TEMA 21

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© Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico-Tema 21
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TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA
(Oposiciones de Enseñanza Secundaria)
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TEMA 21
CAMPO MAGNÉTICO. CARÁCTER NO CONSERVATIVO DEL CAMPO
MAGNÉTICO. GENERACIÓN DE CAMPOS MAGNÉTICOS Y EFECTOS SOBRE
CARGAS EN MOVIMIENTO. APLICACIÓN A DISPOSITIVOS TECNOLÓGI-
COS.
Esquema
1. Introducción al Magnetismo.
1.1. Antecedentes históricos del magnetismo.
1.2. Estudios de Coulomb.
1.3. Experimento de Oerdted. Electromagnetismo.
2. El campo magnético.
2.1. Campo creado por una carga móvil.
2.2. Campo creado por una corriente. Tipos de corrientes.
3. Interacción magnética.
3.1. Ley de Ampère de la fuerza magnética.
3.2. Campo magnético B
r
 (o Vector Inducción magnética).
3.2.1. Ley de Biot y Savart. Interpretación.
3.3. Líneas de fuerza magnética. Flujo magnético.
4. Carácter no conservativo del campo magnético.
4.1. El campo magnético es solenoidal. Interpretación.
4.1.1. Segunda Ley de Maxwell.
4.2. Condición de campo no conservativo: ∫ ≠• 0rdB
rr
4.2.1. Ley de Ampère de la circulación. Teorema circuital.
4.2.2. Ley de Ampère aplicada a un condensador.
4.2.3. Interpretación de las corrientes de desplazamiento.
5. Fuerza magnética sobre cargas móviles.
5.1. Fuerza sobre una carga móvil. Fuerza de Lorentz.
6. Campos magnéticos creados por corrientes.
6.1. Conductor recto infinito.
6.2. Fuerza entre dos conductores rectos
6.2.1. Definición de Amperio.
6.3. Campo de una corriente circular: espira.
6.4. Campo de muchas espiras: solenoide.
6.5. Campo de un toroide.
6.6. Campo en el interior de un conductor rectilíneo.
7. Aplicación a dispositivos tecnológicos.
7.1. Galvanómetro de cuadro móvil.
7.2. Aplicaciones físicas de la Fuerza de Lorentz.
7.2.1. Tubo de rayos catódicos. Osciloscopios.
7.2.2. Espectrómetro de masas.
7.2.3. Ciclotrón.
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TEMA 21
CAMPO MAGNÉTICO. CARÁCTER NO CONSERVATIVO DEL CAMPO
MAGNÉTICO. GENERACIÓN DE CAMPOS MAGNÉTICOS Y EFECTOS SOBRE
CARGAS EN MOVIMIENTO. APLICACIÓN A DISPOSITIVOS TECNOLÓGI-
COS.
1. INTRODUCCIÓN AL MAGNETISMO
1.1. Antecedentes históricos del magnetismo.
Desde los comienzos de la historia ya eran conocidos ciertos hechos naturales que
dieron origen al desarrollo de una rama del conocimiento científico a la que se llamó
Magnetismo. Así, por ejemplo, se conocía que ciertos minerales de hierro como la
magnetita, Fe3O4 llamada piedra imán, tenían la propiedad de atraer cuerpos de hierro,
fenómeno descubierto en Magnesia, región de Tesalia en la antigua Grecia, de donde
derivó en nombre de magnético. Estos minerales eran llamados "imanes naturales".
El acero y algunas aleaciones de ciertos metales se convierten en imanes perma-
nentes débiles después de permanecer largo tiempo en contacto con los imanes natura-
les. El resto de las sustancias de la naturaleza no presentan propiedades magnéticas
evidentes. También se conocía de antiguo que en un imán natural o en una sustancia
imantada, ciertas zonas presentan una mayor intensidad en la atracción de cuerpos de
hierro (por ejemplo limaduras o polvo de hierro) llamándose a estas zonas polos mag-
néticos. Si se trata de separar y aislar estos polos magnéticos, se crean nuevos polos
opuestos en la zona de corte, por lo que resulta imposible construir un imán de un solo
polo (monopolo).
Otro hecho conocido era que al suspender libremente un imán o sustancia imanta-
da (en las proximidades de la superficie de la Tierra) se orienta en una determinada
dirección dirigiéndose un polo hacia el norte del planeta y el otro hacia el sur, eviden-
ciándose la existencia de un Campo Magnético Terrestre . Por ello, a los polos del
imán se les llamó Norte y Sur. Polos iguales se repelen y polos opuestos se atraen.
1.2. Estudios de Coulomb.
Charles A. Coulomb realizó un estudio empírico de las fuerzas entre los polos
magnéticos, estableciendo que son inversamente proporcionales al cuadrado de la dis-
tancia que separa los polos y directamente proporcionales a la magnitud de dichos polos
magnéticos o carga magnética (a semejanza de la carga eléctrica). Estableció una ley
paralela a la fuerza electrostática entre cargas eléctricas, que expresaba la fuerza magné-
tica entre polos magnéticos:
 
2
21..
r
PP
F η=
Análogamente, definía la Intensidad del Campo Magnético H como la fuerza
magnética ejercida sobre la unidad de polo magnético norte, colocada en un punto:
 
