Unidad 3 Metodos de integracion

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Cálculo integral 
Unidad 3. Métodos de integración 
 
 
 
 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología 
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Calculo integral 
 
 
Unidad 3. Métodos de 
integración 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo integral 
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Tabla de contenidos 
UNIDAD 3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 3 
Presentación de la unidad 3 
Consideraciones específicas de la unidad 3 
Propósito de la unidad 4 
Competencia específica 4 
3.1. Integración por partes 5 
3.1.1. Integrales por partes 5 
Actividad 1. Métodos de integración 7 
Actividad 2. Ejercicios de integración por partes 7 
3.1.2. Sustitución para racionalizar 8 
 
3.2. Integrales trigonométricas 8 
3.2.1. Integrales trigonométricas 9 
3.2.2. Integrales que contienen senos y cosenos 11 
3.2.3. Integrales que contienen tangentes y secantes 14 
Actividad 3. Resolución de problemas que contienen funciones trigonométricas 15 
3.2.4. Sustitución trigonométrica 15 
Actividad 4. Ejercicios de sustituciones trigonométricas 18 
 
3.3. Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales 18 
3.3.1. Q(x) es producto de factores lineales distintos 20 
3.3.2. Q(x) contiene factores lineales, algunos se repiten 22 
3.3.3. Q(x) contiene factores cuadráticos reducibles, ninguno se repite 24 
3.3.4. Q(x) contiene un factor cuadrático irreductible repetido 26 
Actividad 5. Integración mediante fracciones parciales 29 
 
3.4. Estrategias de la integración por medio de tablas integrales 29 
3.4.1. Tablas de fórmulas integrales 30 
Actividad 6. Formulas de integración 31 
3.4.2. Estrategias para integrar 31 
Actividad 7. Resolución de integrales 32 
 
3.5. Integrales impropias 32 
3.5.1. Tipo 1. Intervalos infinitos 32 
3.5.2. Tipo 2. Integrandos discontinuos 34 
 
Evidencia de aprendizaje. Cálculo de una integral 37 
Fuentes de consulta 37 
 
 
 
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UNIDAD 3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 
 
Presentación de la unidad 
En la unidad 1 hemos visto el teorema fundamental del cálculo, el cual menciona que es posible integrar 
una función si conocemos su antiderivada, o su integral definida. También hemos adquirido habilidad para 
resolver cierto tipo de integrales; sin embargo, existen integrales más complicadas que no es posible 
resolverlas con las fórmulas y métodos hasta ahora expuestos. Por ello, en este capítulo abordaremos 
diferentes técnicas y métodos para resolver integrales. 
Entre los métodos que veremos están integración por partes, integración usando funciones trigonométricas, 
integraciones por sustitución trigonométrica, integración de un cociente mediante la descomposición de 
fracciones parciales entre sus diferentes casos. También veremos el cómo abordar cierto tipo de integrales 
mediante tablas y/o aplicando algunas estrategias para realizar el proceso de integración con éxito. Incluso 
abordaremos las integrales impropias en donde extenderemos el concepto de integral definida al caso 
donde el intervalo es infinito y también al caso donde f tiene una discontinuidad infinita en un intervalo 
[a, b]. 
Consideraciones específicas de la unidad 
En esta sección requerimos el siguiente material: 
 Calculadora. 
 Tablas de integración. Existen libros en las bibliotecas que podrías utilizar o bien adquirir las tablas 
de Internet. Te aconsejamos que lleves contigo las tablas para evaluar las integrales. 
 Es necesario que repases las fórmulas para encontrar áreas a figuras geométricas planas y 
volumétricas comunes. 
Es necesario que tengas conocimientos sobre: 
 Álgebra 
 Geometría analítica 
 Cálculo diferencial 
 Propiedades y reglas de las operaciones de sumatorias. 
 
 
 
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Propósito de la unidad 
 
 
 
 
Al término de la unidad habrás incrementado tu competencia en 
resolver integrales mediante diferentes métodos y reglas de 
integración. Desarrollarás tu habilidad de escoger métodos 
apropiados para resolver integrales. Identificarás integrales que 
requieran el uso de tablas de integrales para su resolución. 
 
 
 
Competencia específica 
 
 
 
 
Utilizar métodos de integración para resolver integrales mediante reglas, 
identidades, sustituciones, simplificaciones, definiciones, estrategias y 
tablas, con base en ejercicios de práctica. 
 
 
 
 
 
 
 
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3.1. Integración por partes 
Como inicio de la unidad empezaremos a estudiar el método de integración por partes. Dicho método es 
una consecuencia inversa del proceso de derivación de un producto de funciones. Veremos también el 
proceso de integración cuando tengamos funciones expresadas como raíces cuadradas. 
3.1.1. Integrales por partes 
La regla de integración por partes surge de la regla de derivación de un producto de dos funciones. 
Supongamos que f y g son funciones derivables. 
La regla de derivación de un producto de funciones establece: 
  )()()()()()( xfxgxgxfxgxf
dx
d
 
Si aplicamos la integral al producto de funciones, tenemos: 
   dxxfxgxgxfdxxgxf
dx
d
  )()()()()()( 
En el primer término se cancela la integral. 
dxxfxgdxxgxfxgxf   )()()()()()( 
Despejamos el primer término de la suma del lado derecho. 
dxxfxgxgxfdxxgxf   )()()()()()( 
Llegamos a lo que se conoce como fórmula de integración por partes. 
Si renombramos los términos )(xfu  y )(xgv  y sus respectivos diferenciales dxxfdu )( y 
dxxgdv )( ; reescribimos la fórmula de integración por partes como: 
duvuvdvu   
Reescribiendo de esta manera una integral, es más sencillo resolverla. Escrita de esta manera te será más 
fácil recordarla. 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 
Queremos determinar la integral de la forma dxxsenx  . 
Solución 
Antes de realizar la integral identificamos a u y v . 
 u dv  u v  v du 
Lo que está en rosa es lo que identificamos y lo que está en amarillo es lo que tenemos que encontrar para 
poder aplicar la regla. 
xu  encontrar: dxdu  
senxdxdv  encontrar: xv cos 
Sustituimos en nuestra fórmula de integración por partes, y procedemos a integrar las integrales faltantes. 
En caso de que fuera necesario, volvemos nuevamente a aplicar la regla de integración por partes. En este 
caso no es necesario. 
   
