Ondas Sonoras e Propagação

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TEMA 6: SONIDO Luis F. GIMILIO BARBOZA página 66
TEMA 6: SONIDO
1. ONDAS SONORAS
Las ondas sonoras son ondas mecánicas cuya frecuencia está comprendida entre 20 Hz
y 16 kHz (por debajo del intervalo se llamarán infrasonidos, y por encima, ultrasonidos).
En este tema se estudiarán las ondas sonoras considerando que se propagan por el aire.
Se trata de ondas de presión, es decir, se trata de diferencias de presión lo que se propaga.
Un modelo sencillo para entender la propagación de ondas de presión es el siguiente
esquema:
El disco, al girar a una frecuencia angular ω, hace que el eje desplace hacia la izquierda y
la derecha el pistón. Como resultado, se genera una serie de altas y bajas presiones. Ambas
van intercambiándose: la alta presión de algunas zonas obliga a que sus partículas invadan
las de baja presión, creándose entonces nuevas zonas de alta presión, y así, hasta producir
un desplazamiento longitudinal.
La expresión que permite conocer la oscilación de las moléculas de aire es la siguiente:
Ψ( , ) sen( )x t A kx t= −0 ω
En cuanto a la presión, la ecuación es como sigue:
p x t p p x te( , ) ( , )= + ∆
Donde pe es la presión de equilibrio, constante, que suele ser la presión atmosférica.
A su vez, este incremento de presión puede calcularse como:
∆ ∆p x t p kx tmá x( , ) sen( )= ⋅ − +ω ϕ
ω
↑p ↑p↓p
0A
↑p ↑p
↓p
λ
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Destaca aquí la aparición de un desfase ϕ, puesto que la variación de la presión no tiene
por qué estar en fase con el desplazamiento de las partículas de aire.
2. LA ECUACIÓN DE ONDAS PARA EL SONIDO. VELOCIDAD DE
PROPAGACIÓN
La ecuación de ondas para el sonido, al ser un movimiento ondulatorio, es:
∂
∂
∂
∂
2
2 2
2
2
1Ψ Ψ
x v t
= ⋅
Estudiando el desplazamiento de una cierta cantidad de aire por un cilindro:
( )F F p A p A p p A p p A p p Ae e1 2 1 2 1 2 1 2− = ⋅ − ⋅ = + ⋅ − + ⋅ = − ⋅( ) ( )∆ ∆ ∆ ∆
Aplicando la segunda ley de Newton:
( )∆ ∆p p A m a1 2− ⋅ = ⋅
Llamando ρ a la densidad del aire:
( )∆ ∆p p A V a1 2− ⋅ = ⋅ ⋅ρ
Como el volumen del cilindro es el área de la base por la altura:
( )∆ ∆p p A A x a1 2− ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ρ ∂
La aceleración se define como: a
t
=
∂
∂
2
2
Ψ
.
1F 2F
)( 1xΨ
)( 2xΨ
1x 2x
x∂
1p∆ 2p∆
A
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Sustituyendo esta aceleración:
( )a
t
p p A A x
t
p p
x t
p p
x t
= → − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
−
= ⋅ → −
−
= ⋅
∂
∂
ρ ∂
∂
∂
∂
ρ
∂
∂ ∂
ρ
∂
∂
2
2 1 2
2
2
1 2
2
2
2 1
2
2
Ψ
∆ ∆
Ψ
∆ ∆ Ψ ∆ ∆ Ψ
Realizando el paso al límite: si ∂x → 0, entonces ∆ ∆p p2 1→ , lo que equivale al
concepto de derivada.
− = ⋅
∂
∂
ρ
∂
∂
( )∆ Ψp
x t
2
2
Por otro lado, se define el coeficiente de compresibilidad B de la siguiente manera:
B V
p
V
= − ⋅
∆
∆ o 
B V
p
V
= − ⋅
∂
∂
El incremento de volumen se calcula de forma análoga a como se hacía con la dilatación:
• dilatación: ∆ ∆V
B
V p= − ⋅
1
• compresibilidad: ∆ ∆V V T= ⋅ ⋅β
Dependiendo de las variables del proceso, habrá distintos coeficientes de compresibilidad.
Dos ejemplos son:
• proceso isotermo: ( )B V
p
V
T cteT
T
= − ⋅


