bt 3 > (A t ) t = A 
2 > (α · A) t = α · At 4 > (A · B)t = Bt · At
 
MATRIZ NILPOTENTE 
Una matriz es nilpotente si existe n ∈ N* tal que An = 0 
Ej.- 0 1 3 0 0 7 0 0 0 
 A = 0 0 7 A2 = 0 0 0 A3 = 0 0 0 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
 11
 
 
MATRIZ ORTOGONAL 
 0 1 0 -1 
Una matriz cuadrada es ortogonal si A-1 = At A = A-1 = At = 
 0 0 1 0 
 
 
MATRIZ EXPONENCIAL 
 +∞ An
Para cualquier matriz cuadrada A se cumple que eA = Σ 
 n = 0 n! 
 
 
 
RANGO DE UNA MATRIZ 
Se define rango de una matriz A, como el mayor numero de vectores fila que constituyen un sist. libre. 
Se escribe rg A = r y se cumple que rg A = rg At
Por lo que el rango por filas es igual al rango por columnas. 
 
Ej.- 1 1 1 1 1 1 1 1 
 A = 1 2 0 1 rg A ≤ 3 Por Gauss 1 2 0 1 rg = 2 
 1 0 2 1 e1-e2 0 2 -2 0 
 
Ej.- 
 1 0 -3 1 0 3 0 2 3 0 0 8 
 B= 2 3 -6 rg A ≤ 3 Por Gauss c3 /-1 1 2 6 ⇒ 1 2 6 ⇒ 0 2 11 rg = 3 
 4 6 -11 0 2 11 0 2 11 1 2 6 
 
El rango de una matriz no varia si eliminamos filas proporcionales, nulas, ó las que sean C.L de otras. 
 
 
MATRICES ELEMENTALES 
Una matriz elemental es aquella que resulta de realizar en la identidad una operación elemental. 
 Hay tres tipos de matrices elementales: 
(1) E ij a la matriz que resulta de intercambiar en In la fila i y la fila j. 
(2) E i (α) resulta de multiplicar la fila i de In por el escalar α ≠ 0. 
(3) E ij (α) en In sumamos a la fila i la j multipliacada por α 
 
Estas matrices almacenan la operacion elemental, de modo que si una matriz A se premultiplica (por 
la izq) por una matriz elemental, surge el mismo efecto que realizar la operacion elemental a A. 
 
Toda matriz elemental es inversible y su inversa es, también, elemental. 
(1) E ij -1 = E ij (2) E i (α)-1 = E i (1/α) (3) E ij(α) = E ij (-α) 
 
Ej.- 1 0 0 1 2 3 1 2 3 
 E 2,1(α) = α 1 0 · 4 5 6 = 4+α 5+2α 6+3α 
 0 0 1 0 0 5 0 0 5 
 
 12
 
DESCOMPOSICION LU 
Consiste en descomponer una matriz A como producto de una matriz triangular superior, U, y una 
triangular inferior ó inferior permutada, L. 
 
Para ello, la matriz A debe ser cuadrada (A ∈ Mn ) y rg A = n, es decir, todas las filas L.I. 
 
Queremos conseguir X · A = U 
E n· E n-1 ·...· E2 ·E1 · A = U ⇐ L-1 · A = U ⇐ L · L-1 ·A = U · L ⇐ A = L · U 
 
Multiplicamos hasta obtener una matriz triangular superior, U. 
 Las m.elementales se agrupan (de derecha a izquierda) y forman un unico producto, L-1. 
 
 L-1 E n·...· E1 · A = U Haciendo la inversa de cada m.e se obtiene L En-1 ·...· E 1-1
 
 
Ej.- 
 0 1 2 E 1,2 1 0 0 E3,1 (-1) 1 0 0 
A = 1 0 0 0 1 2 0 1 2 = U E3,1 (-1) · E1,2 A = U 
 1 0 2 1 0 2 0 0 2 A = U · (E 3,1(-1) · E1,2 )-1
 
 
 0 1 0 1 0 0 0 1 0 
 L = (E 3,1(-1) · E1,2 )-1 = ((E 3,1(-1))-1 · (E1,2 )-1 =....= E1,2 · E3,1(1) = 1 0 0 · 0 1 0 = 1 0 0 
 0 0 1 1 0 1 1 0 1 
 0 1 0 1 0 0 
 A = L· U= 1 0 0 · 0 1 2 
 1 0 1 0 0 2 
 
 
APLICACIÓN: CALCULO DE A-1
Si seguimos factorizando la matriz A, siendo una matriz inversible, obtendremos la matriz inversa A-1. 
Si a las matrices elementales utilizadas les añadimos mas, hasta obtener In : 
 
 X · L- 1 · A = U · X = I n A-1 · A = In
 
 
A ∈ Mn es invertible ⇔ U es invertible (A = L · U ) 
Como conclusión podemos afirmar que A tiene inversa ⇔ es producto de matrices elementales. 
 
 
METODO GAUSS- JORDAN 
Consiste hacer las operaciones a ambos lados de una misma matriz para obtener directamente A-1 y In . 
 