Csenxxx
dxxxcoxx
dxxxsenxdxx
duvvudvu





cos
cos
)cos()cos( 
La integral del coseno la sacamos de las tablas de integrales. 
El objetivo de la integración por partes es obtener una integral más fácil de resolver, en comparación con la 
inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Actividad 1. Métodos de integración 
Instrucciones 
 
En esta primera actividad deberás ingresar al foro y realizar lo que se te pide a continuación. 
 
Instrucciones 
 
1. Investiga por tu cuenta y responde: 
 
¿Qué otros métodos de integración existen y en qué consisten? 
 
 Comparte tus conclusiones con tus compañeros(as). 
 Participa al menos dos veces y recuerda ser respetuoso(a) con tus compañeros(as). Tu 
Facilitador(a) retroalimentará tu participación. 
 
Consulta la Rúbrica general de participación del foro, que se encuentra en la sección Material de apoyo. 
 
Actividad 2. Ejercicios de integración por partes 
Instrucciones 
 
1. En un documento de Word, integra por partes las siguientes integrales e intégralas: 
 
1. 
dxxx 322 6. dxsenxx )ln(cos 
2. 
 d
2sec 7. dxxx cos 
3. 
dxxe x
2 8. dxxx
5
1
ln 
4. 
dxex x
32
 9. dxx
2)(ln 
5. 
dxxx ln 10. dxsenxe
x
 
 
2. Envía el archivo a tu Facilitador(a) a la sección de Tareas para que la revise y te retroalimente en 
los siguientes días. 
*Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB. 
 
 
 
 
 
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3.1.2. Sustitución para racionalizar 
En esta sección evaluaremos integrales que tienen una expresión de la forma n xg )( , en la cual 
efectuaremos una sustitución n xgu )( . 
Ejemplo 
Evaluar la integral 

dx
x
x 4
 
Solución 
Haremos la sustitución de n xgu )( , es decir: 
4 xu que es lo mismo que 42  xu , despejando x y determinando sus diferencias, 
 42  ux ; ududx 2 
Sustituyendo en la integral, llegamos a: 









du
u
u
du
u
u
udu
u
u
dx
x
x
4
2
4
22
4
4
2
2
2
2
2
 
Este último término será evaluado usando fracciones parciales. 
 
3.2. Integrales trigonométricas 
En esta sección nos enfrentaremos a integrales que contienen funciones trigonométricas. Para ellos 
conoceremos y aplicaremos algunas identidades trigonométricas frecuentemente usadas. 
 
 
 
 
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3.2.1. Integrales trigonométricas 
Las identidades trigonométricas juegan un papel importante a la hora de integrar ciertas combinaciones de 
funciones trigonométricas. 
La idea central de este método consiste en reescribir una integral dada en una integral más accesible que 
permita realizar el proceso de integración de forma práctica. 
Podemos usar las siguientes identidades, según nuestra conveniencia a la hora de evaluar integrales. 
1cossen 22  xx ó xx 22 cos1sen  ó xx 22 sen1cos  
 xxen 2cos1
2
1
s 2  
 xx 2cos1
2
1
cos2  
1sectan 22  xx 
xx 2csccot1 2  
Para evaluar integrales de la forma  dxnxmx cossen ,  dxnxmx sen sen ó  dxnxmx cos cos , puedes usar 
las siguientes identidades. 
 )(sen )(sen 
2
1
cossen BABABA  
 )( c)( cos
2
1
sen sen BAosBABA  
 )( c)( cos
2
1
coscos BAosBABA  
Además, podemos usar otras identidades como: 
Identidades recíprocas 
senx
x
1
csc  
x
x
cos
1
sec  
 
 
 
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10 
x
x
tan
1
cot  
x
senx
x
cos
tan  
senx
x
x
cos
cot  
Identidades pitagóricas 
1cossen 22  xx 
xxan 22 sec1t  
xx 22 csccot1  
Identidades de paridad 
senxx  )(sen 
xxos cos)(c  
xx tan)(tan  
 
Ejemplo 
Queremos evaluar la integral  dxx cos
3 . Como notarás, no la puedes evaluar directamente con los 
métodos anteriormente vistos. 
Solución 
Por ello, utilizaremos las identidades anteriores para hacerla más fácil de resolver. 
Para empezar, x3cos lo podemos reescribir con ayuda de las funciones trigonométricas como: 
xxxxx cos) sen1(coscoscos 223  
Reescribiendo la integral inicial con un cambio de variable xu sen  y xdxdu cos 
 
 
 
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Cuu
du
dxxxdxx





3
2
23
3
1
)u1(
cos) sen1(cos
 
Regresamos a la variable inicial x, reemplazando xu sen  
Cxxdxx 
33 sen
3
1
sen cos 
3.2.2. Integrales que contienen senos y cosenos 
En esta sección conocerás el método de evaluar integrales de la forma 
 dxxx
n cos senm 
Para evaluar este tipo de integrales, hay que considerar los siguientes tres casos: 
CASO UNO. En el caso que tengamos 12  kn una potencia impar, descomponemos el xncos en 
factores, posteriormente utilizamos la identidad xx 22 sen1cos  con la intención de expresar los factores 
restantes en términos de funciones trigonométricas senos. 
Finalmente, tenemos la integral con potencia par reescrita en términos de senos. 
 