 =
∂
∂
 
• proceso adiabático: ( )B V
p
V
S cteS
S
= − ⋅


 =
∂
∂
 (entropía)
La transmisión del sonido a través del aire es muy rápida, y a la vez, el aire es muy mal
conductor del calor. Por ello, se puede considerar como un proceso adiabático.
B V
p
V
p B
V
V
= − ⋅ → = − ⋅
∆
∆
∆
∆
Considerando los volúmenes inicial y final:
V A x
V A x
i
f
= ⋅
= ⋅
δ
δ '
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( )
( )
δ δ ψ ψ δ ψ ψ δ
δ δ δ
x x x x x x x x x x
V A x A x A x A V A
V A
f i
' ( ) ( ) ( ) ( )
'
= + + − + = + − = +
= ⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ = + ⋅
= ⋅
1 2 1 1 2 1 ∆ψ
∆ψ ∆ψ ∆ψ
∆ ∆ψ
Sustituyendo ahora en la ecuación anterior de la presión:
∆
∆ ∆ψ
∆
∆ψ
p B
V
V
B
A
A x
p B
x
= − ⋅ = − ⋅
⋅
⋅
→ = − ⋅
δ δ
En el paso al límite:
∆p B
x
= − ⋅
∂ψ
∂
Finalmente, se obtiene la ecuación del movimiento ondulatorio:
( )
− = ⋅ → ⋅ = ⋅
∂
∂
ρ
∂ ψ
∂
∂ ψ
∂
ρ
∂ ψ
∂
∆p
x t
B
x t
2
2
2
2
2
2
∂ ψ
∂
ρ ∂ ψ
∂
2
2
2
2x B t
= ⋅
A partir de ella se puede calcular la velocidad:
1
2v B
=
ρ
v
B
=
ρ
En el aire, como hemos considerado un proceso adiabático, la velocidad se calculará
como:
v
B
aire
S=
ρ
Caso particular: gas ideal, proceso adiabático
Como se trata de un proceso adiabático:
p V cte⋅ =γ
TEMA 6: SONIDO Luis F. GIMILIO BARBOZA página 70
El coeficiente de compresibilidad será:
B V
p
VS S
= − ⋅


∂
∂
Derivando la expresión del proceso adiabático:
p V cte V dp p V dV⋅ = → ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =−γ γ γγ 1 0
Simplificando esta expresión:
∂
∂
γp
V
p
V
=
− ⋅
Sustituyendo en la ecuación del coeficiente de compresibilidad:
B V
p
V
V
p
V
pS
S
= − ⋅


 = − ⋅
− ⋅
= ⋅
∂
∂
γ
γ
B pS = ⋅γ
Donde la velocidad se calcula como:
v
p
=
⋅γ
ρ
Relación entre presión y compresibilidad
Dada la ecuación de la presión y del desplazamiento de las partículas de aire:
( )
( )
∆ ∆p p kx t
A kx t
max= ⋅ − +
= ⋅ −
sen
sen
ω ϕ
ψ ω0
La presión se definía como:
∆p B
x
= − ⋅
∂ψ
∂
Derivando la ecuación del movimiento vibratorio para obtener la presión:
∆p B A k kx t B A k kx t= − ⋅ ⋅ ⋅ − = + ⋅ ⋅ ⋅ − −0 0 2cos( ) sen( )ω ω π
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Debido entonces al desfase entre presión y movimiento, se puede establecer lo
siguiente:
• presión máxima: ψ = 0
• presión nula: ψ = max
El incremento máximo de presión se calcula como:
∆p B A kmax = ⋅ ⋅0
En otros apuntes y en libros pueden aparecer las fórmulas anteriores de forma
diferente. Serán equivalentes a estas, ya que surgen de sustituir otros valores o despejar
a partir de otras ecuaciones. Algunos ejemplos son:
B v
p v k Amax
= ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
ρ
ρ
2
2
0∆
etc...
3. ENERGÍA E INTENSIDAD DEL SONIDO
En este punto se estudiará la energía que transporta el sonido. Para ello, partiremos del
trabajo que se realiza en un cilindro, debido a las diferencias de presión entre las dos caras.
Si no hay sonido, la presión es igual a ambos lados, luego la fuerza resultante es nula.
Si hay sonido, aparece una fuerza resultante, Fx. Esta fuerza, según la definición de
presión como fuerza por unidad de superficie, se conoce y vale:
F A px = ⋅ ∆
Partiendo ahora de la ecuación general del trabajo dW F dx= ⋅ particularizada para el
cilindro del ejemplo:
dW F d
dW A p d
= ⋅
= ⋅ ⋅
ψ
ψ∆
La potencia es, entonces:
P
dW
dt
A p
d
dt
A p vpart= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∆ ∆
ψ
Donde v part es la velocidad de las partículas de aire.
TEMA 6: SONIDO Luis F. GIMILIO BARBOZA página 72
Esta derivada del trabajo de la que se obtiene la potencia es:
dW
dt
A B
x t
= − ⋅ ⋅ ⋅
∂ψ
∂
∂ψ
∂
La ecuación general del movimiento de las partículas puede derivarse con respecto a x o a
t, con lo que dicha potencia puede conocerse:
ψ ω= ⋅ −A kx t0 sen( )
∂ψ
∂
ω
∂ψ
∂
ω ω
ω ω ωx
A k kx t
t
A kx t
dW
dt
A B A k kx t A kx t
= ⋅ ⋅ −
= − ⋅ ⋅ −





= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ −
0
0
0 0
cos( )
cos( )
cos( ) cos( )
dW
dt
A B A k kx t= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −0
2 2ω ωcos ( )
La misma ecuación, en función de la velocidad, queda como:
v B v
dW
dt
A v A k kx t
= → = ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
β
ρ
ρ
ρ ω ω
2
2
0
2 2cos ( )
Se define como intensidad a la energía que transporta el sonido por unidad de tiempo y
por unidad de superficie perpendicular al desplazamiento.
I
P
A
=
I B A k kx t= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −0
2 2ω ωcos ( )
Como el valor medio del coseno elevado al cuadrado es ½, el promedio de esta intensidad
es:
I B A k= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1
2 0
2 ω
( )
I
p
v
má x=
⋅ ⋅
∆
2
2 ρ
Ejercicio: Demostrar que ambas expresiones son equivalentes.
TEMA 6: SONIDO Luis F. GIMILIO BARBOZA página 73
La intensidad mínima que el oído humano puede interpretar es del orden de 10 12 2− W m .
Es el llamado umbral de audición.
La intensidad a partir de la cual se empieza a sentir dolor es del orden de 1 2W m . Es el
llamado umbral del dolor.
Nivel de intensidad
Se define el nivel de intensidad β de la siguiente forma:
β = ⋅10
0
log
I
I
β es el nivelde intensidad, medido en decibelios (dB)
I es la intensidad del sonido
I0 es el umbral de audición (
21210 mW− )
Si la intensidad es igual al umbral de audición (mínimo sonido que se puede
escuchar), el nivel es de 0dB.
Si la intensidad está en el umbral del dolor, el nivel es igual o superior a 120dB.
Una conversación normal es del orden de unos 40dB.
4. ANÁLISIS DE FOURIER DE ONDAS PERIÓDICAS
En el mundo real, no existen los sonidos basados en una onda pura de tipo seno o
coseno. Se trata, en realidad, de una combinación de diversos tipos de ondas superpuestas.
En la música, cada sonido se distingue de otro por diversas características, debidas en
último término a la propia onda. Algunas son:
• tono: Depende de la frecuencia. A mayor frecuencia, el sonido es más agudo.
• timbre: Lo que permite diferenciar sonidos procedentes de distintos instrumentos. Se basa
en los distintos armónicos que intervienen en la formación de la onda.
La medida estándar es la nota LA, cuya frecuencia es de 440Hz.
Por ejemplo, esta nota en una flauta y en un violín presenta distintos aspectos, con la
misma frecuencia pero forma totalmente distinta.
TEMA 6: SONIDO Luis F. GIMILIO BARBOZA página 74
LA de flauta
LA de violín
Ambas ondas tienen la misma frecuencia (ambas son un LA de la misma escala), mientras
que difieren en su timbre. Esto se debe a que en una de ellas intervienen algunos armónicos
y en la otra otros distintos. Además, como ambas son la misma nota, en las dos el armónico
fundamental es el mismo.
Según Fourier, cualquier señal periódica puede escribirse como suma de funciones
armónicas.
( )f t A tn n
n
N
( ) sen= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
∑ 2
1
π ν
Donde νn es el armónico fundamental.
Es importante la distinción entre señales periódicas y armónicas. Las señales periódicas
son las que se repiten en el tiempo, sea cual sea su forma, mientras que en las señales
armónicas la forma importa (son las ondas más básicas, de tipo seno, coseno...).
5. ONDAS ESTACIONARIAS DE SONIDO O RESONANCIAS