P
F
H =
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Todos los experimentos evidenciaban las notables diferencias entre los fenómenos
eléctricos y magnéticos por lo que las dos ramas de la ciencia, Electricidad y
Magnetismo, se desarrollaron independientemente hasta el siglo XVIII. Sin embargo, el
notable paralelismo entre las leyes de la Electrostática y de la Magnetostática ponían de
manifiesto la posibilidad de una estrecha relación entre ambos fenómenos, aunque aún
no se había demostrado experimentalmente.
1.3. Experimento de Oersted. Electromagnetismo.
Aunque ya se sabía que ciertos trozos de hierro se habían magnetizado cuando se
encontraban en lugares cercanos a la caída de una chispa eléctrica, el experimento defi-
nitivo que unificó la Electricidad y el Magnetismo, fue realizado por Hans Christian
Oersted. En él, una corriente eléctrica que circula por un hilo conductor recto, produce
la desviación de una aguja magnética que giraba y se situaba perpendicular a la corrien-
te. Si la corriente cambia de sentido, la aguja se coloca perpendicularmente a la corrien-
te en sentido contrario al anterior. Al no existir corriente eléctrica la aguja se orienta, de
manera natural, según el campo magnético terrestre.
Una observación importante que se deduce del experimento de Oersted es que la
fuerza existente entre la corriente y el polo magnético, es perpendicular a la línea que
une a ambos elementos. En cambio, la fuerza existente entre las cargas eléctricas estáti-
cas o entre las masas, se ejerce siempre en la dirección de la línea recta que une a ambas
cargas o masas.
El experimento de Oersted generó numerosas investigaciones en éste nuevo cam-
po de la ciencia unificada de la electricidad y el magnetismo que se denominó Electro-
magnetismo. De ellas se estableció una nueva y definitiva teoría que explicaba las
acciones eléctricas y magnéticas y su relación entre ellas.
2. EL CAMPO MAGNÉTICO
2.1. Campo creado por una carga móvil.
Actualmente sabemos que los fenómenos magnéticos se deben a fuerzas origina-
das por cargas eléctricas en movimiento. En otras palabras toda carga eléctrica, además
de crear un campo eléctrico dado por la ley de Coulomb, cuando se desplaza, origina en
el espacio que le rodea una nueva perturbación que constituye un campo magnético.
El campo magnético no sólo se pone de manifiesto sobre pequeños imanes o brú-
julas, sino que la acción magnética tiene también lugar sobre cualquier otra carga móvil
dentro del campo creado por la primera. Por lo tanto, entre dos cargas en movimiento
existen dos tipos de acciones mutuas: fuerzas del campo eléctrico (que se manifiestan
tanto si se trata de cargas fijas como móviles) y fuerzas del campo magnético que, a
diferencia de las primeras, sólo existen entre cargas móviles y, por lo tanto, entre
corrientes eléctricas.
2.2. Campo creado por una corriente. Tipos de corriente.
Si consideramos dos cargas individuales en movimiento, entre ellas actúan, según
lo dicho, ambas fuerzas, eléctricas y magnéticas. Sin embargo, en el caso de corrientes
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eléctricas en conductores,solamente aparecen fuerzas magnéticas, ya que las fuerzas
electrostáticas se compensan mutuamente debido a las atracciones y repulsiones de los
iones y electrones de un conductor, en movimiento desordenado, sobre los del otro, y
viceversa. El campo eléctrico creado por cargas móviles es, en muchos casos, tan débil,
que la fuerza electrostática sobre una carga móvil puede despreciarse frente a la fuerza
magnética que sobre ella se ejerce.
Vamos a estudiar estos campos magnéticos limitándonos a corrientes estaciona-
rias, o sea de Intensidad I=cte y prescindiendo de materiales magnéticos. Se conocen
varios tipos de corrientes eléctricas, que son:
a) Corrientes de conducción, en conductores metálicos tales como Plata, Cobre,
Aluminio, etc, en los que una d.d.p. produce el arrastre de los electrones libres del
conductor.
b) Corrientes electrolíticas, debidas a la circulación de iones de un electrodo a otro en
una disolución electrolítica.
c) Corrientes de convección, que consiste en el paso de iones y electrones entre dos
electrodos, como en los tubos de vacío, en los diodos y triodos, o las nubes de gas
ionizado lanzadas por las estrellas.
d) El movimiento de cuerpos cargados cualesquiera, microscópicos o macroscópicos,
constituyen también corrientes eléctricas.
Todas estas corrientes están asociadas con el movimiento de cargas eléctricas
libres y la intensidad de estas corrientes la designaremos por I, en Amperios, o mediante
el concepto vectorial de "Densidad de corriente" J definida como la corriente eléctrica
que atraviesa una sección de conductor de una superficie unidad, o sea:
 
Sd
dI
J r
r
= o bien SdJdI
rr
•= (1)
3. INTERACCIÓN MAGNÉTICA
La teoría del electromagnetismo se apoya y desarrolla a partir de la interacción de
las fuerzas magnéticas producidas por las corrientes eléctricas. Los imanes permanentes
deben sus propiedades magnéticas a la circulación y rotación de las cargas eléctricas de
los electrones de los átomos, lo que constituyen corrientes eléctricas elementales.
3.1. Ley de Ampère de la fuerza magnética.
Vamos a iniciar el estudio del Campo Mag-
nético partiendo de las fuerzas magnéticas que se
ejercen dos conductores arbitrarios, por los que
circulan corrientes eléctricas estacionarias Ia e Ib,
a semejanza de las fuerzas que se ejercen entre
cargas eléctricas. Las fuerzas magnéticas entre
conductores es un hecho experimental que estu-
dió Ampère en el que la fuerza entre dos hilos
rectos paralelos con corrientes Ia e Ib es propor-
cional a Ia.Ib/r siendo r la distancia entre ambos
hilos.
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En el caso más general que se describe en la Fig.1, la fuerza elemental que un
elemento de corriente Iadla ejerce sobre otro elemento de corriente Ibdlb viene dado por:
 
2
02 )(.
4 r
uldIldI
Fd bbaa
rrrr ∧∧=
π
µ
e integrando doblemente a lo largo de ambos circuitos, para determinar la fuerza total de
interacción magnética entre los dos circuitos, resulta:
 ∫ ∫
∧∧
=
a b
ba
baab r
uIdId
IIF
2
0 )(.
4
rrrr
π
µ
 (2)
siendo u
r
 un vector unitario rru
rr = y el vector trazado desde el elemento aa ldI
r
 al ele-
mento bb ldI
r
 y abF
r
 la fuerza ejercida por A sobre B. La constante µ0 es la "permeabili-
dad magnética" del vacío, depende de las unidades empleadas y en el sistema interna-
cional (S.I.) toma el valor: 270 /10.4 AN
−≡ πµ
Mediante la doble integral se determina la fuerza magnética que cada elemento de
corriente del circuito A ejerce sobre todos los elementos de corriente del circuito B. En
general, esta integración no se puede realizar analíticamente salvo en casos de geome-
trías muy simples. Esta es la llamada "Ley de Ampère de la fuerza magnética", que esta-
blece la fuerza magnética ejercida entre corrientes eléctricas.
3.2. Campo Magnético B. (Vector Inducción Magnética).
3.2.1. Ley de Biot y Savart.
Esta fuerza magnética puede expresarse como la interacción entre la corriente Ia
en el campo magnético creado por la corriente Ib en el punto de a. Este campo magné-
tico se mide mediante la magnitud vectorial B
r
 llamada "Vector Inducción Magnética"
o "Densidad de Flujo Magnético". La ecuación (2) puede escribirse así:
 ∫ ∫∫ ∧=




 ∧∧=
a a aab
b
baaab BldI
r
rld
IldIF
rrr
r
rr
3
0 .
4π
µ
 (3)
siendo: ∫
∧
=
b
b
b r
rld
IB
3
0 .
4
rrr
π
µ
 (4)
el vector Inducción Magnética B
r
 debido al circuito b en la posición ocupada por el
elemento de corriente aa ldI
r
 del circuito a, posición determinada por el vector r
r
. Dicho
vector se dirige siempre desde la fuente al punto. El vector B
r
 se mide en el Sistema
Internacional en Weber/m2=Tesla (T)
La ecuación (4) se conoce como "Ley de Biot y Savart" y su integración sólo
puede realizarse analíticamente en aquellos circuitos que tengan formas geométricas
sencillas. En forma diferencial y prescindiendo de los subíndices, se puede escribir así:
 
2
0
3
0 ..
4
.
.
4 r
uldI
r
rldI
Bd
rrrrr ∧=∧=
π
µ
π
µ
 (5)
que se interpreta de la siguiente manera: la inducción magnética elemental Bd
r
 produci-
da por un elemento de corriente eléctrica ldI
r
. en un punto dado por el vector r
r
 desde el
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6
elemento, viene dado por un vector perpendicular
al plano determinado por ld
r
 y r
r
 y aplicado en el
punto y su módulo dB viene dado por:
 