 
 dxxxxdxxx kk cos)(cos sen cos sen 2m12m 
Reemplazando nuestra identidad xx 22 sen1cos  tenemos una integral de la forma, 
 
 dxxxxdxxx kk cos)sen1( sen cos sen 2m12m 
Puedes resolver esta integral haciendo un cambio de variable xu sen  y al hacer xdxosdu c . Al final 
tendríamos que resolver una integral de la forma: 
duuu mk  )1(
2
 
 
CASO DOS. Si te enfrentaras con integrales donde la potencia m es impar, 12  km . Usamos la misma 
técnica que en el caso uno. 
Descomponemos xnsen en factores, sustituimos la identidad xx
22 cos1sen  
 
 
 
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



dxxxx
dxxxxdxxx
nk
nkn
 cos sen )cos1(
 cos sen )(sen cos sen
2
212k
 
Esta forma se puede resolver por medio de una sustitución, haciendo xosu c , senxdxdu  . Como en la 
expresión no tenemos un dxxsen )( multiplicamos ambos lados por -1 y nos queda la expresión 
dxxsendu )( . Finalmente tendrás que calcular esta integral. 
 duuu nk  )1(
2 
Como te darás cuenta esta integral es más fácil de resolver. 
CASO TRES. Veremos que éste es más fácil, ya que se trata de un caso donde las potencias son pares, 
tanto para el seno como para el coseno. En este caso tendremos que aplicar las siguientes identidades: 
 xxen 2cos1
2
1
s 2  
 xx 2cos1
2
1
cos2  
xxx 2sen 
2
1
sen cos  
Ejemplo 
Determina 
 xdxxsen
25 cos 
Solución 
Podríamos convertir x2cos a xsen21 pero nos quedaríamos con una expresión en términos de senx sin 
factor xcos extra. En vez de eso, separamos un sólo factor seno y reescribimos el factor xsen4 restante en 
términos de xcos : 
xsenxxxsenxxsenxxsen 22222245 cos)cos1(cos)(cos  
Sustituyendo xu cos , tenemos senxdxdu  luego 
 
 
 
 
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. 
Otro ejemplo 
Evaluar 
 
 
= 
 
= 
 
= 
 
= 
 
 
 
 
 
 
 
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3.2.3. Integrales que contienen tangentes y secantes 
En esta sección nos interesa evaluar integrales de la forma:  dxxx
n sec tanm . 
Tienes dos casos. 
i) Cuando la potencia kn 2 es par: descompondrás xnsec en factores, manteniendo en un factor una 
potencia igual a 2. Reemplazarás la identidad xx 22 tan1sec  . Expresarás la integral en términos de 
xtan . 






dxxxx
dxxxxdxxx
k
kk
 sec)tan1( tan
 sec)(sec tan sec tan
212m
212m2m
 
Hacemos una sustitución y y la integral que evaluarás quedaría así: 
   duuudxxxan m
k
k
1
22m 1 sec t

  
ii) Cuando la potencia 12  km es impar: lo que harás será descomponer xk 12tan  en factores, 
manteniendo en un factor una potencia igual a 2. Después reemplazarás la identidad 1sectan 22  xx . 
Posteriormente, expresarás la integral en términos de sec x. 






dxxxxx
dxxxxxdxxx
nk
nkn
 tansecsec)1sec(
 tansecsec)tan( sec tan
12
1212k
 
Convertimos y y nos queda una forma más sencilla de integral: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Actividad 3. Resolución de problemas que contienen funciones trigonométricas 
 
Instrucciones 
1. En un documento de Word, calcula las siguientes integrales: 
 
 dxmxsen
3 
 dxxx sectan
2 
 dxxxsen
45cos 
 dxxcsc 
 dxxsen 
2)21( 
 
2. Envía el archivo a tu Facilitador(a) a la sección de Tareas para que la revise y te retroalimente en 
los siguientes días. 
*Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB. 
 
 
3.2.4. Sustitución trigonométrica 
En esta sección aprenderemos a integrar funciones de la forma dxxa 
22
 , siendo a una constante 
MAYOR a cero. 
Haremos un cambio de variable de x a  mediante la sustitución asenx  . Emplearemos la identidad 
 22 1cos sen con el objetivo de quitar la raíz, observa: 
 coscos)1( 222222222 aasenasenaaxa  
Podrás ver que, con este cambio de variable, la integral se convierte en una más sencilla facilitando la 
integración. Hemos eliminado la raíz que nos complicaba el trabajo. 
A este tipo de sustitución se le llama sustitución inversa. 
Existen otros casos en los que se puede emplear el mismo seguimiento. A continuación tenemos una tabla 
donde se muestra la expresión y lo que puedes usar dependiendo de los signos de los términos del 
radicando. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Forma del radical Sustitución Nuevo límite de integración Identidad empleada 
1. 22 xa  asenx  
22



 
 22 1cos sen 
2. 22 xa  tanax  
22



 
 22 tan1sec  
3. 22 ax  secax  
2
0

  ó 
2
3
  
1sectan 22   
 
En video puedes ver algunos ejemplos. 
http://www.youtube.com/watch?v=g8mXuZD0Pb8 
http://www.youtube.com/watch?v=MDzUKb46y-4&feature=related 
http://www.youtube.com/watch?v=uviuFSY2vzw&feature=related 
http://www.youtube.com/watch?v=HxOfazuF3U4&feature=related 
 
Ejemplo 
Determina la integral 

dx
xx 4
1
22
 
Solución 
Identificamos que se trata del segundo caso que se encuentra en la tabla. Entonces, la sustitución 
empleada será tan2x definida en el intervalo 2/2/,   . El diferencial de x es ddx 2sec2 . 
Trabajando con el radical y realizando las sustituciones respectivas se tiene: 
 sec2sec2sec4)1(tan44 222 x 
Reemplazamos en nuestra integral original: 





d
d
xx
dx
  

222
2
22 tan
sec
4
1
)sec2)(tan2(
sec2
4
 
 
http://www.youtube.com/watch?v=g8mXuZD0Pb8
http://www.youtube.com/watch?v=MDzUKb46y-4&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=uviuFSY2vzw&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=HxOfazuF3U4&feature=related
 