Ej.- 
 2 1 3 2 1 3 1 0 1 1 3 00 1 1 1 3 0 0 1 
 A = 1 2 1 1 2 3 0 1 0 1 2 1 0 1 0 0 1 -2 0 1 -1 
 1 1 3 1 1 3 0 0 1 2 1 3 1 0 0 0 -1 -3 1 0 -2 
 1 0 0 1 0 -1 
 .. 0 1 0 -2/5 3/5 1/5 
 0 0 1 -1/5 -1/5 3/5 
 In A-1
 
 
 
 
 
 13
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tema 6 - Sistemas de Ecuaciones 
 
 CONCEPTO Y REPRESENTACION 
 RESOLUCION DE SISTEMAS 
 TIPOS DE SISTEMAS 
 TEOREMA ROUCHE-FROBENIUS 
 REGLA DE CRAMER 
 SISTEMAS HOMOGENEOS 
 POR DESCOMPOSICION L U 
 
 
 
 
 
 23
 
 
CONCEPTO Y REPRESENTACION 
Llamaremos sistema de m ecuaciones con n incognitas a toda expresión: 
a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 
a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2 
....................... 
am1 x1 + am2 x2 +...+ am n xn = bm 
Donde aij ∈ K son los coeficientes 
 bi ∈ K son los términos independientes 
 xi son las incognitas 
 
a) Se puede representar de forma MATRICIAL: 
a11 a12 ... a1n x1 b1 
a21 a22 ... a2n x1 b2 
 .... ... ... .... = .... 
 am1 am2 ... am n xn bn 
 
A · X = B 
 
Donde A = Matriz de los coeficientes 
 x = Vector solución 
 B = Vector de Términos Independientes 
 A* = Resulta de añadir los términos independientes a la matriz A 
 
b) También de forma VECTORIAL: 
 
 x1 A1 + x2 A2 + ... + xn An = B (Donde Ai son las columnas de A) 
 
c) Como una APLICACIÓN LINEAL 
Sabiendo que toda matriz de dimensión m x n define una aplicación lineal f: Kn Km respecto de las 
bases canónicas de Kn y Km. 
 
Podemos entender un sistema de m ecuaciones y n incognitas, como una aplicación lineal donde las 
imagenes son los términos independentes ∈ K m y las antiimagenes son los coeficientes de las distintas 
incognitas ∈ K n
 
SIMPLIFICACIÓN 
Si a un sistema de ecuaciones se le añade un numero finito de ecuaciones lineales que son combinaciones 
lineales de las dadas, el nuevo sistema es equivalente al inicial. 
 
Del mismo modo si eliminamos una ecuacion que sea c.l. de otra se puede eliminar. 
 
 
SOLUCIÓN DEL SISTEMA 
Si (α1, α2,..., αn) satisface las m ecuaciones decimos que α es el vector solución del sistema. 
Según el numero de soluciones un sistema puede ser: 
 
SISTEMA HOMOGENEO : Si los términos indenpendientes son cero 
SISTEMA INCOMPATIBLE : Si el sistema no tiene solucion 
SISTEMA COMPATIBLE 
 DETERMINADO : Si el sistema posee una una solucion 
 INDETERMINADO : Si el sistema posee infinitas soluciones 
 
Si dos sistema tienen las mismas soluciones son EQUIVALENTES 
 24
 
Si Ax = b un sistema de ecuaciones podemos ver la matriz A como asociada a una aplicación lineal f. 
Resolver el sistema es hallar f -1(b) = x + Kerf donde f(x) = b. 
 
Ej.- Obtener una base del espacio vectorial solución del sistema: 
1 0 0 0 x 0 
1 0 -1 a y 0 
3 0 -1 a z = 0 
b 0 0 1 t 0 
x + 0y + 0z + 0t = 0 
x + 0y - 1z + at = 0 ⇒ x = 0 ⇒ ( x, y, z, t ) = ( 0, y, 0, 0) 
3x + 0y - 1z + at = 0 t = 0 
bx + 0y + 0z + 1t = 0 z = 0 
 
La solución es < ( 0, 1, 0, 0 ) > que es base del espacio vectorial formado por las soluciones. 
 
 
TEOREMA ROUCHE-FROBENIUS 
Dado Ax = b un sistema de m ecuaciones con n incognitas, tiene solución si: 
 
rango A = rango A* = nº de incognitas (n) S. C. DETERMINADO 
rango A = rango A* < nº de incognitas (n) S. C. INDETERMINADO 
rango A < rango A* S. INCOMPATIBLE 
 
 
REGLA DE CRAMER 
Dado un sistema COMPATIBLE DETERMINADO, tenemos que: 
Su expresion matricial es A X = B y al ser rg A = n ⇒ |A| ≠ 0 y además A tiene inversa A -1. Así pues: 
 
A-1 · A · X = A-1 · B ⇒ I · X = A-1 · B ⇒ X = A-1 · B ⇒ X = ( 1/|A| · At )· B ⇒ 
 ⇒ xi = 1/|A| · ( A1i b1 + A2i b2 +....+ An i bn ) 
 
De donde obtenemos la Regla de Cramer: 
 
 det(B, C2, C3,..., Cn) det(C1, B, C3,..., Cn) det(C1, C2, C3,..., B) 
 x1 = , x2 = , ....... xn = 
 det |A| det |A| det |A| 
 
Si el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO podemos resolverlo por Cramer: 
- Pasamos una de las incognitas a la matriz de los términos independientes en acada ecuacion. 
- Resolvemos el sistema por Cramer, y nos daran las soluciones en funcion de esa incognita. 
- Expresamos la solución en forma de envoltura lineal. 
 
