Operações com Números Inteiros

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CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS 
 
 
Se ubican dentro de los números reales, perteneciendo a los racionales. 
 
 
 Positivos (Naturales) I
 Enteros Negativos II 
 Racionales 
 Fraccionarios 
Reales 
 
 Irracionales 
 
 
 
 
 
Propiedades de la desigualdad: 
 
1.- Un número es mayor cuando se encuentra más a la derecha de otro en la recta 
numérica: 
 
 Derecha 
 
 -4 -3 -2 -1 0 
 ∴ 0> -4 
 
 
 Izquierda 
 
 -3 -2 -1 0 1 
 ∴ -2 < 1 
 
 
 
Ejercicio.- 
Anota < > según corresponda: 
 
 
a) –10 < -5 
b) –30 < -12 
c) 0 > -1 
d) -8 < 8 
e) 1 > -1 
f) –10 > -15 
g) -9094 < 9093 
h) -9999 < 9999 
i) -5 < -3 
j) -15 < -12 
 
 
Valor Absoluto 
 
El valor absoluto de un número se expresa de la siguiente manera /9/ número 
cualquiera - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - , el cual 
representa el valor que tiene un número por su figura y la distancia en la recta númerica 
partiendo del origen, por lo tanto, siempre es positiva. 
 
Ejemplo: 
Distancia (+) 
 
 
/-50/ 0 50 
 
∴ = 50 
 
/ -3 –4/ = / -7/ = 7 
Encuentra el valor absoluto de los siguientes números: 
 
a) -105 = 105 
b) --2 = 2 
c) -14 = 14 
d) -18a = 18a 
e) -34x = 34x 
f) -45 = 45 
g) -wn = wn 
h) -346 = 346 
i) -8 –3 = -11 = 11 
j) -5 –4 = -9 = 9 
 
 
Números Simétricos 
 
 
Son una pareja de números que se encuentran a la misma distancia de una recta 
numérica, pero en diferente dirección partiendo del origen. 
 
 
|____|____|____|____|____|____|____|____| 
 -4 0 +4 
 
a) 10 es simétrico de -10 f) 2x es simétrico de –2x 
b) 25 es simétrico de –25 g) 3n es simétrico de –3n 
c) -8 es simétrico de 8 h) 3 x es simétrico de – 3 x 
d) a es simétrico de -a i) X2 es simétrico de – X2 
e) -h es simétrico de h j) -5n es simétrico de 5n 
 
 
Propiedades de las Operaciones de Números Enteros.- 
 
a) Suma.- 
1.- Cerradura: La suma de dos o más números enteros siempre da un nuevo 
número entero. 
2.- Conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado. 
3.- No importa la forma en que se agrupen los sumandos, ya que siempre da el 
mismo resultado. 
4.- Elemento Neutro: Todo número al que se le sume el elemento neutro dará 
como resultado el mismo número. 
 
 
 
 
 
 
b) Reglas de Signos de Suma y Resta.- 
1.- Cantidades con signos iguales.- Se suman y se conserva el signo, ejemplo: 
 
-4 –3 = -7 
 
suman 
 
 Mismo signo 
 
-a –a –a = -3a 
-5ay –5ay –ay = -11ay 
-4a3y4 –2a2y3 no se suman porque son de diferente especie. 
 
2.- Cantidades con signos diferentes.- Se restan y se conserva el signo del mayor, 
ejemplo: 
 
 
-5 +3 = -2 
 
Signos 
diferentes
Resta 
Conserva signo 
del mayor 
 
 
 
 
 
Ejercicio: 
Resuelve las siguientes operaciones aplicando las reglas de signos: 
 
a) –16 +14 –8-4+3 = -28 +17 = -11 
b) –15 +2 –4 –3 +5 = -22+7 = -15 
c) –5a2 +4a2–8a2–3a2= -16a2+ 4a2 
d) -10a2 –4a2 –8a2 +13a2 = 22a2 + 13a2 = -9a2
 
 
2a2b +3a2b2 –4a2b –6a2b2 = -2a2b –3a2b2
 
6ayx2 ++5a2by –6x2ya +10yx2a +10a2by = +15a2by +10yx2a 
 
-3x2y3a +6xy3a2 +10x2y3a –6a2xy3 = +7x2y3a 
 
-7x3y2a +4y2ax3 +6x4y2a –16x4y2a +5x3ay2 = +2x3ay2 –10x4y2a 
 
 
Propiedades de la Multiplicación.- 
1.- Carradura.- El producto de dos o más factores da como resultado un nuevo número. 
2.- El orden de los factores no altera el producto. 
3.- Asociativa.- No importa la forma en que se agrupen los factores, siempre dará el 
mismo producto. 
4.- Distributiva.- El producto de un factor con una suma o resta puede ser distribuido 
con el producto de los miembros de la suma o resta por el factor: 
a (b+c) = ab + ac 
a (b-c) = ab - ac 
5.- Elemento Neutro.- Todo número multiplicado por uno da como resultado el mismo 
número. 
 