 
 
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El integrando lo podemos reescribir de la siguiente forma: 






22
2
2
coscos
cos
1
tan
sec
sensen
 
La integral queda: 
  







d
sen
d
xx
dx
2222
cos
tan
sec
4
 
Realizando la sustitución senxu  y su respectivo diferencial se tiene: 


 2222 4
1cos
4
1
4 u
du
d
sen
dx
xx
dx



 
Resolviendo 
CC
sen
C
uu
du






 4
csc
4
11
4
1
4
1
2


 
Emplearemos el triángulo siguiente para identificar los lados y la cosecante del ángulo en cuestión. 
x
x 4
csc
2 
 
 
 



C
x
x
xx
dx
4
4
4
2
22
 
 
 
 
 
 
 
 
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Actividad 4. Ejercicios de sustituciones trigonométricas 
Instrucciones 
1. En un documento de Word, calcula la integral mediante sustitución trigonométrica en cada caso y 
dibuja el rectángulo asociado. 
 
 dx
xx

 9
1
22
 
 dx
xx

 22 25
1
 
 dxxx  4
23
 
 
 
 
dx
x
x


2
5
42
 
 dx
xx

 136
1
2
 
2. Envía el archivo a tu Facilitador(a) a la sección de Tareas para que la revise y te retroalimente en 
los siguientes días. 
*Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB. 
 
 
3.3. Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales 
Revisaremos algunos métodos para calcular integrales racionales de la forma: 
 
 
 xQ
xP
xf  
En donde )(xP y )(xQ son polinomios. 
Para integrar funciones con esta forma, lo que haremos es expresar a )(xf como una suma de fracciones 
más sencillas, siempre que el grado del polinomio P sea de menor grado que el polinomio Q. 
Nota: 
Recordemos que un polinomio se puede expresar de la siguiente manera. 
  01
1
1 axaxaxaxP
n
n
n
n 

  
En donde 0na . El grado del polinomio está denotado por n . 
Por otra parte, debemos considerar que una función propia )(xf es cuando el grado de )(xP es menor 
que el grado de )(xQ . Y una impropia es cuando el grado de )(xP es mayor que el grado de )(xQ . 
 
 
 
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Considerando el caso que tengamos una función impropia, lo primero que haremos será realizar la división 
de polinomios )(xP entre )(xQ hasta obtener el residuo. Es decir, 
)(
)(
)(
)(
)(
)(
xQ
xR
xS
xQ
xP
xf  
En donde )(xR y )(xS también son polinomios. 
Revisemos el siguiente ejemplo para entenderlo mejor. 
Ejemplo 
Supongamos que nos piden determinar la integral racional de: 
dx
x
xx
 

1
3
 
Solución 
Observemos. Se trata de una integral impropia, pues el grado del polinomio P es mayor que el grado del 
polinomio Q. 
Procedemos a realizar la división y la sustituimos dentro del radicando, tenemos: 










 dxx
xxdx
x
xx
1
2
2
1
2
3
 
Cxx
xx
 1ln22
23
23
 
El cálculo de la integral fue más trivial al realizar la división. 
Sin embargo, después de haber realizadola división, es posible que nos quedemos trabajando con el 
cociente 
)(
)(
xQ
xR
 que pueda tener la forma de una función propia. El grado de )(xR es menor que el grado de
)(xQ . 
)(
)(
xQ
xR
 
Cuando tengas esto, lo que debes hacer es descomponer el denominador Q(x) en factores, tanto como sea 
posible para convertir nuestro cociente 
)(
)(
xQ
xR
 en una suma de fracciones parciales cuyos denominadores 
son potencias de polinomios de grado menor o igual a dos. 
 
 
 
Cálculo integral 
Unidad 3. Métodos de integración 
 
 
 
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20 
rFFF
xQ
xR
 21
)(
)(
 
El siguiente paso consiste en expresar la función racional propia, 
)(
)(
xQ
xR
 como una suma de fracciones 
parciales, dependiendo del factor que esté contenido en )(xQ . 
 ibax
A

 ó 
 jcbxax
BAx


2
 
Esto siempre va a ser posible. 
Veremos en las siguientes secciones los diferentes casos que se pueden encontrar para el denominador 
)(xQ de la función propia. 
3.3.1. Q(x) es producto de factores lineales distintos 
Sea el caso que tengamos una función propia. El grado de )(xP es menor que el grado de )(xQ . 
rFFF
xQ
xR
 21
)(
)(
 
Caso I, cuando el denominador Q(x) es un producto de factores lineales distintos. 
Es decir, puedes representar tu polinomio )(xQ como producto de factores lineales, la potencia de cada 
uno de ellos es uno. 
      kk babxabxaxQ  2211 
No debe haber factores repetidos. Con esto es posible reescribir el cociente como: 
 
  kk
x
bxa
A
bxa
A
bxa
A
xQ
xR





 
22
2
11
1
 
donde kAAA ,,, 21  son constantes a encontrar. 
Ejemplo 
Resuelve la siguiente integral. 
dx
xxx
xx
 

232
12
23
2
 
 
 
 
 
Cálculo integral 
Unidad 3. Métodos de integración 
 
 
 
