Fundamentos da Física Quântica

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TEMA 7: FUNDAMENTOS DE LA FÍSICA CUÁNTICA Luis F. GIMILIO BARBOZA página 83
TEMA 7: FUNDAMENTOS DE LA FÍSICA CUÁNTICA
1. RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO Y CONSTANTE DE
PLANCK
La experiencia permite ver que los cuerpos emiten radiaciones. La materia
condensada (sólidos y líquidos) radia energía de acuerdo con un espectro continuo, es
decir, emiten energía en todas las frecuencias. Los espectros de los gases, sin
embargo, están basados en distintas rayas, esto es, sólo emiten en determinadas
frecuencias.
El espectro es diferente dependiendo del cuerpo que se trate. De todas formas, hay
una serie de cuerpos que siempre radian igual, aunque ellos mismos sean diferentes.
Se trata de los cuerpos negros.
En la práctica, se puede conseguir algo parecido a un cuerpo negro pintando algo
de negro mate.
Resultados experimentales
Hace un siglo se estudió la forma en que radiaban estos cuerpos negros, y se
intentó explicar con los instrumentos de la época.
Dependiendo de la frecuencia, la curva resultante toma formas distintas. Esta
función es conocida como radiancia espectral, cuyas dimensiones son:
R
J
sg m HzT
( )ν 
⋅ ⋅





2
Que es equivalente a la intensidad por frecuencia.
• Ejemplo: En el gráfico siguiente se muestran dos funciones de radiancia espectral.
El área sombreada se corresponde con la potencia por metro cuadrado radiada por
el cuerpo:
A R dTHz
Hz
= ∫ ( )ν ν
100
1000
La intensidad se definirá entonces como R d RTHz T( )ν ν0
∞∫ = , lo que se conoce
simplemente como radiancia. Esta radiancia es proporcional a la cuarta potencia de la
temperatura:
R TT = ⋅σ
4
σ = constante de Stefan Boltzman = ⋅
⋅
−5 67 10 8 2 4,
W
m K
T K= 200
T K= 100
ν100 100Hz 1000Hz
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Existe una frecuencia para la cual la emisión es máxima. Operando en la expresión
que relaciona frecuencia y longitud de onda:
c
c
cte T
c
cte
T K T
max max max
max
max
max W max
= ⋅ → =
= ⋅