d) Reglas de signos en la multiplicación.- 
Para llevar a cabo la multiplicación de signos se tomará en cuenta la siguiente tabla: 
 
(+)(+) = + 
(-)(-) = + 
(+)(-) = - 
(-)(+) = - 
 
(-5)(+3)(+4)(-2) = +120 
 
(+a)(-2a)(-6a) = +24a3
 
(-5)(-8)(-3)(-4) = +480 
(-2)(-8)(-3)(-10) = +480 
(-2a)(-6a)(-5a)(-3a) = +180a4
(-8ab)(-2ab)(-3a2b) = -48a4b3
 
Ejercicio: 
 
( )( )( ) 43653222223
231023423
12232
80)5)(8)(2(
cxbacbacbxxba
xbaxbabxaba
+=−−
−=−−−
 
 
( )( )( )
( )( )( )
( ) ( )( ) 13672434234
3333333232332
2222222222
2
5553222332
493422
67442
422814)4)(7(274*27
6126)4)(3()2)(3()42(3
361620)4)(4()5)(4()45(4
:Pr
1224)2)(6()4)(6()24(6
53025)6)(5()5)(5()65(5
422418)4)(6()3)(6()43(6
304010)8)(5()2)(5()82(5
.Pr
36326
30523
aaaaaaaxaaa
xaaxxaxaxxaxxaxax
xyyxxyxyxxyxxyxyx
tributivaopiedadDiseEjerciciod
xxyxxyxxyx
aaaaaaaaaa
tributivaopiedadDisdeAplicación
yxyxyxyx
byxxybyyxyx
=+=+=
−=−=−=−
=+=+=+
+=+=+
−=−=−=−
=+=+=+
−=−=−=−
−
+=−−
+=−−
 
 
Eliminación de paréntesis con multiplicación de signos: 
Para eliminar paréntesis el signo del número se multiplicará siempre por el signo que 
tenga a la izquierda, posteriormente se aplicarán reglas de signos en la suma y resta. 
Cuando se tengan una serie de paréntesis, se empezará a eliminar el paréntesis que se 
encuentre más adentro: 
(-4) + (-8) – (-3) + (-5) = -4-8+3-5 = -17+3 = -14 
 
{(-2)- (-3) – (-4) – (-3) – {(-3)(-4)} – (-2) } 
{(-2) – (-3) – (-4) – (-3) – {+12} – (-2) } 
{-2+3+4+3-12+2} 
{-14+12} = -2 
 
-{-(-2a) + (-5a2) – (5a) – (-6a)(-2a) – {(-2)(4a)} – (-4a)] 
-{-(-2a) + (-5a2) – (5a) – (-6a)(-2a) – {-8a} - -4a} 
-{+2a – 5a2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios: 
 
1.- 
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) }{{ ( ) } ( )( ) ( )( ) }{{ }
}{ } {{
{ {
} }
}{ }{ axxaaxxaaxaxxxaxa
axa
xxxaxa
aaxaxxxaxa
aaaaaaaaaaa
aaaa
845845862632
)8(6
)2()6()3()2(
)8()2)(3()2()6()3()2(
.6
2)213113768
)3(3432423343242
.5
1216483548334
.4
1922834
.3
2002554
.2
21082448
2448
22222
2
22
22
2222222222
−−+=++−−=+−−++−−
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧ =−−+
−−+−−−−−−
=−−−−−−+−−−−−
−
+=−−=−+−=+−−+−−
−−++−−−−−−=−−−−−−−−−−−−
−
+=+−=+++−=−−−−−−−
−
+=−−−−
−
−=+−−−
−
+=+−=+++−
+−−−−−
 
 
División de Números Enteros 
 
Para poder llevar a cabo la división, se aplican las reglas de signos: 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )⎩
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧ +=
−
−
−=
+
−
−=
−
+
+=
+=
−
−
−=
−
−=
−
=
−
⋅⋅⋅+=
−
−
−=−
+
+
1
8
8
5
6
30
7
2
14
:
7
7
49
3
5
15
8
8
64
32
32
4
4
54
22
2
43
2
332
324
23
234
xa
xa
y
yx
yx
ba
ab
ba
Ejercicio
b
a
cba
cba
cba
abc
cba
 