2
0 sen...
4 r
dlI
dB
φ
π
µ
= (6)
 Esta ecuación empírica no puede corroborarse
experimentalmente por la imposibilidad de dispo-
ner de elementos aislados de corrientes, a semejan-
za de las cargas puntuales de Electrostática. No
obstante, es aceptada plenamente ya que los va-
lores de B
r
 calculados están completamente de
acuerdo con los resultados experimentales.
La Ley de Biot y Savart permite determinar el vector Inducción Magnética B
r
 en
un punto y a partir de él, determinar la fuerza elemental Fd
r
 que actúa sobre un elemen-
to de corriente ldI
s
. colocado en el punto, fuerza que viene expresada por:
 BldIFd
rrr
∧= . (7)
Si la corriente I se distribuye en el espacio conductor con una densidad de corrien-
te J
r
 (A/m2), la Intensidad de corriente I se expresará así:
 ∫ •= s AdJI
rr
 (8)
Para sustituir esta expresión en la ecuación de Biot y Savart hemos de multiplicar
ambos miembros por ∫ ld
r
 resultando:
 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫=•=•=•= s l l s dJldAdJldAdJldAdJldI τ τ τ.).().(.
srrsrrrrrrr
Pues J
r
, Ad
r
 y ld
r
 son vectores que tienen la misma dirección y sentido. Sustitu-
yendo en la ecuación (4) de la Ley de Biot y Savart resultará:
 τ
π
µ
τ
π
µ
ττ
d
r
uJ
d
r
rJ
B ∫∫
∧=∧=
2
0
3
0
44
rrrrr
 (9)
expresión de la Ley de Biot y Savart en función de la Densidad de corriente. Esta
expresión será utilizada después para demostrar que la divergencia del campo es nula y
el campo magnético es solenoidal.
3.3. Líneas de fuerza magnética. Flujo Magnético.
Al igual que en Electrostática, donde se utilizan las líneas de fuerza para describir
el Campo Eléctrico, para un Campo Magnético, se definirán las líneas de fuerza magné-
tica, líneas de flujo magnético o líneas de inducción, como líneas tangentes en cada
punto a la dirección de vector B
s
 en dicho punto. El "Flujo Magnético" Φ está
relacionado con elVector Inducción Magnética mediante la expresión integral:
 Φ= ∫ •s AdB
rr
 (Webers) (10) 
es decir: AddB
rr
/Φ= el vector Inducción Magnética en un punto del campo magnético
tiene la dirección y el sentido de la línea de fuerza que pasa por dicho punto y tiene por
módulo, el flujo magnético que atraviesa la unidad de superficie colocada en el punto.
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4. CARACTER NO CONSERVATIVO DEL CAMPO MAGNETICO.
4.1. El Campo Magnético es solenoidal. Interpretación.
El campo magnético, dado por el vector B
r
, es un campo solenoidal, es decir, que
viene dado por líneas de campo cerradas sobre sí mismas, no existiendo ni fuentes ni
sumideros de líneas. Esta condición se expresa por la ecuación:
 0=•∇ B
r
 (11)
es decir, la divergencia del vector Inducción Magnética es nula y por tanto la densidad
de flujo magnético por unidad de volumen es nula, lo que se interpreta diciendo que
para cualquier volumen cerrado del Campo Magnético, el flujo entrante es igual al flujo
saliente, y por lo tanto, el flujo neto es nulo.
A partir de la Ley de Biot y Savart en función de la densidad de corriente J
r
 (9),
cuando ésta es estacionaria, podemos demostrar la expresión (11):
 ∫ ∫ 



 ∧•∇=∧•∇=•∇
' ' 2
0
2
0 '
4
'
4 τ τ
τ
π
µ
τ
π
µ
d
r
u
Jd
r
uJ
B
rrs
r
v
para resolver la integración hay que desarrollar el integrando, lo que se hace mediante la
siguiente expresión: ( ) ( ) ( )BAABBA rrrrrr ∧∇•−∧∇•=∧•∇
cuya demostración pasaremos por alto en este tema. Aplicando esta expresión resulta:
 ( ) 



 ∧∇•−∧∇•=



 ∧•∇
222 r
u
JJ
r
u
r
u
J
rrrrrr
se demuestra que este desarrollo es
nulo considerando ambos términos
del segundo miembro: el primer tér-
mino, contiene el rotacional de J
r
, y
es nulo pues es función exclusiva de
los puntos-fuente (x’,y’, z’) y el
operador rotacional implica derivadas
con respecto al punto-campo (x,y,z) y
en dicho punto no existe densidad de
corriente alguna. Como J
r
 en el pun-
to-campo (x,y,z) es cero, resulta:
 0=∧∇ J
r
 (primer término nulo)
El segundo término requiere el desarrollo de 2ru
r∧∇ o sea:
=
−−−
∂
∂
∂
∂
∂
∂=−+−+−∧∇=∧∇=∧∇
333
332
'''
)'()'()'(
r
zz
r
yy
r
xx
zyx
kji
r
kzzjyyixx
r
r
r
u
rrr
rrrrr
El desarrollo de este determinante tendrá tres términos en i
r
, j
r
 y k
r
 y vamos a
calcular cualquiera de ellos, por ejemplo, el correspondiente a i
r
, ya que los otros tienen
idéntico desarrollo: ...
''
332
=










 −
∂
∂
−



 −
∂
∂
=



 ∧∇
r
yy
zr
zz
y
i
r
u
x
rr
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( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] =















−+−+−
−
∂
∂−







−+−+−
−
∂
∂=
2/32222/3222 '''
'
'''
'
zzyyxx
yy
zzzyyxx
zz
y
i
r
 
( ) ( ) ( )[ ]






