Integrales Impropias

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1 Análisis matemático 
 Av. Independencia 1632 - tel. 361385 - 
 
 
Preparo ANÁLISIS MATEMÁTICO Rodolfo Carrizo 
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Integrales Impropias 
 
Vamos a extender el concepto de integral definida para los siguientes casos: 
 
1. Cuando los limites de integración son infinitos o el intervalo de integración es infinito. 
2. Que la función no este acotada en[ , o sea que la función f presente una discontinuidad infinita en]a b, [ ]a b, . 
“Las integrales que responden a algunos de estos dos casos se llaman Integrales Impropias.” 
 
Caso 1: integrales impropias con intervalos de integración infinitos 
 
Definiciones: 
 
a) : ( )f x dx
a
∞
∫
 Sea f una función continua en [ ]a t, con t y “a” fijo, o sea, existe y si existe a〉 ( )f x dx
a
t
∫
 entonces ( )lim f x dx
t a
t
→∞ ∫ ( ) ( )f x dx lim f x dxa t a
t∞
→∞∫ ∫=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) : ( )f x dx
b
−∞∫
 Sea f una función continua en [ ]t b, con t b〈 y “b” fijo, o sea, existe y si ( )f x dx
t
b
∫
 existe entonces ( )lim f x dx
t t
b
→−∞ ∫ ( ) ( )f x dx lim f x dx
b
t t
b
−∞ →−∞∫ ∫=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: en los casos a), b) si el limite existe, decimos que la integral impropia es convergente y su valor es el del 
 limite. 
 Si no existe el limite, decimos que la integral impropia es divergente(y no tiene valor). 
 
 
 
 
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c) : ( )f x dx
−∞
∞
∫
 Sea f continua ∀ ∈x R con “c” cualquier número real y si y son ( )dxxfc∫ ∞− ( )dxxfc∫
∞
 convergentes entonces: 
 
 = + ( )f x dx
−∞
∞
∫ ( )f x dx
c
−∞∫ ( )f x dxc
∞
∫
 
 Si una de las dos integrales es divergente ⇒ Diverge ( )f x dx
−∞
∞
∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 En general c=0 , para facilitar el cálculo. 
 
Caso 2: integrales impropias con integrandos infinitos o con funciones no acotadas en [ ] a b,
 
Casos: 
a) 
 
 ; ( )f x dx
a
b
∫ ( )lim f xx a→ + = ∞ 
 
 
 
 
 
 
b) 
 ; ( )f x dx
a
b
∫ ( )lim f xx b→ − = ∞ 
 
 
 
 
 
c) 
 ; ( )dxxfb
a∫ ( )lim f xx c→ = ∞ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Definición: 
a) Si f es una función continua y si ( ]bax ,∈∀ ( )lim f x
x a→ +
= ∞ entonces 
 , siempre que este limite exista. ( ) ( )f x dx lim f x dx
a
b
t a t
b
∫ ∫=
→ +
 
b) Si f es una función continua [ )bax ,∈∀ y si ( )lim f x
x b→ −
= ∞ entonces 
 , siempre que este limite exista. ( ) ( )f x dx lim f x dx
a
b
t b a
t
∫ ∫=
→ −
 
Nota : en los casos a),b) si el limite existe decimos que la integral impropia es convergente y su valor es el del 
 limite. Si el limite no existe, decimos que la integral impropia es divergente. 
 
c) Sea f una función continua [ ) ( ]bccax ,, ∪∈∀ y tal que ( )lim f x
x c→
= ∞ y si existen 
 y ( )f x dx
a
c
∫ ( )f x dxc
b
∫ ⇒ ( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dxa
b
a
c
c
b
∫ ∫ ∫= +
 
Nota: si una de las dos integrales impropias es divergente ⇒ es divergente. ( )f x dx
a
b
∫
 
 
Observaciones: 
1) Si nos dan una integral que responda al primer caso, aseguramos que es impropia porque en ella el 
 intervalo de integración es infinito. 
 
2) Si nos dan una integral del segundo caso , o sea de la forma , primero debemos decidir si es ( )f x dx
a
b
∫
 una integral definida o impropia, para ello analizo el comportamiento de la función f en el intervalo 
 [ , o sea, ]ba,
 i) Si el ( ) ∞=xflim cuando ó ó +→ ax −→ bx cx → con ( )bac ,∈ , en cualquiera de estos casos 
 la integral dada es impropia. 
 ii) No toda función que presente una discontinudad en un punto es impropia ya que dicha discontinudad debe 
 ser infinita. 
 
3) Se pueden combinar en una misma integral impropia los dos casos vistos. 
 
Teorema de comparación para integrales impropias 
 
Si f y g son continuas con axxgxf ≥∀≥≥ 0)()( y si : 
 
 
 
 
i) Si converge converge. ∫
∞
a
dxxf ).( ⇒ ∫
∞
a
dxxg ).(
 
ii) Si diverge diverge. ∫
∞
a
dxxg ).( ⇒ ∫
∞
a
dxxf ).(
 
	Teorema de comparación para integrales impropias