 
 
Raíz de Números Enteros.- 
 
Es la operación inversa a la potencia y cuenta con cuatro elementos: 
 
a) Indice b
d 
a 
c
b) Radical 
c) Subradical 
d) Raíz 
 
 
 
Procedimiento: 
Se factoriza del número. 
Se aplica la regla de exponentes (raíz de una potencia), dividimos exponente entre 
índice, para lo cual haremos grupos de factores en donde el exponente sea divisible 
entre el índice: 
 
 
( )( )( )
4 232
4 22322
4 12281428
4 1210510
4 12105
2222
3 266233
3 865
322
3224
1614418
7549
754
2
23
3 631319
3 63410
10
3 634
2 4
3 3
3
1
2
44
22
22
2
1024
5
5
125
216
22
22
2
512
28
22
22
2
21024
1024
1132528
333
333
27
552
25
525
abcab
abcab
cbbaa
cba
cba
cacab
ccbaa
cba
bccba
bccba
ccbba
cba
cba
aabc
aabc
cbaa
cba
cba
raíz
raíz
⋅
⋅
⋅
=
=
±=∴==
±=⋅∴⋅=
=
 
 
 
 
( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )
( )
( )( )
3 222
2222
3 2626
3 827
3 82
3432
3 129623
3 13975
3 1397
32
32
6422
7532
75
22
2
24
22
22
2
128
2022
522
52
160
36
332
332
32
108
25
52
50
yxy
yxy
yyx
yx
yx
xzyx
zzxyx
zyx
zyx
abba
abba
baba
ba
ba
ba
ba
ba
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
 
 
Ecuaciones con números enteros.- 
 
La ecuación es una igualdad que carece de algún valor y a ese valor se le llama 
incógnita. 
 
 23 + 3 = 9 
 
 Igualdad 
 Incógnita, representado por letras. 
 
Procedimiento: 
Para encontrar el valor de laincógnita elaboraremos las operaciones inversas en el 
orden inverso al que originalmente tenían: 
2x +2 = 10 
2x = 10-2 
2x = 8 
x = 8/2 
x = 4 
Forma grl 
ax + b = c 
a,b,c, cualquier valor 
conocido 
 
 
Ejemplo: 
 
3x-x-5 = 3 2x = 8 
2x-5 = 3 x = 8/2 
2x = 3+5 x = 4 
 
Comprobación: 
3(4)-4-5 = 3 
12-4-5 = 3 
3 = 3 
 
35 –22x +6 –18x = 14-30x + 32 
-40x +41 = -30x 46 
-40x +30x +41 = 46 
-40x +30x = 5 
-10x = 5 
X = -.5 
 
* Si el decimal es periódico la comprobación es con fracciones, si es puro, 
con decimales. 
 
 
Ejercicios: 
 Comprobación: 
5x=8x-15 
-3x=-15 
x=-15/3 
x=+5 
(5)(5) = (8)(5)-15 
 25 = 25 
 
4x++1=2 
4x=1 
x=1/4 
x=0.25 
(4)(0.25)+1 = 2 
1+1 = 2 
2=2 
 
y-5=3y-25 
y-3y-5=-25 
-2y-5=25 
-2y=-20 
y=-20/-2 
y=+10 
10-5=(3)(10)-25 
 5 = 5 
 
5x+6=10x+5 
-5x+6=5 
-5x=-1 
x=-1/-5 
x=.2 
(5)(2)+6 = (10)(.2)+5 
1.0+6 = 2.0 + 5 
 7 = 7 
 
x-(2x+1) = 8 –(3x –3) 
x –2x –1 = 8 –3x –3 
x –2x +3x –1 = 8 –3 
2x –1 +3 = 8 
2x +2 = 8 
2x = 8-2 
x = 6/2 
x = 3 
3-(6´1) = 8-(18+3) 
3-6-1 = 8-18-3 
 4 = 4 
 
15x-10= 6x-(x+2)+(-x+3)
15x-10 = 6x-x-2-x+3 
15x-6x+x+x = 1 
17x-6x = 11 
11x = 11}x = 11/11 
x = 1 
(15)(1)-10=(6)(1)+(1+2)+(-1+3) 
15-10=6-(3)+(2) 
5=6-3+2 
5=8-3 
5=5 
 
 
 
 
 
 
	CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS 
	Positivos (Naturales) I
	Enteros
	Racionales
	Derecha
	Izquierda
	Valor Absoluto 
	Números Simétricos 
	Propiedades de las Operaciones de Números Enteros.- 
	División de Números Enteros 
	Raíz de Números Enteros.- 
	Ecuaciones con números enteros.-