−
−−−+−+−−
= 6
2/1222 )')('(2.'''
2
3
r
zzyyzzyyxx
i
r
…
 
( ) ( ) ( )[ ]
0
)')('(2.'''
2
3
... 6
2/1222
=





−−−+−+−−
−
r
yyzzzzyyxx
el desarrollo es nulo, como es evidente, pues ambos términos son idénticos (segundo
término nulo), resultando finalmente demostrado que:
 0=•∇ B
r
 (Segunda Ecuación de Maxwell) (12)
Por esta expresión, en el Campo Magnético no pueden existir ni fuentes ni sumi-
deros de líneas de inducción magnética, porque estas líneas de campo son líneas cerra-
das que no empieza ni acaban. El flujo de Inducción Magnética a través de cualquier
superficie cerrada es nulo, pues todo flujo que entra también sale, por ello:
 ∫ =•s AdB 0
rr
y por el teorema de la divergencia podemos escribir:
 ∫ ∫ =•∇=•s dBAdB τ τ 0.
rrr
 (13)
4.2. Condición de Campo no conservativo: ∫ ≠• 0ldB
rr
4.2.1. Ley de Ampère de la circulación. Teorema Circuital.
La Ley de Ampère de la circulación o "Teorema Circuital" establece que la circu-
lación del vector Inducción Magnética B
t
, creado por un conjunto de corrientes, a lo
largo de una trayectoria cerrada C, es igual al producto de la permeabilidad magnética
0µ por la suma algebraica de las intensidades de corriente que atraviesan la superficie
S arbitraria, limitada por la curva cerrada. Se expresa matemáticamente mediante la
ecuación:
 ∫ ∫ ∑ ==•=• s i IISdJldB 000 µµµ
rrrr
 (14)
En consecuencia el Campo Magnético no es conservativo y no podemos definir en
cada punto un potencial escalar que nos permita completar el estudio del campo.
Esta ley se aplica solamente al caso de corrientes estacionarias y en medios no
magnéticos y se utiliza para determinar el vector Inducción Magnética B
t
 en aquellos
casos de perfecta simetría en los que el módulo de B
t
 es constante a lo largo del camino
de integración, a semejanza del teorema de Gauss que se aplica al cálculo del vector
Campo Eléctrico en los casos en que éste tiene módulo constante sobre una superficie
cerrada.
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En ciertos casos, la misma corriente puede atravesar varias veces la superficie que
limita la curva de integración C. Tal es el caso de un solenoide; en él, el recorrido de
integración pasa por el eje del solenoide y vuelve por el exterior hasta cerrarse. La
corriente total que atraviesa la superficie limitada por este recorrido, es la corriente de
una espira multiplicada por el número de espiras del solenoide, o sea, el número de
Amperios-Vuelta.
En el caso particular de un solo conductor, el teorema circuital considera la co-
rriente única I que pasa por el conductor, independientemente del camino de integración
que se elija, siempre que dicho camino rodee completamente al conductor. Cuando esto
no ocurre, la circulación ∫ • ldB
sr
es nula como ocurre en Electrostática.
4.2.2. Ley de Ampère aplicada a un condensador.
Cuando se aplica el Teorema circuital de Ampére a un circuito de corriente I que
alimenta un condensador, al considerar la superficie S1 limitada por el contorno C, ésta
está atravesada por la corriente I y resulta:
 ∫ =•c IldB .0µ
rr
 (15)
sin embargo, si la aplicamos a la superficie
S2, limitada por el contorno C, ésta no está
atravesada por la corriente I ya que la
superficie S2 pasa por el espacio existente
entre las placas del condensador donde I=0
con lo que se llega a una situación contra-
dictoria y la circulación de B
r
 a lo largo de
C resulta diferente según la superficie con-
siderada.
Maxwell modificó la ley circuital de Ampère para resolver el problema planteado.
Introdujo el concepto de "corriente de desplazamiento" Id que se suma a la corriente del
conductor I, quedando la ley circuital así:
 ∫ +=•c dIIldB )(0µ
rr
 (16)
4.2.3. Interpretación de las corrientes de desplazamiento.
Vamos a interpretar el significado de la corriente de desplazamiento. La corriente
del circuito I, que produce la carga del condensador, aumenta la carga de éste según
I=dQ/dt y por ello la Intensidad del Campo Eléctrico encerrado entre las placas. La Ley
de Gauss, aplicada al condensador nos expresa que:
 ∫ =•=Φ
0ε
Q
SdEE
rr
 (17)
y al incrementarse la carga del condensador seincrementa el flujo eléctrico, o sea:
 
dt
dQ
dt
d E .
1
0ε
=
Φ
 o sea 
dt
dQ
dt
d E =
Φ
.0ε
es decir, la variación del flujo eléctrico por unidad de tiempo es producida por una
"corriente" (variación de carga por unidad de tiempo) a través del condensador que es la
que Maxwell llamó "corriente de desplazamiento".
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En el condensador se produce una variación del flujo magnético: ε0.dΦE/dt,
producida por la corriente de desplazamiento Id=ε0.dΦE/dt que se incluye, por ello en la
Ley Circuital de Ampère, tal como:
 ( )∫ 



 Φ+=+=•
c
E
d dt
d
IIIldB 000 εµµ
rr
 (18)
con lo cual la ley se generaliza a todas las posibles situaciones. Consecuencia de esta
generalización, se llega a la conclusión de que un campo magnético no sólo es creado
por una corriente eléctrica I sino que también puede ser creado por un campo eléctrico
que varíe con el tiempo.
La ley circuital de Ampère puede escribirse en función del Vector Campo Magné-
tico o Vector Excitación Magnética H
s
 definido así:
 
0µ
B
H
r
r
= luego ∫
Φ
+=•
dt
d
IldH E0ε
rr
 (19)
5. FUERZA MAGNÉTICA SOBRE CARGAS MÓVILES
5.1. Fuerza sobre una carga móvil. Fuerza de Lorentz.
La ecuación (3) nos da la fuerza magnética que actúa sobre un circuito cerrado de
corriente, situado en el Campo Magnético creado por otro circuito de corriente próximo.
A partir de esa ecuación empírica puede determinarse la fuerza magnética que actúa
sobre una única carga eléctrica q que se mueve con una velocidad v en un campo
magnético de inducción B
r
. La fuerza sobre un elemento de corriente es:
 BldIFd
rrr
∧= . (20)
En un hilo conductor de sección transversal Ad
r
, la corriente eléctrica I que circula
puede expresarse así: [ ]qvAdnI .rr •=
siendo n el número de cargas móviles por unidad
de volumen; v
r
 la velocidad media de arrastre de
las cargas móviles y q la carga en culombios de
cada partícula. La expresión anterior indica que la
carga total que atraviesa por segundo la sección
del conductor es la carga de las partículas conte-
nidas en una longitud v
s
 del hilo. Según esto, la
fuerza sobre el elemento ldI
r
. de corriente será: 
 BvqdnBvqdldAn
rrrr ∧=∧ ....... τ
donde n.dτ es el número total de cargas contenidas en el elemento de volumen, por
tanto, la fuerza sobre una carga única será, evidentemente:
 BvqF
rrr ∧= . (21)
Esta fuerza F
r
 es, en cada punto, perpendicular tanto a la velocidad v
r
 como al
vector inducción magnética B
r
 como se deduce de las propiedades del producto vecto-
rial. En el caso de que la carga se mueva en la misma dirección que el vector B
r
, no se
ejercerá sobre ella ninguna fuerza magnética.
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11/22
Las conclusiones principales que se deducen al comparar la fuerza eléctrica que
actúa sobre una carga )( EqF
rr
= con la fuerza magnética que actúa sobre la misma carga
cuando está en movimiento )( BvqF
rrr ∧= son:
1) La fuerza eléctrica tiene la dirección del Campo Eléctrico, sin embargo la fuerza
magnética tiene la dirección perpendicular al vector Inducción Magnética B
r
.
2) El vector B
r
 es un vector axial o sea, pseudovector y su dirección y sentido depende
de la orientación del espacio.
3) La fuerza eléctrica Eq
r
 es independiente de la velocidad de la carga eléctrica.
La fuerza total que actúa sobre la carga ser la suma de la fuerza eléctrica y la
fuerza magnética, es decir: [ ]BvEqF rrrr ∧+= . (22)
ecuación que expresa la Fuerza de Lorentz sobre una carga móvil.
6. CAMPOS MAGNETICOS CREADOS POR CORRIENTES
Vamos a considerar el cálculo del vector Inducción Magnética B
r
 generado por
corrientes eléctricas de diversas geometrías.
6.1. Conductor recto infinito.
Para determinar el vector Bd
r
 en un punto P a
una distancia R de un hilo conductor largo, recto, con
corriente I, consideraremos un elemento de corriente
de longitud infinitesimal ld
r
, el cual, producirá en P, a
una distancia r, un vector inducción magnética Bd
r
,
que vendrá determinado por la ley de Biot y Savart:
 u
r
dlI
r
rldI
Bd
r
rrr
2
0
3
0 sen..
4
.
.
4
ϕ
π
µ
π
µ
=∧=
El vector Bd
r
 será perpendicular a ld
r
 (conduc-
tor) y a r
r
. Expresaremos las variables dl, senϕ y r en
función de la constante R y una única variable α para
realizar la integración. Para ello, de la Fig.6 se deduce:
 αϕ cossen = y 
αϕ cossen
RR
r ==
y diferenciando la expresión: αtg.Rl = resulta: 
α
α
2cos
.dR
dl =
y sustituyendo en la ley de Biot y Savart, tendremos:
 ud
R
I
u
R
dR
I
Bd
rrr
..cos.
4
cos
cos
cos
.
.
4
0
2
2
2
0 αα
π
µ
α
α
α
α
π
µ
=