Ej.- Resolver el sistema x + y + z = 1 por Cramer 
 x - y + 3z = 3 
 
Cambiamos z por λ y pasamos λ a la derecha x + y = 1 - λ A = 1 1 A* = 1 1 (1-λ) 
 x - y = 3 - 3λ 1 -1 1 -1 (3-3λ) 
Resolvemos el sistema por Cramer y obtenemos: 
 
x = -2λ +2 de modo que la solución es {(-2λ + 2, -1 + λ, λ) ; λ ∈ R}⇒ {(2, -1, 0) + (-2λ, λ, λ) ; λ ∈ R} 
y = -1 + λ 
 
 
y por ultimo extrayendo λ tenemos que las infinitas soluciones del sistema son: 
{ ( 2, -1, 0 ) + < ( -2, 1, 1 ) > } 
 25
 
 
SISTEMAS HOMOGENEOS 
Un sistema homogeneo siempre posee, al menos, la solución trivial (x, y, z, t ...) = (0, 0, 0...0). 
 
Por el T.de Rouche podemos afirmar que siempre es compatible, ya que Rg A = Rg A*. Ax = 0 
 
Si rg A = rg A* = n es S.C.Determinado con la solución trivial como única solucion. 
Si rg A = rg A* < n es S.C.Indeterminado cuyas soluciones son los valores que anulan la ecuacion. 
 Es decir, los valores de las incognitas para los cuales f es cero ( Ker f ). 
 
Un sistema homogeneo siempre se puede expresar con n ecuaciones con n incognitas. De modo que 
si faltan ecuaciones (ecuaciones < incognitas) se añaden combinaciones lineales y si sobran (ecuaciones 
> incognitas) entonces se eliminan pq alguna ecuacion será c.l. 
Ej.- Resolver el siguiente sistema homogeneo : x + y + z = 0 
 2x + 2y +2z = 0 
 x + y - z = 0 
 3x + 3y + z = 0 
 
Primero eliminamos la segunda ecuacion pq es proporcional a la primera. 
Hallamos el determinante de A para saber el rango 1 1 1 
 1 1 -1 = 0 rg (A) < 3 
 3 3 1 
Como C1 = C2 el rango es dos. Y al ser homogeneo Rg A = Rg A* = 2 < n.incognitas ⇒ S.C.I 
 
Si resolvemos el sistema por igualacion tenemos x = - y por lo que la solución es { ( x, -x, 0) : ∈ R} 
 
Ó lo que es lo mismo { < (1, -1, 0) > } = Ker ( f ) si tomamos el sistema como la ap. lineal f. 
 
 
MÉTODO DE GAUSS 
Consiste en transformar un sistema Ax = B en un sistema triangular Ux = c realizando operaciones 
elementales de Gauss en la matriz ampliada A *. El sistema triangular obtenido es equivalente al inicial. 
 
Si al reducirpor Gauss llegaramos a un absurdo como 0 = 1 el Sistema inicial era Incompatible. 
Ej.- Resolvemos el sistema anterior por Gauss x + y +z = 0 
 x + y - z = 0 
 3x + 3y + z = 0 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 1 1 -1 e1 - e2 0 0 2 3 e1 - e3 0 0 2 ⇒ 0 0 2 ⇒ x + y+ z = 0 ⇒ z = 0 x = -y 
 3 3 1 3 3 1 0 0 2 0 0 0 2 z = 0 
 
Solución: < ( x, -x, 0 ) > ; x ∈ R 
 
POR DESCOMPOSICIÓN L U 
Dado un sistema AX = B siendo A una matriz cuadrada (incognitas = ecuaciones) podemos encontrar la 
descomposicion LU de la matriz A de modo que A = L · U. 
 
A X= B ⇔ LU X= B ⇔ UX = Y 
 L Y = B 
La solución se obtiene resolviendo dos sistemas triangulares, se resuelve LY = B y una vez tenemos el 
vector Y hallamos X, las componenetes de X con las incognitas x, y, z, t... 
 
Este metodo es util para la resolucion se sistemas simultáneos, es decir, que con una sola descomposicion 
LU podemos hallar las soluciones de un mismo sistema para cualquier valor que tomen sus términos 
independientes (cambiando B). 
 
 
 26
 
 
 
 
 
 
 
 27
	algrebra lineal.pdf
	algrebra lineal 1.pdf
	algrebra lineal 2.pdf