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21 
Solución 
Se trata de una función propia, ya que el polinomio del denominador es de mayor grado que el polinomio 
del numerador. 
Como comentamos anteriormente, tenemos que expresar el denominador en términos de factores de grado 
uno. 
    212232232 223  xxxxxxxxx 
Mira, lo hemos puesto con TRES FACTORES LINEALES DISTINTOS, con polinomios de grado uno. ¿Soy 
muy redundante? Pues, sí, ¡que no se te olvide que el grado de cada factor es uno! 
Entonces, ahora reescribimos nuestro cociente como el resultado de fracciones parciales, en términos de 
las constantes A, B y C . 
   212212
122






x
C
x
B
x
A
xxx
xx
 
Lo que haremos ahora es hallar las constantes A , B y C . Para lograrlo multiplicamos ambos lados de la 
expresión por 
  212  xxx . 
      122212122  xCxxBxxxAxx 
Reordenado para conseguir la igualación de literales. 
    AxCBEAxCBAxx 222212 22  
 
Encontramos que los coeficientes en ambas ecuaciones tienen que ser iguales. 
 CBA 221  
 CBEA  22 
A21  
Es un sistema de ecuaciones que hay que resolver para encontrar los valores de A , B y C . Puedes usar 
cualquier método que desees para resolverlo. 
Resolviendo el sistema de ecuaciones se encontraron los siguientes valores 
 
 
 
Cálculo integral 
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22 
Al resolver el sistema obtenemos: 
2
1
A , 
5
1
B y 
10
1
C 
Finalmente, podemos reescribir nuestra integral original en términos de fracciones parciales 
   212212
122






x
C
x
B
x
A
xxx
xx
 
Cxxx
dx
xxx
dx
xxx
xx














2
10
1
12ln
10
1
ln
2
1
2
1
10
1
12
1
5
11
2
1
232
12
23
2
 
Recalcando, el denominador )(xQ se escribió como un producto de factores lineales distintos 
      kk babxabxaxQ  2211 
3.3.2. Q(x) contiene factores lineales, algunos se repiten 
Si 
)(
)(
)(
)(
)(
)(
xQ
xR
xS
xQ
xP
xf  , analizaremos el caso II, cuando el denominador Q(x) es un producto de 
factores lineales, algunos de los cuales se repiten. 
Sea el cociente de polinomios 
rFFF
xQ
xR
 21
)(
)(
 
El cual es una función propia, donde descomponemos el denominador Q(x) en un producto de factores 
lineales, algunos de los cuales se repiten. 
     r
r
bxa
A
bxa
A
bxa
A
11
2
11
2
11
1





 
Observa que los factores )( 11 bxa  se repiten r veces. 
Un ejemplo claro es el siguiente: 
     32232
3
1111
1








x
E
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
xx
 
 
 
 
Cálculo integral 
Unidad 3. Métodos de integración 
 
 
 
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23 
Hicimos esto, ya que el factor x es lineal y se repite 2r veces, por lo que se escriben los términos 
x
A
 y 
2x
B
. Y también el factor )1( x es lineal y se repite 3r , por lo que puedes escribir tres términos
)1( x
C
, 
2)1( x
D
 y 
)1( x
E
 
Analicemos un ejemplo de integración. 
Ejemplo 
Determine la integral  

dx
xxx
xxx
1
142
23
4
 
Solución 
El primer paso es dividir para obtener el cociente de la forma anteriormente vista 
)(
)(
)(
)(
)(
)(
xQ
xR
xS
xQ
xP
xf  
Dividiendo resulta 
1
4
1
1
142
2323
4




xxx
x
x
xxx
xxx
 
El segundo paso es expresar a   123  xxxxQ en factores. 
Factorizamos, dado que 1 es solución de 0123  xxx tenemos el primer factor )1( x , también a 
)1( 2 x lo podemos descomponer en dos factores )1( x )1( x . Reescribiendo tenemos: 
 
      
   11
111111
2
223


xx
xxxxxxxx
 
El factor lineal 1x , aparece dos veces. 
Con esto ya podemos trabajar con la parte 
)(
)(
xQ
xR
 así que este cociente queda expresado como: 
        11111
4
22 





 x
C
x
B
x
A
xx
x
 
 
 
 
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24 
Realizando la misma técnica del ejemplo anterior para hallar las constantes, multiplicamos por el mínimo 
común denominador    11 2  xx y obtenemos 
      
     CBAxCBxCA
xCxBxxAx


2
11114
2
2
 
Igualamos coeficientes en relación con las literales: 
 
0 
42 
0 



CBA
CB
CA
 
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: 
1A , 2B y 1C 
Una vez que hemos hallado el valor de las constantes procedemos a sustituirlas en nuestras fracciones 
parciales y reescribimos nuestra integral para resolverlas. 
 
C
x
x
in
x
x
x
Cxin
x
xinx
x
dx
xxx
xdx
xxx
xxx
























1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
142
2
2
223
24
 
Una vez más hemos descompuesto el denominador Q(x) en un producto de factores lineales, algunos de 
los cuales se repiten. 
     r
r
bxa
A
bxa
A
bxa
A
11
2
11
2
11
1





 
3.3.3. Q(x) contiene factores cuadráticos reducibles, ninguno se repite 
Caso III. Es el caso tal que la descomposición de  xQ contiene factores cuadráticos irreducibles, de los 
cuales ninguno se repite. Esto es cuando  xQ posee el factor cbxax 2 , en donde 042  acb . El 
cociente 
)(
)(
xQ
xR
 tendráun término de la forma: 
cbxax
BAx


2
 
 
 
 
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25 
Siendo Ay B constantes a ser determinadas. Considera que es posible que  xQ contenga términos lineales 
y no lineales. 
Si el denominador contiene factores lineales, utilizarás el método de la sección anterior para determinar las 
fracciones parciales debido a los términos lineales. Y para determinar la forma de las fracciones parciales 
cuando los factores del denominador tienen factores cuadráticos, usarás el método expuesto en esta 
sección. 
El siguiente ejemplo lo ilustra mejor. 
Ejemplo 
La función  
    412 22 

xxx
x
xf descompuesta en fracciones parciales queda de la siguiente 
manera: 
    412412 2222 







 x
EDx
x
CBx
x
A
xxx
x
 
Las fracciones parciales 
12 

x
CBx
y 
42 

x
EDx
surgen debido a los factores cuadráticos  12 x y  42 x 
respectivamente; y la fracción 
2x
A
es consecuencia del término lineal )2( x . 
Veamos un ejemplo donde se tenga que integrar una función racional. 
Ejemplo 
Calcule la siguiente integral dx
xx
xx
 