=
como el hilo conductor lo consideramos infinito (o muy largo en relación con la distan-
cia R), se integra la expresión para límites de α entre -π/2 y +π/2:
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 [ ]u
R
I
u
R
I
ud
R
I
B
rrrr
.11
42
sen
2
sen
4
..cos
4
02/
2/
00 +=









−−== ∫
+
− π
µππ
π
µ
αα
π
µ π
π
o sea: u
R
I
B
rr
π
µ
2
0= (23)
El módulo del vector B
r
 es inversamente proporcional a la distancia al conductor
y es perpendicular al plano determinado por el hilo y el punto. Las líneas de inducción
magnética, tangentes a los vectores B
r
, son circunferencias concéntricas con el hilo y en
planos perpendiculares a él.
Una vez determinada la expresión de B
r
 en el
campo magnético de una corriente lineal, podemos
calcular la circulación del vector B
r
 a lo largo de una
circunferencia de radio R que rodea al conductor,
como demostración del Teorema Circuital de Ampè-
re. Como el vector B
r
 es constante en módulo y tan-
gente a la trayectoria trazada, la circulación resultará:
 ∫ ∫ ∫==•c dRBldBldB
π π
φα
2
0
2
0
..cos..
rrsr
pues en todo punto de la trayectoria, resulta α=0 y por ello cosα=1 ya que ld
r
 y B
r
 son
vectores paralelos. Sustituyendo φdRld .=
r
 y RIB πµ 20=
r
 del resultado anterior:
[ ]∫ ∫ ∫ −===•c
I
dR
R
I
dR
R
I
ldB
π π
π
π
µ
φ
π
µ
φ
π
µ2
0
2
0
000 02
22
.
2
rr
resultando finalmente ∫ =•c IldB 0µ
rr
 c.q.d. (24)
6.2. Fuerza entre dos conductores rectos.
La fuerza entre dos conductores paralelos recorridos por corrientes eléctricas de
intensidades Ia e Ib y separados una distancia R, se deduce inmediatamente de la expre-
sión (20). La corriente Ia produce en la posición ocupada por el conductor b (a distancia
R de a) un campo magnético de inducción ( )uRIB r
r
πµ 20= La fuerza que actúa sobre
un elemento de corriente Ibdlb, será, según la ecuaci¢n de Ampère:
 ( )abb BldIFd r
rr
∧=
y sustituyendo aB
r
 resultará:
 ( )
R
I
uldIFd aabb π
µ
2
0rrr ∧=
como bld
r
 y u
r
 (vector unitario) son perpendicula-
res entre sí:
 bbb dludluld ==∧ 2
sen..
πrr
resultando la ecuación dF en módulo:
 b
ba dl
R
II
dF
π
µ
2
.0= 
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13
o puesta en la forma: 
R
II
dl
dF ba
b π
µ
20
=(25)
Esta expresión establece la fuerza por unidad de longitud que ejercerá un conduc-
tor sobre el otro. Será atractiva o repulsiva si las corrientes llevan el mismo sentido o
sentidos opuestos.
6.2.1. Definición de Amperio.
De esta expresión se establece la definición de Amperio en el Sistema Internacio-
nal: "Dos hilos paralelos de longitud infinita, situados en el vacío, a 1 metro de distan-
cia (R=1 m) recorridos por corrientes de 1 Amperio (Ia=Ib=1 A) se ejercen entre sí una
fuerza por unidad de longitud de dF/dl= 2.10-7 N/m”.
6.3. Campo de una corriente circular: espira.
Una corriente circular, denominada espira, crea un campo magnético a su alrede-
dor cuyo vector Inducción Magnética B
r
 en un punto cualquiera, resulta muy complejo
de determinar mediante la integración de la ecuación de Biot y Savart aplicada al punto.
Unicamente en los puntos situados en el eje de la espira, la integración puede realizarse
de manera sencilla.
Consideremos una espira
situada en el plano XZ de un
sistema de coordenadas, reco-
rrida por una corriente I. La
Inducción Magnética B
r
 crea-
da en el punto P de coordena-
das (0,Y,0), por un elemento de
corriente lId
r
 de la espira, ven-
drá dado por la Ley de Biot y
Savart:
3
0 .
4 r
rldI
Bd
rrr ∧=
π
µ
El campo total B
r
 en el punto P, será el resultado de sumar todos los vectores Bd
r
debidos a todos los elementos de corriente de la espira. La integración de la expresión
anterior habrá de hacerse descomponiendo Bd
r
 en dos componentes yBd
r
 y zBd
r
 como se
indica en la Fig.9, resultando:
 ϑ
π
µ
cos.
4 2
0
r
dlI
dB y = y ϑπ
µ
sen.
4 2
0
r
dlI
dB z =
por simetría, la inducción magnética total será la suma de todas las componentes yBd
r
,
pues las componentes zBd
r
 se anulan todas entre sí al sumar las correspondientes a los
elementos de corriente de toda la espira. Luego:
 ∫ ∫ ∫ ====== ...cos22.
cos
.
4
cos
.
4
cos
4 2
0
2
0
2
0
2
0 ϑ
µ
πϑ
π
µϑ
π
µ
ϑ
π
µ
r
IR
R
r
I
dl
r
I
r
dlI
dBB y
y considerando que: rR /cos =ϑ y ( ) 2/122 yRr += sustituyendo resulta
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 ==
3
2
0
2
...
r
IRµ
( ) 2/322
2
0
2 yR
IR
+
µ
 y en forma vectorial 
( )
j
yR
IR
B
rr
2/322
2
0
2 +
=
µ
 (26)
El vector Inducción Magnética B
r
 es máximo en el propio plano de la espira, pun-
to donde la coordenada y=0:
 j
R
I
B
rr
2
0µ= (27)
6.4. Campo de muchas espiras: solenoide.
La ecuación (26) puede utilizarse para calcular la Inducción Magnética B
r
 en un
punto del eje de un solenoide, teniendo en cuenta que éste se considera formado por un
conjunto de espiras iguales puestas en serie una detrás de otra y recorridas por la misma
corriente I.
Consideremos un solenoide de
longitud total L, número total de
espiras N y radio de cada espira R,
que está recorrido por una corriente
eléctrica de intensidad I. El número
de espiras por unidad de longitud es
N/L y el número de espiras en una
longitud elemental de solenoide dx
será: (N/L)dx. 
La inducción magnética dBx producida por dicho elemento de solenoide, en un
punto P de su eje será:
 