= ⋅ → = ⋅
ν λ ν
λ
ν
λ λ
KW = constante de Wien = ⋅ ⋅
−2 898 10 3, m K
Explicación de la física clásica
La física clásica intentó explicar estos hechos. Consideraron un modelo formado por
un cubo metálico en el que los átomos describían oscilaciones armónicas, y era gracias
a ellas a las que se emitía la energía. Suponían, pues:
E k A m A m A= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1
2
1
2
1
2
42 2 2 2 2 2ω π ν
En esta última expresión, fijándola para una frecuencia determinada, sólo aparece
como parámetro variable la amplitud del movimiento. Esto conduce a la siguiente
fórmula para calcular la radiancia espectral:
R
c
K TT clasica( )ν
π ν
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
8 2
2
Donde K es la constante de Stefan Boltzman. Sin embargo, integrando la expresión
para poder calcular la radiancia total:
R
c
K T dT =
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ = ∞
∞∫ 8
2
20
π ν
ν
Desde luego, la intensidad total no puede ser nunca infinita, dejando sin uso la
conclusión de la física clásica. Este hecho se conoció como catástrofe ultravioleta.
Física cuántica
La física clásica explicaba bien el comportamiento de la radiancia espectral a pocas
frecuencias, mientras que a alta frecuencia, las gráficas teórica y experimental ya
diferían:
física clásica
experimental
Planck supuso que la energía no podía ser continua, sino que tomaba una serie de
valores discretos válidos.
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En el oscilador armónico que los físicos anteriores tomaron como modelo todos los
conceptos eran válidos, salvo la consideración de la energía como algo continuo. Para
Planck, los únicos niveles de energía válidos eran los de la forma:
E n h= ⋅ ⋅ ν
Donde n toma valores naturales y h es la constante de Planck, que
experimentalmente se ajustó al valor de 6 63 10 34, ⋅ ⋅− J sg .
Si la frecuencia es pequeña, la distancia entre dos niveles de energía permitidos es
muy pequeña, y de hecho, similar a la que se especificaba en la física clásica. Si la
frecuencia es grande, la distancia es mayor:
Energía:
La radiancia espectral queda entonces como:
R
c
h
e
T h
K T
( )ν
π ν ν
ν=
⋅ ⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
8
1
2
2
2. EFECTO FOTOELÉCTRICO
La existencia del efecto fotoeléctrico se constató mediante el siguiente montaje
experimental: un circuito abierto, conectado por un lado a una placa de un metal
determinado. El circuito incorpora un amperímetro.
Al iluminar el metal se permite el paso de electrones del mismo hacia la derecha, es
decir, se cierra el circuito. La intensidad es en el sentido de la corriente (opuesto al de
los electrones), por lo que el amperímetro marca una intensidad doble: la debida a la
pila y la que añade el efecto fotoeléctrico.
Si se elimina la pila del montaje, el amperímetro seguirá marcando corriente, pero
mucho menor.
Si la pila se coloca al revés, la intensidad irá disminuyendo cada vez más, hasta
llegar a ser nula. El voltaje que hace que la intensidad se anule (es decir, contrarresta
al efecto fotoeléctrico), se conoce como potencial de frenado (V0).
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Explicación de la física clásica
 La física clásica trató de dar respuesta a este hecho. Sin embargo, se presentaron
una serie de inconvenientes:
• Consideraban la luz como una radiación electromagnética. Por ello, si aumentaba la
intensidad de la luz, aumentaba también su campo eléctrico, y los electrones se
acelerarán más. En la práctica, la intensidad de corriente permanecía constante
pese a variar la intensidad de la luz.
• Defendían que si con una determinada luz no producían desprendimiento de
electrones, con otra de mayor intensidad sí que se podría. En la realidad, se
demostró que no dependía de la intensidad, sino del tipo de luz (frecuencia), por lo
que toda radiación de frecuencia superior a una cierta frecuencia umbral (ν0 ),
producía efecto fotoeléctrico.
• También opinaban que la energía de una onda estaba distribuida de forma suave.
Se sabía que hacía falta une determinada energía para sacar un electrón del metal
(función trabajo, W0 ). Así, al iluminar el metal, debería aparecer un cierto retraso
hasta que comenzase el efecto fotoeléctrico. En la realidad, el retraso calculado
nunca aparecía.
Física cuántica
Einstein, suponiendo que la energía de una onda electromagnética (como la luz)
estaba cuantizada, adelantó lo que más adelante se llamarían fotones.
La energía de cada fotón sigue el modelo de Planck:
E h= ⋅ν
Si la energía de un determinado fotón es suficiente, entonces podrá arrancar al
electrón. Así, la energía total del fotón se invierte en extraer el electrón y, con la que
sobre, dotarlo de una velocidad (energía cinética):
E W E
K h W
foton c
max
= +
= ⋅ −
0
0ν
No depende de la intensidad, y ya se puede calcular la frecuencia umbral:
h W
W
h
⋅ = → =ν ν0 0 0
0
Si h W⋅ <ν 0 : no hay efecto fotoeléctrico.
Si h W⋅ =ν 0 : comienza a aparecer el efecto.
Si h W⋅ >ν 0 : hay efecto, y los electrones poseen energía cinética.
La conclusión es que la luz también tenía una cierta componente de partículas, en
contradicción con la idea predominante de luz como onda electromagnética pura.
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La energía cinética que se calculó en la ecuación de Einstein era máxima porque se
trataba de la necesaria para expulsar los electrones que se encuentran en la úlima
capa.
La tensión V se define como energía por unidad de carga. Así, para poder calcular
el potencial de frenado:
K e Vmax = ⋅ 0
3. ONDAS DE MATERIA
A partir de ahora se considera la luz tanto como una onda como una partícula. La
luz actúa como una onda cuando se propaga, y como una serie de partículas (fotones)
cuando interacciona con la materia.
Las leyes de De Broglie para las ondas de materia son:
E h
p h p m v
= ⋅
= = ⋅
ν
λ ( )
La diferencia entre onda y materia es que la primera puede hacer algo que la
materia no: interferir (sumarse, eliminarse...).
Un impedimento a la hora de estudiar la interferencia de ondases que sólo se
pueden ver las interferencias si la longitud de onda es similar a la longitud del sistema.
Esto se aplica de la siguiente forma: si la longitud de onda es muy grande en relación
con el sistema, no se pueden ver las interferencias. Si ocurre lo contrario, llega a
comportarse como partículas.
4. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG
Básicamente, este principio implica que no se puede conocer con exactitud la
posición y la cantidad de movimiento de una partícula en un determinado instante.
Llamando ∆x al posible error cometido en la medida de la posición, y ∆Px al
cometido con la cantidad de movimiento, se cumple que:
∆ ∆x Px⋅ ≥
!
2
Donde ! es 
h
2 ⋅ π
.
Esto ocurre igual en cualquier dimensión (vale también para los otros dos ejes del
espacio, y y z).
Tampoco se puede conocer la energía y el momento en que se irradia a la vez:
∆ ∆E t⋅ ≥
!
2