4
42
3
2
 
Solución 
Procedemos a descomponer )4(4)( 23  xxxxxQ y reescribimos el cociente (surgen dos fracciones, 
una debido a un factor lineal y otra debido al factor cuadrático). 
  44
42
22
2





x
CBx
x
A
xx
xx
 
Igual que en los ejemplos anteriores multiplicamos por  42 xx para resolver los valores de A, B y C. 
   
  ACxxBA
xCBxxAxx
4
442
2
22


 
 
 
 
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26 
Resolviendo llegamos a los valores 
1A 1B , 1C 
Entonces, al reemplazar estos valores para A, B, y C, la integral toma la forma: 
dx
x
x
x
dx
xx
xx
 










4
11
4
42
23
2
 
Fíjate que esta integral, ahora está expresada como la integral de una suma, que es lo mismo que la suma 
de dos integrales. 
dx
x
x
dx
x
dx
xx
xx
 




4
11
4
42
23
2
 
El cálculo del primer término es trivial; sin embargo, el segundo término lo podemos expresar en dos partes 
como: 
 





dx
x
dx
x
x
dx
x
x
4
1
44
1
222
 
La primera integral la resolvemos usando una sustitución de variable con 42  xu y xdxdu 2 
respectivamente. En la segunda integral se usa la integral: 
C
a
x
aax
dx










1
22
tan
1
 
Identificamos que 2a . Observemos que finalmente nuestra integral original puede ser descompuesta en 
tres fracciones parciales, una lineal y dos cuadráticas. 
    CxxInxIn
dx
x
dx
x
x
dx
x
dx
xx
xx









2tan4
4
1
4
1
4
42
1
2
12
2
1
223
2
 
3.3.4. Q(x) contiene un factor cuadrático irreductible repetido 
En este tópico tendremos el caso IV en el cual el denominador )(xQ se puede descomponer en el factor 
 rcdxax 2 repetido r veces. 
)(
)(
xQ
xR
se descompone en las fracciones parciales de la forma: 
 
 
 
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   r
rr
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA








22
22
2
11  
Ejemplo 
Descompón en fracciones parciales el siguiente cociente: 
   322
23
111
1


xxxxx
xx
 
Solución 
       322222322
23
11111111
1
















x
JIx
x
HGx
x
FEx
xx
DCx
x
B
x
A
xxxxx
xx
 
El factor x es lineal y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el término 
x
A
, el factor )1( x es lineal y 
tiene potencia 1r , por lo que también se escribe el término 
)1( x
B
. 
El factor )1( 2  xx es cuadrático y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el término 
)1( 2 

xx
DCx
 . 
Ahora pon mucha atención, como el factor 
32 )1( x no es lineal y tiene una potencia 3r , es posible 
escribir tres factores de la forma: 
)1( 2 

x
FEx
, 
22 )1( 

x
HGx
 y 
32 )1( 

x
JIx
. 
Ejemplo 
Determinar 
 
dx
xx
xxx



22
32
1
21
 
Solución 
Para la descomposición de fracciones, debemos poner atención en la potencia r de cada factor )(xQ . 
El factor x es lineal y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el término 
x
A
; sin embargo, el factor 
)1( 2 x no es lineal y tiene potencia 1r , entonces se escribe el término 
)1( 2 

x
CBx
 y el término 
22 )1( 

x
DDx
. 
 
 
 
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28 
Entonces tenemos que el cociente 
)(
)(
xQ
xR
 es: 
   22222
32
1112
21








x
EDx
x
CBx
x
A
x
xxx
 
Multiplicamos por  22 1xx para hacer una igualación de coeficientes: 
       
     
      AxECxDBACxxBA
ExDxxxCxxBxxA
xEDxxxCBxxAxxx



234
232424
22223
2
12
1112
 
Se tiene: 
0 BA 1C 22  DBA 1 EC 1A 
Resolviendo el sistema de ecuaciones se llega a las soluciones: 
1A 1B 1C 1D 0E 
Sustituyendo los valores de las constantes, llegarás a: 
   
 
 
 
C
x
xxx
x
xdx
x
dx
dx
x
x
x
dx
dx
x
x
x
x
x
dx
xx
xxx

























 

12
1
tan1lnln
111
11
11
1
21
2
12
2
1
2222
22222
32
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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29 
 
Actividad 5. Integración mediante fracciones parciales 
Instrucciones 
1. En un documento de Word, evalúa cada una de las siguientes integrales usando el método de 
descomposición de fracciones parciales: 
 dx
xx
x
 

2
2 1
 
 
 
dx
x
x


3
2
1
 
 dx
xx
xx
 

23
2
2
235
 
 dx
xx
xxx
 

45
12
24
23
 
 
   
dx
xx
xx



11
12
22
2
 
 
2. Envía el archivo a tu Facilitador(a) a la sección de Tareas para que la revise y te retroalimente en 
los siguientes días. 
 *Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB. 
 
 
3.4. Estrategias de la integración por medio de tablas integrales 
Dado que la integración ofrece más retos que la diferenciación, daremos unos puntos que debes tener en 
consideración cuando trates de resolver integrales. 
 
Es de mucha ayuda tener tablas de integrales y es muy aconsejable tratar de memorizarlas, por lo menos 
las fórmulas básicas de integración. 
 