( )
[ ] 2/3202
2
0
)(
.
2
/
xxR
dxIRLN
dBx
−+
=
µ
ecuación que resulta de aplicar (26) multiplicada por el número de espiras del elemento
del solenoide. La inducción total valdrá:
 [ ]∫ −+=
L
x
xxR
dx
L
NIR
B
0 2/32
0
2
2
0
)(2
µ
Realizaremos el siguiente cambio de variable:
αtg.0 Rxx =− y diferenciando α
α
αα
2
2
cos
..sec.
d
RdRdx ==
 
[ ] ( )∫∫
=
+
=
+
= 2
1
2
1
...
tg1
cos
.
2tg.
cos
.
2 2/323
22
0
2/3222
22
0 α
α
α
α α
α
α
µ
α
α
α
µ
R
dR
L
NIR
RR
dR
L
NIR
B x
 ∫∫ ==





= 2
1
2
1
...
sec
.sec1
.
2
cos
1
.sec
2
...
3
2
2
2
0
2/3
2
2
22
0 α
α
α
α α
ααµ
α
ααµ d
RL
NIR
R
d
L
NIR
 ( )∫ −==
2
1
12
00 sensen
2
.cos
2
...
α
α
αα
µ
αα
µ
L
NI
d
L
NI
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donde α1 y α2 son los ángulos: ( )Rx01 arctg−=α y ( )RxL )(arctg 02 −=α
El signo negativo de α1 se obtiene haciendo x=0 y α=α1 en la ecuación general:
x-x0 = R.tg α. Es más conveniente utilizar los ángulos complementarios φ1 y φ2, ambos
positivos, en lugar de α1 y α2 con lo que la ecuación del campo B
r
 será:
 ( )210 coscos2 φφ
µ
+=
L
NI
B x
Si el solenoide es muy largo y de radio R muy pequeño, en comparación con la
longitud, pueden aproximarse los ángulos φ1 y φ2 a 0 resultando entonces cosφ1=1 y
cosφ2=1 con lo que la ecuación anterior quedará:
 
L
NI
B x
0µ= (28)
siendo en este caso, B constante, es decir, independiente de la posición del punto en el
eje del solenoide.
6.5. Campo de un toroide.
Un Toroide puede considerarse como un solenoide largo y doblado en círculo
hasta cerrarse una cara con la otra y adquirir el eje del solenoide forma de circunferen-
cia. Sea a el radio medio del toroide (el radio de la circunferencia del eje del solenoide),
R el radio de las espiras del arrollamiento, por el cual circula una corriente eléctrica I.
La longitud del solenoide será, pues, 2πa.
Por la simetría del sistema se observa que el
vector Inducción Magnética B
r
 tiene el mismo mó-
dulo en todos los puntos de la circunferencia del eje
del solenoide y su dirección es la tangente a dicha
circunferencia. Como la corriente total que atraviesa
cualquier superficie limitada por la circunferencia
del eje, es N.I tendremos, aplicando el Teorema
Circuital de Ampère, a dicha circunferencia del eje:
 ∫ =•c INldB ..0µ
rr
desarrollando el primer miembro y como B
s
 y ld
r
son vectores paralelos:
 ∫ ∫ ∫ ====c c c
o NIaBdlBdlBldB 02..0cos.. µπ
rr
y despejando B resulta: 
a
NI
B
π
µ
2
0= (29)
6.6. Campo en el interior de un conductor cilíndrico.
Como la corriente está uniformemente distribuida, el conductor, de radio a, tendrá
una densidad de corriente: 
2a
I
J
π
=
y si consideramos un punto P a una distancia r del eje del conductor r<a, o sea, dentro
del conductor, vamos a aplicar la ley Circuital de Ampère a lo largo de la circunferencia
de radio r, la cual encerrará un círculo de área πr2 que será atravesada por una corriente
total I’, según la densidad de corriente:
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2
2
2
.'.' 



===
a
r
Ir
a
I
SJI π
π
La ley circuital nos establece: ∫ =•c IldB '.0µ
rr
 ∫ 


= I
a
r
dlB
2
0µ
e integrando: I
a
r
rB
2
2
02. µπ = es decir: 
 I
a
r
ra
Ir
B
202
2
0
2
.
2 π
µ
π
µ
== (30)
lo que nos indica que el vector B
r
 tiene un módulo que es una función lineal de la dis-
tancia r al eje del conductor.
7. APLICACIÓN A DISPOSITIVOS TECNOLÓGICOS
Los efectos del Campo Magnético sobre bobinas recorridas por corrientes tienen
muchas aplicaciones en la técnica y la industria como la construcción de motores
eléctricos, aparatos de medida, dispositivos de análisis e investigación, etc.
7.1. Galvanómetro de cuadro móvil.
En los instrumentos de medición de la corriente, tales como los Galvanómetros, la
corriente a medir pasa por una bobina suspendida entre los polos de un imán. En algu-
nos casos la bobina se enrolla sobre un cilindro de hierro C. El campo magnético produ-
ce un momento sobre la bobina, de módulo ISBsenθ siendo S el área efectivade la
bobina (número de espiras por la sección de la bobina). Este momento tiende a colocar a
la bobina perpendicularmente al campo magnético retorciendo el resorte Q, que ejercerá
un momento recuperador. La bobina adopta una posición de equilibrio rotada un ángulo
α cuando el momento magnético es compensado por el momento elástico Kα del resor-
te, donde K es la constante elástica de éste. Una aguja solidaria a la bobina indica el
ángulo α girado por ésta.
 