Para producir un sonido más intenso, se emplean a menudo cajas de resonancia. En este
tema, estudiaremos el comportamiento del sonido dentro de un tubo, en tres casos distintos.
a) Tubo abierto por los dos extremos
Para que se puedan dar ondas estacionarias, en los dos extremos han de aparecer
antinodos (amplitudes máximas).
La distancia entre dos nodos o antinodos consecutivos es λ 2 .
0=∆p
L
0=∆p
TEMA 6: SONIDO Luis F. GIMILIO BARBOZA página 75
La longitud del tubo, por lo tanto, ha de ser un número entero de semilongitudes de
onda:
L n= ⋅
λ
2
Las posibles ondas estacionarias que se generarán en el mismo tendrán entonces
una longitud de onda:
λ n
L
n
=
⋅2
La frecuencia se calcula a partir de la expresión de la velocidad: v = ⋅λ ν.
v
v
n n
n
n
= ⋅
=
λ ν
ν
λ
νn v
n
L
= ⋅
⋅2
Esta ecuación puede expresarse en función de la compresibilidad:
v
BS=
ρ
ν
ρn
SB n
L
= ⋅
⋅2
Además, se define el armónico fundamental como la frecuencia del sonido cuando
n = 1:
ν1 2
=
⋅
v
L
Con lo que la ecuación también puede expresarse como:
ν νn n= ⋅ 1
En los gases ideales:
ν
γ
ρn
p n
L
=
⋅
⋅
⋅2
Como puede observarse, la frecuencia depende de la presión. Ésta, a su vez,
depende del volumen y la temperatura, dada la ecuación del gas ideal p
n R T
V
=
⋅ ⋅
.
TEMA 6: SONIDO Luis F. GIMILIO BARBOZA página 76
Las dos primeras ondas resultantes son:
λ = ⋅2 L λ = L
En estos gráficos se han utilizado ondas sinusoidales como referencia, únicamente
para que se aprecie la idea de onda y envolvente. En la realidad, se trata de ondas
longitudinales, que no tendrían la misma representación.
b) Tubo abierto por un extremo y cerrado por otro
Su esquema sería el siguiente:
En el extremo abierto debe haber un antinodo, mientras que en el extremo cerrado
habrá un nodo.
La longitud del tubo queda entonces como un número entero impar de cuartas partes
de longitudes de onda:
L n= − ⋅( )2 1
4
λ
Las distintas longitudes de onda serán entonces:
λ n
L
n
=
⋅
−
4
2 1
Y las frecuencias serán:
ν
λn n
v
=
νn v
n
L
= ⋅
−
⋅
2 1
4
Otras formas de expresar la frecuencia son:
ν
ρn
SB n
L
= ⋅
−
⋅
2 1
4
ν νn n= − ⋅( )2 1 1
0=∆p
L
TEMA 6: SONIDO Luis F. GIMILIO BARBOZA página 77
Las dos primeras ondas resultantes son:
λ = ⋅4 L λ = ⋅
4
3
L
c) Tubo cerrado por los dos extremos
Su esquema es el siguiente:
Los dos extremos son nodos. Las expresiones de la longitud, longitudes de onda y
frecuencias coinciden con las del tubo abierto, puesto que la distancia entre nodos es
igual a la distancia entre antinodos.
Las dos primeras ondas resultantes son:
λ = ⋅2 L λ = L
6. BATIDOS O PULSACIONES
Cuando se hace sonar a la vez dos diapasones de la misma frecuencia, el sonido
resultante no es exactamente la suma de los dos, con mayor volumen, sino que se obtiene un
sonido “vibrante”.
Esto se debe a que la superposición de ondas origina lo que se denominan pulsos,
siempre que las frecuencias sean distintas. En el caso de los dos diapasones, se produce
este efecto por el hecho de que no pueden existir dos instrumentos exactamente iguales,
pudiendo diferenciarse en menos de un hertzio, y provocar estos pulsos.
Dadas dos ondas muy parecidas:
ψ ω
ψ ω
1 1 1
2 2 2
= ⋅ −
= ⋅ −
A k x t
A k x t
sen( )
sen( )
L
TEMA 6: SONIDO Luis F. GIMILIO BARBOZA página 78
Su suma será:
( )ψ ψ ω1 2 2 2 2+ = ⋅ ⋅ −