 
 
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30 
 
3.4.1. Tablas de fórmulas integrales 
La tabla siguiente te será de mucha ayuda a la hora de resolver integrales. 
Tabla de fórmulas de integración 
1.  


1
1
n
x
dxx
n
n
 con )1( n 
11.   xxdxx tanseclnsec 
2. xIndx
x

1
 
12.   xxdxx cotcsclncsc 
3. xx edxe  13.   xIndxx sectan 
4.   a
a
dxa
x
x
ln
 
14.   senxIndxxcot5.  sen x xdx cos 15. xdxxsenh cosh 
6.   xsendxxcos 16.   xsenhdxxcosh 
7.   xdxx tansec
2 
17. 








 a
x
aax
dx 1
22
tan
1
 
8. xdxx cotcsc2  18.  








a
x
sen
xa
dx 1
22
 
9.   xdxxx sectansec 19.  


 ax
ax
aax
dx
ln
2
1
22
 
10. xdxxx csccotcsc  20.  

22
22
ln axx
ax
dx
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo integral 
Unidad 3. Métodos de integración 
 
 
 
 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología 
31 
Actividad 6. Formulas de integración 
 
Ingresa al foro y realiza lo que se te pide a continuación. 
 
Instrucciones 
 
1. Investiga por tu cuenta y agrega más fórmulas de integración que puedan ser útiles para integrar. 
 
 Compártelas con tus compañeros(as). 
 Participa al menos dos veces y recuerda ser respetuoso(a) con tus compañeros(as). Tu 
Facilitador(a) retroalimentará tu participación. 
 
2. Consulta la Rúbrica general de participación del foro, que se encuentra en la sección Material de 
apoyo. 
 
 
3.4.2. Estrategias para integrar 
Hemos visto varias técnicas de integración; sin embargo, es necesario tener una estrategia para enfrentar 
las integrales. 
Para resolver una integral, lo primero que tienes que hacer es: 
1. Simplificar el integrando en lo posible. 
2. Detectar si existe una sustitución obvia. 
3. Clasificar el integrando de acuerdo a la forma que tenga, para aplicar los métodos apropiados de 
integración ya sean: 
a. Integración de funciones trigonométricas 
b. Integración de funciones racionales 
c. Integración por partes 
d. Integración de radicales 
4. Intentar de nuevo si no se ha llegado a la respuesta con los primeros pasos, se puede intentar con 
lo básico, por sustitución o por partes. 
a. Prueba la sustitución 
b. Intenta integrar por partes 
c. Intenta integrar modificando el integrando 
d. Relaciona integrales con problemas resueltos anteriormente, considera que la experiencia es 
muy importante. 
e. Utiliza varios métodos de integración, a veces no se llega al resultado con un método. 
Una manera más eficiente que te ayudará a incrementar tus habilidades para resolver integrales es la 
experiencia, por lo cual te recomiendo que resuelvas tantos integrales como te sea posible para cada uno 
de los métodos vistos a lo largo del curso y en especial de esta unidad. 
 
 
 
Cálculo integral 
Unidad 3. Métodos de integración 
 
 
 
 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología 
32 
¡Ánimo!, sigue resolviendo muchas integrales. 
Actividad 7. Resolución de integrales 
Instrucciones 
 
1. Evalúa las siguientes integrales: 
 dx
x 8
1
3
 
 dx
e
e
x
x
 

1
1
 
  dxx 
21ln 
  dxaxsen 
  dxxx  seccosh 
 
2. Envía el archivo a tu Facilitador(a) a la sección de Tareas para que la revise y te retroalimente en 
los siguientes días. 
*Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB. 
 
 
3.5. Integrales impropias 
Una integral impropia es aquella que se encuentra en el caso que está definida en un intervalo infinito y 
también en el caso donde existe una discontinuidad infinita en [a, b]. 
Estudiemos ambos casos. 
3.5.1. Tipo 1. Intervalos infinitos 
Consideremos una integral en un intervalo infinito. Por ejemplo, la curva descrita por la función 
2
1
x
y  . 
 
La región S está acotada por la función 
2
1
x
y  y el eje x , acotada en el lado izquierdo por la recta vertical 
1x en el lado derecho hasta el infinito. En principio se pensaría que el área S es infinita; sin embargo, 
esto no es así. 
 
 
 
Cálculo integral 
Unidad 3. Métodos de integración 
 
 
 
 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología 
33 
El área de una región acotada por la vertical 1x y por la recta vertical movible en el eje tx  está dada 
por: 
 
tx
dx
x
tA
t
t 1
1
11
1
1



  
Si nos ponemos a hacer cálculo variando t , sin importar qué tan grande sea, notaremos que el área no 
rebasa el valor de una unidad, por lo tanto, concluimos que 1)( tA . 
Observamos también, que si calculamos el límite cuando t , llegamos a un valor diferente de infinito. 
  1
1
1limlim 






 t
tA
tt
 
El área de la región es igual a uno y esto lo podemos escribir como: 
1
1lim1
1 21 2


 

dx
xt
dx
x
t
 
Este ejemplo te dio una noción intuitiva de que el área no es infinita; sin embargo, considera la definición 
siguiente, la cual te expone tres casos: 
Definición de una integral impropia de tipo 1 
i) Si te enfrentaras a una integral que existe de la forma  dxxf
t
a para cualquier at 
, entonces: 
   dxxfdxxf
t
ata  

 lim 
¡Mucho ojo! Siempre y cuando exista el límite como un número finito. 
ii) Si te enfrentaras a una integral que existe de la forma  dxxf
b
t para cualquier 
bt  , entonces: 
   dxxfdxxf
b
tt
b
   lim 
¡Mucho ojo! Siempre y cuando exista el límite como un número finito. 
Estos dos casos de integrales impropias nos permiten nombrarlas como 
convergentes si existe dicho límite y divergentes si no lo hay. 
 