Las piezas polares del imán tienen la forma que se ilustra en la figura 14, para que
el campo magnético entre ellas y el cilindro de hierro C sea radial, de este modo el
campo B está siempre en el plano del circuito y θ es siempre π/2 o sea senθ=1. El
momento de fuerza aplicado será entonces: BSIM ..=
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En el equilibrio, cuando el momento debido al campo es compensado por el mo-
mento debido al resorte, se tiene:
 α... KBSI = de donde, despejando I: 
BS
K
I
.
.α=
Si se conocen las magnitudes K, S y B, esta ecuación nos da el valor de la corrien-
te en función de α. Normalmente la escala se calibra de manera que se pueda leer I en
alguna unidad conveniente (amperios).
7.2. Aplicaciones físicas de la fuerza de Lorentz.
Como ya hemos señalado, una carga q que se mueve con una velocidad v en el
seno de un campo magnético B, se ve sometida a la acción de una fuerza F, denominada
fuerza de Lorentz. La principal consecuencia que se deriva de este hecho es que, al ser F
perpendicular a la velocidad con que se mueve la carga, no modifica el módulo de la
misma, sino sólo su dirección. Por tanto, la trayectoria de la carga, cuando penetra en el
interior del campo magnético, se verá curvada, dependiendo su curvatura del valor del
campo y de la velocidad de la partícula.
Supongamos que una carga se nueve per-
pendicularmente al campo magnético, supuesto
éste uniforme, fig.15. Al ser la fuerza de Lorentz
perpendicular a la velocidad, se trata de una fuer-
za centrípeta, y por lo tanto, si m es la masa de la
partícula de carga q que se mueve con velocidad v
en un campo B, se podrá escribir:
 Bvq
R
vm
..
. 2 =
el radio de curvatura será: 
Bq
vm
R
.
.= (31) 
y el sentido de giro dependerá del signo de la carga.
Las aplicaciones físicas de la Fuerza de Lorentz son numerosas. Entre ellas pode-
mos destacar las experiencias de Thomson para determinar la relación carga/masa del
electrón, el espectrógrafo de masas y el acelerador de partículas denominado ciclotrón.
7.2.1. Tubo de Rayos Catódicos. Orciloscopio..
Durante la última parte del siglo XIX, hubo gran cantidad de experimentos sobre
descargas eléctricas en gases a baja presión. La descarga eléctrica entre dos electrodos
aplicando una diferencia de potencial elevada, en el seno de un gas, daba lugar a efectos
luminosos según fuera la presión del gas dentro del tubo de descarga.
Cuando se mantenía el gas a presión menor de una atmósfera, dejaban de obser-
varse efectos visibles dentro del tubo, pero se observaba una mancha luminosa en la
parte del tubo opuesta al cátodo. Se supuso que alguna radiación era emitida por el
cátodo que se movía en línea recta. Por eso, dicha radiación fue llamada rayos
catódicos. Si añadimos dos placas paralelas P y P’ dentro del tubo y aplicamos una
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18/22
diferencia de potencial (d.d.p.) se produce un campo eléctrico E dirigido entre las placas
de P a P’. Por ello, la mancha luminosa se mueve de O a O’, o sea, en el sentido
correspondiente a cargas negativas. Esto sugirió que los rayos catódicos son simplemen-
te una corriente de cargas negativas (electrones).
 Si q es la carga de
cada partícula y v su ve-
locidad, la desviación d=
=OO' puede determinarse
aplicando la ecuación:
 
l
d
vm
aEq =
2.
..
Usando dos juegos de placas paralelas cargadas, podemos producir dos campos
mutuamente perpendiculares, uno horizontal HH' y otro vertical según VV’; fig.17.
Ajustando la intensidad relativa de los dos campos, podemos obtener una desviación
arbitraria del haz de electrones respecto de cualquier punto de referencia sobre la panta-
lla. Si los dos campos son variables, el punto luminoso sobre la pantalla describirá una
cierta trayectoria curvada.
 Aplicaciones prácticas
de este efecto se presentan
en los tubos de televisión o
iconoscopios, y en los osci-
loscopios, que son instru-
mentos que permiten obser-
var las variaciones de una
magnitud física (por ejem-
plo, la corriente alterna) que
varía con el tiempo.
Si aplicamos en la misma región que está E, un campo magnético B dirigido hacia
el papel, la fuerza magnética Fm=q.v.B está dirigida hacia abajo porque q es negativa.
La fuerza eléctrica sobre la partícula es Fe=q.E y está dirigida hacia arriba. Ajustando B
en forma apropiada podemos hacer que la fuerza magnética sea igual a la fuerza eléctri-
ca lo que daría una resultante nula y la partícula (electrón) no se desviaría (la mancha
luminosa volvería a O). Se cumplirá:
 BvqEq ... = y por tanto: 
B
E
v = (33)
Esto permite medir la velocidad de la partícula cargada y sustituyendo este valor
de v en la ecuación (32) obtenemos la razón q/m.
7.2.2. Espectrómetro de Masas.
El espectrómetro de masas de Dempster está representado en esquema en la fig.
18. Está constituido por una fuente de iones I que pasan a través de sendas rendijas
estrechas S1 y S2 practicadas en dos placas sometidas a una diferencia de potencial V
donde son acelerados los iones.
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19
La energía cinética adquirida por una par-
tícula cargada q (ión) cuando se mueve a través
de las placas con una diferencia de potencial, le
imprime una velocidad de salida de los iones,
que se determina así:
 qVmv =2
2
1
 o sea 
m
qV
v
2
= (34)
 
En la región situada debajo de la rendija existe un campo magnético uniforme con
dirección perpendicular al papel y sentido hacia fuera. El ion describirá entonces una
órbita circular, curvada en un sentido o en otro según sea el signo de su carga q. Des-
pués de describir una semicircunferencia, los iones inciden sobre una placa fotográfica
P, donde dejan una marca.
La ecuación (31) permite obtener la expresión de la velocidad: v=B.R.(q/m) y
combinando ésta con la (34) resulta:
 RB
m
q
v .




= y 
m
qV
v
22 =
elevando al cuadrado la primera e igualándola a la segunda resulta:
 
22
2
RB
V
m
q = (35)
Puede obtenerse la razón q/m en función de las tres magnitudes V, B y R,
fácilmente medibles en los experimentos.
Esta técnica se puede aplicar a electrones, protones y cualquier otra partícula,
átomo o molécula cargada. Midiendo la carga q independientemente, se puede obtener
la masa de la partícula. Este dispositivo constituye un espectrómetro de masas porque
separa los iones que tienen la misma carga pero diferente masa, pues el radio de la tra-
yectoria de cada ion depende de la relación q/m. Mediante esta técnica se descubrieron
los isótopos.
Puede también utilizarse para obtener el cociente q/m de una partícula que se
mueve con diferentes velocidades. Se ha encontrado que q/m depende de v, en la forma
siguiente:
 