 

 ⋅ −A
k
x t kx tcos sen
∆ ∆ω
∆k k k= − ≈1 2 0, por lo que ∆λ es muy grande
∆ω = − ≈ω ω1 2 0, por lo que ∆T es también muy grande
k
k k
k=
+
≈1 2
2
ω
ω ω
ω=
+
≈1 2
2
Las gráficas resultantes son:
ψ1 ψ2
( )sen kx t− ω cos ∆ ∆ωk x t
2 2
−


 


( )2
2 2
⋅ ⋅ −


 

 ⋅ −A
k
x t kx tcos sen
∆ ∆ω
ω
En la onda resultante se pueden apreciar las pulsaciones antes citadas. En ella, los nodos
son los puntos con intensidad nula, mientras que los antinodos tendrán intensidad máxima.
TEMA 6: SONIDO Luis F. GIMILIO BARBOZA página 79
Es interesante conocer el período de batido, con el que conoceremos la diferencia de
frecuencia entre las dos ondas. Observando la onda resultante:
Tbat = ⋅
1
2
2π
ω
Se utiliza la mitad de ese valor, puesto que el período de las pulsaciones es la mitad del
período de la envolvente (el coseno). Sustituyendo ahora:
Tbat = ⋅ = ⋅
1
2
2
2
1
2
4π π
∆ω ∆ω
Tbat = −
2
1 2
π
ω ω
La frecuencia de batido es la inversa del período:
ν
ω ω
π
ω
π
ω
π
ν νbat
batT
= =
−
= − = −
1
2 2 2
1 2 1 2
1 2
ν ν νbat = −1 2
7. EFECTO DOPPLER
El hecho de la existencia del efecto Doppler es algo cotidiano. Cuando estamos quietos y
vemos un coche pasar, su sonido se vuelve más agudo cuanto más se acerca, para volverse
grave conforme se empieza a alejar.
El efecto Doppler consiste en que un observador recibe una frecuencia distinta a la que en
realidad está emitiendo un emisor, debido al movimiento relativo entre ambos.
Se comprueba que la frecuencia aumenta conforme emisor y observador se acercan, y
disminuye si se alejan.
Este efecto no sólo se cumple para las ondas sonoras. Para determinar si una estrella se
acerca o aleja de la Tierra, se observa su frecuencia, y si está más cercana al rojo, la estrella
se aleja, mientras que si lo está del azul, se acerca.
Para el estudio del efecto Doppler emplearemos las siguientes variables:
νe : frecuencia natural del emisor
νo : frecuencia que percibe el observador
ve : velocidad de movimiento del emisor
vo : velocidad de movimiento del observador
v: velocidad de propagación del sonido
Supondremos que tanto el emisor como el observador se mueven hacia la derecha, y que
el emisor se desplaza a mayor velocidad.
TEMA 6: SONIDO Luis F. GIMILIO BARBOZA página 80
El emisor emite una onda cada: Te e= 1 ν
El observador recibe una onda cada: To o= 1 ν
Estudiando al emisor a medida que transcurre el tiempo:
t = 0
t Te=
t Te= ⋅2
La expresión que permite calcular la longitud de onda emitida es:
( ) ( )λ = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ = − ⋅2 2v T v T v T v T v T v T v v Te e e e e e e e e e
( )λ =− ⋅v v Te e
En cuando al observador:
t = 0
t To=
eTv ⋅
v Te e⋅
2 ⋅ ⋅v Te
eTv ⋅
λ
Los frentes van acercándose.
Emite su primera onda.
v To ⋅ 0
v T⋅ 0
λ
Recibe su primera onda.
TEMA 6: SONIDO Luis F. GIMILIO BARBOZA página 81
La expresión de la longitud de onda del observador es la siguiente:
( )λ = ⋅ − ⋅ = − ⋅v T v T v v To o o o o
Igualando ambas longitudes de onda:
( ) ( )
( ) ( )
v v T v v T
v v v v
e e o o
e
e
o
o
− ⋅ = − ⋅
− ⋅ = − ⋅
1 1
ν ν
ν νo e
o
e
v v
v v
= ⋅
−
−
Esta última es la ecuación del efecto Doppler para este caso.
De forma general, la fórmula del efecto Doppler es:
ν νo e
o
e
v v
v v
= ⋅
±
±
Dependiendo del caso los signos variarán:
• ν νo e
o
e
v v
v v
= ⋅
−
−
 si
• ν νo e
o
e
v v
v v
= ⋅
+
−
 si
• ν νo e
o
e
v v
v v
= ⋅
+
+
 si
• ν νo e
o
e
v v
v v
= ⋅
−
+
 si
Todo esto se cumple siempre que la velocidad del emisor sea menor que la velocidad del
sonido. En el caso de que sea mayor, no hay efecto Doppler.
Conforme el emisor se va acercando a la velocidad del sonido, poco a poco va generando
tras de sí una serie de ondas mediante el efecto Doppler, que presentan en su conjunto una
forma de cono. Así, cuando dichas ondas llegan al suelo, se produce el estallido propio de
atravesar la barrera del sonido.
TEMA 6: SONIDO Luis F. GIMILIO BARBOZA página 82
Para la luz, la fórmula del efecto Doppler es diferente:
ν νo e
R
R
c v
c v
= ⋅
−
+






1
2
Donde vR es la velocidad relativa entre el emisor y el observador. Es positiva si se
acercan, y negativa si se alejan.