 
 
Cálculo integral 
Unidad 3. Métodos de integración 
 
 
 
 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología 
34 
iii) Si en ambas integrales  dxxf
a

 y  dxxf
b
  de los casos anteriores, son 
divergentes, entonces por definición se tiene la suma de integrales: 
     dxxfdxxfdxxf
a
a





 
 
Ejemplo 
Determina si la integral es divergente o convergente  dxx
1
 
Solución 
De acuerdo con la definición anterior, la integral se amolda al caso i. 

  





tt
xdx
x
dx
x
tt
t
t
t
t
lnlim1lnlnlim
lnlim
1
lim
1
111 
El valor es infinito, no es un número finito, por lo tanto de la definición podemos concluir que la integral 
impropia diverge. 
Si tuvieses una integral impropia de la forma: 


1
1
dx
x p
 
Será convergente siempre y cuando 1p y divergente cuando 1p . 
 
3.5.2. Tipo 2. Integrandos discontinuos 
Tenemos abajo una tabla que define las integrales impropias con integrandos discontinuos. 
Definición de una integral impropia de tipo 2 
i) Si te enfrentaras a una integral cuya f es continua en [a, b) y discontinua en b. 
   dxxfdxxf
t
abt
b
a   lim 
¡Mucho ojo! Siempre y cuando exista el límite como un número finito. 
 
 
 
Cálculo integral 
Unidad 3. Métodos de integración 
 
 
 
 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología 
35 
 
ii) Si te enfrentaras a una integral cuya f es continua en (a, b] y discontinua en a. 
   dxxfdxxf
b
tat
b
a   lim 
¡Mucho ojo! Siempre y cuando exista el límite como un número finito. 
 
Estos dos casos de integrales impropias nos permiten llamarlas como convergentes 
si existe dicho límite y divergentes si no lo hay. 
 
iii) Si tienes una discontinuidad en c que está entre los intervalos a y b , y además son 
convergentes las integrales  dxxf
c
a y  dxxf
b
c , por definición tendrás: 
     dxxfdxxfdxxf
b
c
c
a
b
a   
 
 
 
 
 
 
Cálculo integral 
Unidad 3. Métodos de integración 
 
 
 
 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología36 
Ejemplo 
Determina la integral dx
x


5
2 2
1
 
Solución 
La gráfica de la función es la siguiente. 
 
Observa y veras que tiene una asíntota vertical en 2x . La discontinuidad es infinita marcada en 2x . De 
la definición ii) de esta sección, se tiene: 

 
32
232lim
22lim
2
lim
2
2
5
2
5
2
5
2













t
x
x
dx
x
dx
t
t
t
tt
 
Por lo tanto, podemos concluir que se trata de una integral impropia convergente. El área es región 
sombreada de la región. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo integral 
Unidad 3. Métodos de integración 
 
 
 
 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología 
37 
 
Evidencia de aprendizaje. Cálculo de una integral 
 
 
Instrucciones 
1. Escribe tu nombre, fecha de nacimiento y edad. 
2. Sean a y b dos constantes definidas por: 
 
a= la suma de los dígitos que forman tu fecha de nacimiento. 
b= la suma de los dos dígitos que forman tu edad. 
Ejemplo: 
23 de junio, implica que: 
a=2+3=5 
18 años, implica que: 
 b=1+8=9 
3. Sustituye los valores a y b en la integral original antes de empezarla a evaluar. 
4. Resuelve la siguiente integral mediante los métodos necesarios abordados en la unidad 3. 





















a
a
ba
bxeabx
baxbx
b
a
xxabxb
bxax
xbxa
xba
xx
dxxsen ba
1
2
2
233
22
2
7
2)(
)(
tansec
cos
 
5. Escribe tu desarrollo. 
6. Escribe en una lista los métodos de integración usados. 
 
 
 
1. Guarda tu reporte con la siguiente nomenclatura CIN_EA_U3_XXYZ 
 
2. Envíalo a tu Facilitador(a) a través del Portafolio de Evidencias y espera la retroalimentación 
correspondiente. 
Es importante que atiendas las observaciones del (la) Facilitador(a) para mejorar tu evidencia de 
aprendizaje antes de volverla a enviar. 
 
 
 
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38 
 
 
3. Descarga la Escala de evaluación para conocer los criterios de evaluación de la evidencia de 
aprendizaje. 
 
*Además de enviar tu archivo anterior, debes agregar tu Autorreflexión en el Foro diseñado para tal fin. 
Ingresa a ésta y genera un comentario a partir de las preguntas proporcionadas por tu Facilitador(a) en 
ese mismo espacio. 
 
 
 
 
 
Cierre de la unidad 
 
En esta unidad aprendiste que dentro de los métodos de integración trigonométrica existen algunas 
técnicas de integración que te servirán para resolver integrales trigonométricas que contienen senos, 
cosenos, tangentes y secantes; otros más, te ayudarán a realizar sustituciones trigonométricas en el 
cálculo de integrales, así como en los diferentes casos donde el método se use para integrar funciones 
racionales mediante fracciones parciales. 
 
Recuerda estudiar de manera constante, ya que el desarrollo de estas habilidades matemáticas son 
necesarias para la resolución de problemas de cálculo en áreas afines comoTelemática, Desarrollo de 
Software, Biotecnología, Energías renovables, entre otras. 
 
Ahora es momento de que resuelvas tu Examen final que es parte de la calificación global de la asignatura. 
 
¡Continúa esforzándote! 
 
Fuentes de consulta 
Apostol, T. M. (2008). Calculus. España: Reverté. 
Larson, R. E. (2005). Cálculo. México: Mc Graw Hill. 
Leithold, L. (2009). El Cálculo. México: Oxford University Press. 
Stewart, James. (2008). Cálculo. Trascendentes tempranas. México: Cengage Learning.