2
2
0
1
c
v
m
m
−
= (36)
7.2.3. Ciclotrón.
El ciclotrón es un instrumento para acelerar partículas elementales, destinado a la
investigación de la física de altas energías. Funciona cíclicamente y consiste en una
cavidad cilíndrica dividida en dos mitades,llamadas por su forma Des, las cuales se
colocan en el interior de un campo magnético externo, uniforme y paralelo al eje de las
Des. Las dos cavidades están aisladas eléctricamente una de otra. En el centro del espa-
cio entre las Des hay una fuente de iones S –núcleo cargados positivamente de hidróge-
no pesado (deuterones)- y se aplica entre las mismas una diferencia de potencial alterna.
Cuando los iones son positivos, son acelerados hacia la de negativa y una vez que
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20
penetra en la de no experimenta fuerza
eléctrica alguna, porque el campo eléctrico
es nulo en el interior de las Des. Sin em-
bargo el campo magnético externo obliga a
los iones a describir una órbita circular con
un radio dado por la ecuación (31) y una
velocidad angular igual a la frecuencia
ciclotrónica de las partículas, dada por la
ecua-ción: ω=q.B/m. La diferencia de po-
tencial alterna entre las Des oscila con una
frecuencia igual a ω que ha de ser muy
elevada. De esta manera esta d.d.p. está en
resonancia con el movimiento circular de
los iones.
Después que la partícula ha descrito media revolución, se invierte la polaridad de
las Des y cuando el ion cruza el espacio entre ellas, recibe otra pequeña aceleración, por
la fuerza eléctrica. La semicircunferencia que describe a continuación tiene entonces un
radio mayor, pero la misma velocidad angular. El proceso se repite varias veces hasta
que el radio alcanza el valor máximo de R que es prácticamente igual al radio de las
Des. El campo magnético disminuye abruptamente en el borde de las Des y la partícula
se mueve tangencialmente, escapando a través de una abertura apropiada. La máxima
velocidad está relacionada con el radio por la ecuación (31), es decir:
 RB
m
q
vMAX .




= y 22222
2
2
2
1
2
1
2
1
RB
m
q
qRB
m
q
mmvE MAXMAX 



=



==
y está determinada por las características de la partícula, la intensidad del campo mag-
nético y el radio del ciclotrón, pero es independiente del potencial del acelerador.
Cuando la diferencia de potencial es pequeña, la partícula tiene que dar muchas
vueltas hasta adquirir la energía final y cuando es grande sólo se requieren unas pocas
vueltas para adquirir la misma energía.
La intensidad del campo magnético está limitada por factores tecnológicos, tales
como la disponibilidad de materiales con las propiedades requeridas, pero en principio
podemos acelerar la partícula hasta cualquier energía, construyendo imanes de radio
suficientemente grande. Sin embargo, cuanto mayor es el imán, mayor es el peso y el
costo.
Un ciclotrón únicamente puede acelerar partículas relativamente pesadas, tales
como protones, deuterones, núcleos de helio, etc., ya que para mantener la resonancia,
esto es, el sincronismo entre el periodo de la partícula en su giro y el correspondiente
del campo eléctrico alterno, es preciso que la masa de la partícula no varíe.
Así, el ciclotrón no sirve para acelerar electrones porque cuando éstos son acelera-
dos a grandes velocidades, su masa, de acuerdo con la teoría de la relatividad, se hace
mucho mayor, por ello, para acelerar electrones hay que recurrir a otro tipo de máquinas
denominadas betatrones. Incluso para los protones o deuterones de elevada energía los
incrementos relativistas de la masa pueden tener importancia y motivar a su vez, que no
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se cumpla la condición de resonancia. Para estos casos, se ha ideado el ciclotrón de
frecuencia modulada.
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA
Paul LORRAIN y Dale R.CORSON. Campos y Ondas Electromagnéticos.
Selecciones Científicas. MADRID.
Francis W.SEARS. Fundamentos de Física II. Electricidad y Magnetismo.
Editorial Aguilar. 1967. MADRID.
Santiago BURBANO DE ERCILLA, Enrique BURBANO GARCIA y Carlos
GRACIA MUÑOZ. Física General. XXXI Edición. Mira Editores. ZARAGOZA.
Marcelo ALONSO y Edward J.FINN. Física. Vol.1. Mecánica. Addison-Wesley
Iberoamericana. MEXICO.
Jesús RUIZ VAZQUEZ. Física. Editorial Selecciones Científicas. MADRID.
Robert M.EISBERG y Lawrence S.LERNER. Física: Fundamentos y
Aplicaciones. Tomo II. Ed.McGraw-Hill. MADRID.
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Tratamiento Didáctico
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OBJETIVOS
 Introducción al magnetismo, mostrando los fenómenos magnéticos a lo largo de la
historia y su evolución en el conocimiento humano.
 Hacer un estudio matemático del campo magnético, las fuerzas implicadas y su in-
fluencia sobre las corrientes eléctricas.
 Estudiar los mecanismos de producción de campos magnéticos y sus aplicaciones al
desarrollo de la ciencia y la técnica.
UBICACION
 En la ESO, se hace una breve introducción de los dispositivos ordinarios del magne-
tismo (imanes) en el 4º curso (2ª etapa), debiendo ubicar el tema en su actual estructura,
en el 2º curso de bachillerato.
TEMPORALIZACION
 El tema debe desarrollarse en un período de 6 horas a las cuales se deben añadir 2
horas dedicadas a problemas numéricos sobre campos magnéticos y su influencia en las
cargas y las corrientes y 1 hora a la realización de prácticas de laboratorio.
METODOLOGIA
 Debido a la dificultad conceptual y matemática, el tema debe explicarse con sumo
cuidado, exhaustivamente, paso a paso y comprobando la comprensión por parte de los
alumnos. En la explicación deben incluirse problemas numéricos relacionados con el
tema, que ilustren la teoría, ciertamente árida del tema.
 Resulta difícil recurrir a ejemplos prácticos de la vida diaria para ayudarnos en la
explicación, por lo que el profesor debe hacer participar al alumno en el planteamiento
de sus dudas para su explicación e interpretación.
 Pueden demostrarse los fenómenos magnéticos mediante la realización de prácticas
de laboratorio utilizando electroimanes, bobinas, agujas, limaduras de hierro, etc.
CONTENIDOS MINIMOS
 Concepto de Fuerza Magnética.
 Concepto de Intensidad de campo o Inducción magnética.
 Campo solenoidal.
 Flujo magnético,
 Fuerza magnética sobre cargas. Fuerza de Lorentz.
 Ley de Ampère de la circulación.
 Corriente de desplazamiento.
 Creación de campos magnéticos por corrientes.
 Algunas aplicaciones técnicas.
MATERIALES Y RECURSOS DIDACTICOS
 Libro de texto, complementado con apuntes de clase.
 Materiales de laboratorio: Equipos de magnetismo escolar para prácticas de laborato-
rio, incluyendo: imanes, limaduras hierro, agujas magnéticas, electroimanes, bobinas,
fuentes de alimentación de c/c y c/a, polímetros, etc.
 Hojas de problemas elementales sobre magnetismo.
EVALUACIÓN
 Prueba escrita de carácter objetivo sobre conceptos teóricos fundamentales relaciona-
dos con el tema, valorando la comprensión y razonamiento.
 Pruebas escritas de problemas numéricos que incluya campos creados por corrientes
y fuerzas sobre corrientes y sobre cargas.
 Pruebas de opción múltiple que obligue al alumno al razonamiento deductivo.
 Valoración objetiva de las prácticas de laboratorio.